百分位数Word版含解析

14.4.4百分位数学习目标核心素养1.结合实例，能用样本估计百分位数．(重点)2．理解百分位数的统计含义．(重点、难点)1.通过对百分位数概念的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过计算样本的百分位数，培养学生数学运算素养.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？数学老师说“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？1．一组数据的k百分位数的含义一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得有k%的数据小于或等于pk.2．计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列．第2步，计算k·eq\f(n,100)；第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·eq\f(n,100)位和下一位数之间，通常取两个位置上数值的平均数为k百分位数；第4步，如果k·eq\f(n,100)不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值为k百分位数．思考：数据1,2,2,3,4的50百分位数是2吗？数据1,2,2,3,4,6的50百分位数是3吗？为什么？这两组数据的中位数又分别是什么？与相应的50百分位数有什么关系？提示：①正确，因为5×eq\f(50,100)＝2.5，所以这组50百分位数是2.②错误，因为6×eq\f(50,100)＝3，所以这组50百分位数是eq\f(2＋3,2)＝2.5≠3.③这两组数据的中位数分别为2,2.5.④一组数据的中位数为50百分位数．3．四分位数我们把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数．1．下列关于一组数据的50百分位数的说法正确的是()A．50百分位数就是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C．它一定是这组数据中的一个数据D．它适用于总体是离散型的数据A[由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．]2．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30百分位数是________．8．4[因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4.]3．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．eq\f(100,9)[样本数据低于10的比例为(0.08＋0.02)×4＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.09×4＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14)内，估计此样本数据的50百分位数为10＋eq\f(0.1,0.36)×4＝eq\f(100,9).]百分位数的计算【例1】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.(1)分别求出这组数据的25,75,95百分位数．(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．(3)若用25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．[解](1)将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，则25百分位数是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，75百分位数是eq\f(8.6＋8.9,2)＝8.75，95百分位数是第12个数据为9.9.(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8g,7.9g.(3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15g,50百分位数为8.5g,95百分位数是9.9g，所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品．计算一组n个数据的k百分位数的一般步骤(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)计算i：计算i＝n×k%；(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第k百分位数为第j项数据；若i是整数，则第k百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．[跟进训练]1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的80百分位数是()A．90B．90.5C．91D．91.5B[把成绩按从小到大的顺序排列为：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是eq\f(90＋91,2)＝90.5.]百分位数的综合应用[探究问题]1．第p百分位数有什么特点？[提示]总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.2．某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？[提示]不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在．【例2】某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式．(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值．(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．[解](1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200<x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；当x>400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200＜x≤400，,x－140，x>400.))(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，,100a＋0.0005×100＝0.2，))解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数为m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得．[跟进训练]2．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒．16.5[设成绩的70%分位数为x，因为eq\f(1＋3＋7,1＋3＋7＋6＋3)＝0.55，eq\f(1＋3＋7＋6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.85，所以x∈[16,17)，所以0.55＋(x－16)×eq\f(6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.70，解得x＝16.5秒．]求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：①按照从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为i项与第(i＋1)项数据的平均数．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于第25%分位数．()(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23．()(3)若一组样本数据的第24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24．()[解析](1)正确．(2)错误．若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据小于或等于23.(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√2．下列一组数据的25百分位数是()2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2B．3.0C．4.4D．2.5A[把这组数据按照由小到大排列，可得：2．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．]3．已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法正确的是()A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数C[因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C．]4．从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，数据排序如下(单位：cm)，152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171，x,174,175.(1)若x为这组数据的一个众数，求x的取值集合；(2)若样本数据的90百分位数是173，求x的值．[解](1)其余十九个数据152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,174,175中，数据出现的频数为3的数有165,170，出现