湖南省联考高一上学期12月月考数学试卷含解析

2022年秋季高一12月联考数学一､选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1.集合，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】解：由于，所以，，应选：A.2.设甲：，乙：函数在上单调递增，那么〔〕A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵在上单调递增，由的对称轴为，开口向上，∴，即，故甲是乙的充分不必要条件.应选：A.3.将化成的形式是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】.应选：D.4.以下函数与函数是同一个函数的是〔〕A. B.C. D.【答案】B【详解】的定义域为，而的定义域为，故A错误；的定义域为，故D错误；，与对应关系不全都，故C错误；，定义域为，与对应关系全都，B正确.应选：B.5.，那么〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】由于，所以,应选：B.6.函数的零点肯定位于区间〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】解：，又由于函数在区间上都是增函数，所以在区间上为增函数，所以其零点肯定位于区间.应选：C.7.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此根底上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，那么该市全年用于垃圾分类的资金开头超过1亿元的年份是〔参考数据：，〕〔〕A.2030年 B.2029年 C.2028年 D.2027年【答案】B【解析】【详解】设经过年之后，投入资金为万元，那么，由题意可得：，即，所以，即，又由于，∴，即从2029年开头该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.应选：B．8.函数假设函数有三个不同的零点，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】当时，函数上单调递增，，当时，函数，当且仅当时取等号，函数的大致图象，如图，令，观看图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，函数有三个零点，等价于函数有两个零点，并满意，而函数对称轴为，于是得，解得，所以的取值范围为.应选：D二､多项选择题〔本大题共4小题，每题5分，共20分，在每题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分.〕9.以下说法正确的选项是〔〕A.角为第一象限或第三象限角的充要条件是B.终边在轴上的角的集合为C.假设是第三象限角，那么是其次象限或第三象限角D.用角度制和弧度制度量角，与所取圆的半径大小有关【答案】AB【解析】【详解】对于，当角为第一象限角时，，那么；当角为第三象限角时，，那么，所以假设角为第一象限或第三象限角，那么.由于，即且，或且，当且时，角为第一象限角；当且时，角为第三象限角，所以假设，那么角为第一或第三象限角,所以角为第一或第三象限角的充要条件是，故正确；对于B,终边在轴上的角的集合为,即，即，正确；对于，假设是第三象限角，即，那么，当为偶数时，为其次象限角；当为奇数时，为第四象限角，那么是其次象限或第四象限角，故C错误；对于D，不管是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D不正确，应选：10.以下各式正确的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】AC【解析】【详解】，应选项正确；，故B选项错误；，故C选项正确；对于，故D选项错误.应选：AC.11.“双11〞购物节中，某团购平台对顾客实行购物优待活动，规定一次购物付款总额满肯定额度，可以赐予优待：①假设购物总额不超过50元，那么不赐予优待；②假设购物总额超过50元但不超过100元，那么可以使用一张15元优待券；③假设购物总额超过100元但不超过300元，那么按标价赐予8折优待，④假设购物总额超过300元，其中300元内的按第③条赐予优待，超过300元的局部赐予7折优待.某人购置了局部商品，那么以下说法正确的选项是〔〕A.假设购物总额为66元，那么应付款为51元B.假设应付款为208元，那么购物总额为260元C.假设购物总额为360元，那么应付款为252元D.假设购物时一次性全部付款为380元，那么购物总额为500元【答案】ABD【解析】【详解】对于A，假设购物总额为66元，满意购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张15元优待券，那么应付款51元，故A正确；对于B，假设应付款为208元，那么购物总额超过100元但不超过300元，所以购物总额为元，故B正确；对于C，假设购物总额为360元，购物总额超过300元，那么应付款为元，故C错误；对于D，假设购物时一次性全部付款380元，说明购物总额超过300元，设购物总额为元，那么，解得元，故D正确.应选：ABD.12.，那么〔〕A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【详解】因，即，那么分别为函数与图象交点的横坐标，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出的图象，如图，由图知，点与关于直线对称，于是得，，A正确；，那么，B正确；，C错误；，D正确.应选：ABD三､填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分.〕13.，那么___________.【答案】##【解析】【详解】由于,所以，由，故，即，而，那么，所以，故答案为：14.设，那么___________.【答案】##【详解】由于，所以，所以，所以,故答案为：.另解：由可得，所以，那么,故答案为：.15.高斯是德国闻名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子〞的称号，用其名字命名的“高斯函数〞为：设，用表示不超过的最大整数，那么称为高斯函数.例如：，假设函数，那么函数的值域为___________.【答案】【解析】【详解】解：，那么，即，当时，；当时，；当时，；当时，，综上，函数的值域为.故答案为：.16.北京时间2022年9月24日晚，在2022年世界赛艇锦标赛女子四人双浆决赛中，东京奥运冠组合崔晓桐､吕扬､张灵､陈云霞再次联手出击，强势夺冠，继2019年世锦赛后为中国队实现该工程的胜利卫冕，赛艇是一种靠浆手划浆前进的小船，分单人艇､双人艇､四人艇､八人艇四种，不同艇种虽大小不同，但外形相像.依据相关争论，竞赛成果t〔单位：min〕与奖手数量n〔单位：个〕间的关系为〔为常数且〕.在某次竞赛中单人艇2000的竞赛成果为，由于竞赛记录员的疏忽，现有一个用时为的竞赛成果但不清晰属于哪一艇种，推断该竞赛成果所属的艇种最有可能是___________〔从“单人艇〞“双人艇〞“四人艇〞“八人艇〞中选择一个即可〕；假设竞赛的赛艇艇种为八人艇，推断在相同竞赛条件下该赛艇竞赛成果的理论估量值为___________〔结果保存两位小数，参考数据：，，〕.【答案】①.双人艇②.【解析】【详解】由得，当时，，代入解得，当时，，故该竞赛成果所属的艇种最有可能是双人艇；当时，，故在相同竞赛条件下该赛艇竞赛成果的理论估量值为.故答案为：双人艇；四､解答题〔本大题共6小题，共70分，解容许写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.〕17.集合.〔1〕求；〔2〕假设且，求实数的取值范围.【答案】〔1〕.〔2〕.【解析】【小问1详解】由题意，那么，解得，所以，又，所以.【小问2详解】由于，，即，所以，所以，解得，即实数的取值范围时.18.函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.〔注：是自然对数的底数〕〔1〕求该函数的解析式并推断其奇偶性；〔2〕假设实数满意不等式，求实数的取值范围.【答案】〔1〕，函数为偶函数.〔2〕.【解析】【小问1详解】由题意函数过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.，故在时，递增，又此时递减，故需满意，由知，，而无限接近直线但又不与该直线相交，那么，又,解得，，由于的定义域为，关于原点对称，且，故函数为偶函数.【小问2详解】当时，，设，那么，由于，所以，那么，所以，故函数在上单调递增.原不等式可化为，由于函数为偶函数，，那么有，又函数在上单调递增，那么有，两边平方，得，即，解得，即实数的取值范围为.19.，其中为奇函数，为偶函数.〔1〕求与的解析式；〔2〕推断函数在其定义域上的单调性并用定义证明.【答案】〔1〕，〔2〕函数在区间上单调递增，证明见解析【解析】【小问1详解】由于函数为奇函数，为偶函数，可得，，由于，所以，即，解得，.【小问2详解】的定义域为，，且，那么.所以，即，所以函数在区间上单调递增.20.函数〔1〕试争论方程实数解的个数，其中；〔2〕假设方程的实数解有3个，分别记为，其中，求的取值范围.【答案】〔1〕答案见解析〔2〕【解析】【小问1详解】由根本不等式，时，，当，即时等号成立；时，，当，即时等号成立.令，那么..画出的图像与直线，如图.由图像可知，当，即时，有1个解；当或，即时，有2个解；当，即时，有3个解.【小问2详解】由〔1〕知，当时，有3个解，依据图像以及3个解的大小关系，有，其中，对于，，解得，那么，故，即的取值范围为.21.物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为T，那么，其中，为环境温度，a为参数.某日室温为20，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水〔假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温全都〕，8分钟后水温到达100，8点18分时，壶中热水自然冷却到60.〔1〕求8点起壶中水温T〔单位：〕关于时间t〔单位：分钟〕的函数；〔2〕假设当日小王在1升水沸腾〔100〕时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态，保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值50时，设备不加热，当壶内水温不高于临界值50时，开头加热至80后停止，加热速度与正常烧水全都，问养生壶〔在保温状态下〕多长时间后其次次开头加热？〔结果保存整数〕〔参考数据：〕【答案】〔1〕〔2〕27分钟后养生壸〔在保温状态下〕其次次开头加热【解析】【小问1详解】当时，设，代入，，解得，那么，由题意，代入，，，得，所以.【小问2详解】假设从降温至，由题意有，代入，计算得分钟，故经过14分钟养生业〔在保温状态下〕开头第一次加热；从加热至需要分钟，从降温至，，代入，，，可得，计算得分钟，那么共需要分钟，故27分钟后养生壸〔在保温状态下〕其次次开头加热.22.函数.〔1〕当时，写出的单调区间〔不需要说明理由〕；〔2〕当时，解不等式；〔3〕假设存在，使得，求实数的取值范围.【答案】〔1〕在上单调递增，在上单