2023年高等数学第2章 导数与微分

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学第2章导数与微分其次章导数与微分

教学目的：

1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与延续性之间的的关系。

2、娴熟把握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，娴熟把握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些容易函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：

1、导数和微分的概念与微分的关系；

2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；

3、基本初等函数的导数公式；

4、高阶导数；

6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：

1、复合函数的求导法则；

2、分段函数的导数；

3、反函数的导数

4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2.1导数概念一、引例

1．直线运动的速度

设一质点在坐标轴上作非匀速运动,时刻t质点的坐标为s,s是t的函数:s=f(t),

求动点在时刻t0的速度.考虑比值

000)

()(tttftfttss--=--,这个比值可认为是动点在时光间隔t-t0内的平均速度.假如时光间隔选较短,这个比值在实践

中也可用来说明动点在时刻t0的速度.但这样做是不精确的,更确地应该这样:令t-t0→0,取

比值

0)

()(tttftf--的极限,假如这个极限存在,设为v,即

0)

()(lim

tttftfvtt--=→,

这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.2．切线问题

设有曲线C及C上的一点M,在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点N沿曲线C趋于点M时,假如割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT,直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.

设曲线C就是函数y=f(x)的图形.现在要确定曲线在点M(x0,y0)(y0=f(x0))处的切线,只要定出切线的斜率就行了.为此,在点M外另取C上一点N(x,y),于是割线MN的斜率为0

000)

()(tanxxxfxfxxyy--=

--=

?,其中?为割线MN的倾角.当点N沿曲线C趋于点M时,x→x0.假如当x→0时,上式的极限存

在,设为k,即

00)

()(lim0xxxfxfkxx--=→

存在,则此极限k是割线斜率的极限,也就是切线的斜率.这里k=tanα,其中α是切线MT的

倾角.于是,通过点M(x0,f(x0))且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.

二、导数的定义

1.函数在一点处的导数与导函数

从上面所研究的两个问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:

00)

()(lim0xxxfxfxx--→.

令?x=x-x0,则?y=f(x0+?x)-f(x0)=f(x)-f(x0),x→x0相当于?x→0,于是0

0)

()(lim0

xxxfxfxx--→

成为xy

x??→?0lim

或x

xfxxfx?-?+→?)()(lim000.

定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量?x(点x0+?x仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量?y=f(x0+?x)-f(x0);假如?y与?x之比当?x→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为0|xxy=',即

x

xfxxfxy

xfxx?-?+=??='→?→?)()(limlim

)(00000,

也可记为0|xxy=',

0xxdxdy=或0

)

(xxdxxdf=.函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在.

导数的定义式也可取不同的形式,常见的有h

xfhxfxfh)

()(lim

)(000

0-+='→,

00)

()(lim

)(0

xxxfxfxfxx--='→.

在实际中,需要研究各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.假如极限x

xfxxfx?-?+→?)

()(lim

000

不存在,就说函数y=f(x)在点x0处不行导.

假如不行导的缘由是因为∞=?-?+→?x

xfxxfx)

()(lim

000

,

也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.

假如函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导,这时,对于任一x∈I,都对应着f(x)的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数,这个函数叫做本来函数y=f(x)的导函数,记作y',)(xf',dxdy,或dx

xdf)

(.

导函数的定义式:

xxfxxfyx?-?+='→?)()(lim0=h

xfhxfh)

()(lim0-+→.

f'(x0)与f'(x)之间的关系:

函数f(x)在点x0处的导数f'(x)就是导函数f'(x)在点x=x0处的函数值,即0)()(0xxxfxf='='.

导函数f'(x)简称导数,而f'(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f'(x)在x0处的值.左右导数:所列极限存在,则定义f(x)在0x的左导数:hxfhxfxfh)

()(lim)(000

0-+='-

→-

;

f(x)在0x的右导数:h

xfhxfxfh)

()(lim)(000

0-+='+

→+

.

假如极限hxfhxfh)

()(lim000

-+-→存在,则称此极限值为函数在x0的左导数.

假如极限h

xfhxfh)

()(lim

000

-++→存在,则称此极限值为函数在x0的右导数.

导数与左右导数的关系

2．求导数举例

例1．求函数f(x)=C（C为常数）的导数.解:h

xfhxfxfh)

()(lim)(0

-+='→0lim0=-=→hCCh.即(C)'=0.

例2.求x

xf1

)(=的导数.

解:hxhxhxfhxfxfhh1

1lim)

()(lim)(00-+=-+='→→2022

)(1lim)(limxxhxxhxhhhh-=+-=+-=→→.例3.求xxf=)(的导数.解:h

xhxhxfhxfxfhh-+=-+='→→00

lim)

()(lim

)(x

xhxxhxhhhh211lim)(lim

00=++=++=→→.

例2．求函数f(x)=xn(n为正整数)在x=a处的导数.解:f'(a)axafxfa

x--=→)

()(lim

axaxnnax--=→lima

x→=lim(xn-1+axn-2+???+an-1)=nan-1.把以上结果中的a换成x得f'(x)=nxn-1,即(xn)'=nxn-1.(C)'=0,21

)1(xx-=',x

x21)(=',1)(-?='μμμxx.

更普通地,有(xμ)'=μxμ-1,其中μ为常数.

例3．求函数f(x)=sinx的导数.解:f'(x)h

xfhxfh)

()(lim0

-+=→hxhxhsin)sin(lim0-+=→2

sin)2cos(21lim

0h

hxhh+?=→xhh

hxhcos2

2sin)2

cos(lim0=?+=→.

即(sinx)'=cosx.

用类似的办法,可求得(cosx)'=-sinx.

例4．求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数.解:f'(x)hxfhxfh)

()(lim

-+=→h

aaxhxh-=+→0lim

haahhx1lim0-=→tah=-1令)

1(loglim0ttaatx+→aae

axax

lnlog1==.特殊地有(ex)=ex.

例5．求函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的导数.解:h

xhxhxfhxfxfaahhlog)(loglim)

()(lim

)(00

-+=-+='→→hx

ahahahx

hxxhhxxxhxh)1(loglim1)1(loglim1)(log1lim000+=+=+=→→→

axexaln1log1==.解:hx

hxxfaahlog)(loglim

)(0-+='→)1(log1lim0x

hhah+=→

hx

ahxhx)1(loglim10+=→a

xexaln1log1==.

即axxaln1)(log='.:特别地x

x1

)(ln='.

axxaln1)(log=',xx1)(ln='.

3．单侧导数:极限h

xfhxfh)

()(lim0

-+→存在的充分须要条件是

h

xfhxfh)()(lim0

-+-

→及hxfhxfh)

()(lim0-++→都存在且相等.

f(x)在0x处的左导数:hxfhxfxfh)

()(lim)(0

0-+='-

→-

,

f(x)在0x处的右导数:h

xfhxfxfh)

()(lim)(0

0-+='+

→+

.

假如函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且右导数f'+(a)和左导数f'-(b)都存在,就说f(x)有闭区间[a,b]上可导.

例6．求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.解:1|

|lim)0()0(lim)0(00

-==-+='--

→→-

hhhfhffhh,1||lim)0()0(lim)0(00

==-+='++

→→+

hhh

fhffhh,由于f'-(0)≠f'+(0),所以函数f(x)=|x|在x=0处不行导.

四、导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率,即

其中α是切线的倾角.

假如y=f(x)在点x0处的导数为无穷大,这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置,即曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x轴的切线x=x0.:由直线的点斜式方程,可知曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为

过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线假如f'(x0)≠0,法线的斜率为)

(10xf'-,从而法线方程为)()

(10

00xxxfyy-'-

=-.

例8.求等边双曲线xy1

=在点)2,2

1(处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解:21

x

y-=',所求切线及法线的斜率分离为

4)1(2121-=-==xxk,41112=-=kk.

所求切线方程为)21

(42--=-xy,即4x+y-4=0.

所求法线方程为)2

1

(412-=-xy,即2x-8y+15=0.

例9求曲线xxy=的通过点(0,-4)的切线方程.解设切点的横坐标为x0,则切线的斜率为

02

12302

323)()(0xxxxfxx=='='=.

于是所求切线的方程可设为)

(2300

00xxxxxy-=-.按照题目要求,点(0,-4)在切线上,因此)0(23400

00xxxx-=--,解之得x0=4.于是所求切线的方程为)4(42

344-=-xy,即3x-y-4=0.

四、函数的可导性与延续性的关系

设函数y=f(x)在点x0处可导,即)(lim00xfx

y

x'=??→?存在.则

00)(limlimlim

lim00

000

=?'=????=????=?→?→?→?→?xfxxyxxyyxxxx.

这就是说,函数y=f(x)在点x0处是延续的.所以,假如函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该

点必延续.

另一方面,一个函数在某点延续却不一定在该点处可导.

例7．函数3)(xxf=在区间(-∞,+∞)内延续,但在点x=0处不行导.这是由于函数在点x=0处导数为无穷大

h

fhfh)

0()0(lim

0-+→+∞=-=→hhh0lim3

0.

§2.2函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1假如函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数,并且[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x);

[u(x)?v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);

)()

()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu'-'='??????.证实(1)h

xvxuhxvhxuxvxuh)]

()([)]()([lim

])()([0±-+±+='±→

??

?

???-+±

-+=→hxvhxvhxuhxuh)()()()(lim0=u'(x)±v'(x).法则(1)可容易地表示为(u±v)'=u'±v'.

(2)h

xvxuhxvhxuxvxuh)

()()()(lim])()([0-++='?→

)]()()()()()()()([1lim0xvxuhxvxuhxvxuhxvhxuhh-+++-++=→??

?

-+++???

-+=→hxvhxvxuhxvhxuhxuh)()()

()()()(lim0h

xvhxvxuhxvhxuhxuhhh)

()(lim)()(lim)()(lim

000-+?++?-+=→→→

=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),

其中0

lim→hv(x+h)=v(x)是因为v'(x)存在,故v(x)在点x延续.

法则(2)可容易地表示为(uv)'=u'v+uv'.

(3)hxvhxvhxvxuxvhxuhxvxuhxvhxuxvxuhh)()()()()()(lim)()

()()(lim)()(00

++-+=-

++='??????→→

h

xvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()]

()()[()()]()([lim

0+-+--+=→

)

()()

()()

()()()(lim0xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh+-+--+=→

)

()

()()()(2xvxvxuxvxu'-'=

.

法则(3)可容易地表示为2

)(vvuvuvu'

-'='.

(u±v)'=u'±v',(uv)'=u'v+uv',2

)(vvuvuvu'

-'='.

定理1中的法则(1)、(2)可推广到随意有限个可导函数的情形.例如,设u=u(x)、v=v(x)、

w=w(x)均可导,则有

(u+v-w)'=u'+v'-w'.

(uvw)'=[(uv)w]'=(uv)'w+(uv)w'

=(u'v+uv')w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'.即(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'.

在法则(2)中,假如v=C(C为常数),则有

(Cu)'=Cu'.

例1．y=2x3-5x2+3x-7,求y'

解:y'=(2x3-5x2+3x-7)'=(2x3)'-(5x2)'+(3x)'-(7)'=2(x3)'-5(x2)'+3(x)'=2?3x2-5?2x+3=6x2-10x+3.

例2.2sincos4)(3π-+=xxxf,求f'(x)及)2(πf'.

解:xxxxxfsin43)2(sin)cos4()()(23-='-'+'='π,44

3)2(2-='ππf.

例3．y=ex(sinx+cosx),求y'.

解:y'=(ex)'(sinx+cosx)+ex(sinx+cosx)'=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.例4．y=tanx,求y'.

解:x

xxxxxxxy2cos)(cossincos)(sin)cossin()(tan'

-'=

'='='

xx

xxx2222

2seccos1cossincos==+=.

即(tanx)'=sec2x.

例5．y=secx,求y'.

解:xxxxxy2cos)(cos1cos)1()cos1()(sec'?-'='='='x

x

2cossin==secxtanx.

即(secx)'=secxtanx.

用类似办法,还可求得余切函数及余割函数的导数公式:(cotx)'=-csc2x,

(cscx)'=-cscxcotx.

二、反函数的求导法则

定理2假如函数x=f(y)在某区间Iy内单调、可导且f'(y)≠0,那么它的反函数y=f-1(x)在对应区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也可导,并且)

(1])([1yfxf'='-.或dy

dxdxdy

1=.

简要证实:因为x=f(y)在Iy内单调、可导(从而延续),所以x=f(y)的反函数y=f-1(x)存在,且f-1(x)在Ix内也单调、延续.

任取x∈Ix,给x以增量?x(?x≠0,x+?x∈Ix),由y=f-1(x)的单调性可知?y=f-1(x+?x)-f-1(x)≠0,

于是

y

x

xy??=??1.由于y=f-1(x)延续,故0lim0

=?→yx

从而

)

(11limlim

])([001yfy

xxy

xfyx'=??=??='→?→?-.

上述结论可容易地说成:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

例6．设x=siny,]2,2[ππ-∈y为直接函数,则y=arcsinx是它的反函数.函数x=siny在开

区间)2

,2(ππ-内单调、可导,且

(siny)'=cosy>0.

因此,由反函数的求导法则,在对应区间Ix=(-1,1)内有2

211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx-=-=='=

'.类似地有:2

11

)(arccosxx--

='.例7．设x=tany,)2,2(ππ-∈y为直接函数,则y=arctanx是它的反函数.函数x=tany在

区间)2

,2(ππ-内单调、可导,且

(tany)'=sec2y≠0.

因此,由反函数的求导法则,在对应区间Ix=(-∞,+∞)内有22211tan11sec1)(tan1)(arctanx

yyyx+=+=='=

'.类似地有:2

11

)cotarc(xx+-='.

例8设x=ay(a>0,a≠1)为直接函数,则y=logax是它的反函数.函数x=ay在区间Iy=(-∞,+∞)内单调、可导,且

(ay)'=aylna≠0.

因此,由反函数的求导法则,在对应区间Ix=(0,+∞)内有

a

xaaaxyyaln1ln1)(1)(log==

'='.到目前为止,所基本初等函数的导数我们都求出来了,那么由基本初等函数构成的较复

杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntanx、3xe、的导数怎样求？

三、复合函数的求导法则

定理3假如u=g(x)在点x可导,函数y=f(u)在点u=g(x)可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x可导,且其导数为

)()(xgufdx

dy

'?'=或dxdududydxdy?=.

证实:当u=g(x)在x的某邻域内为常数时,y=f[?(x)]也是常数,此时导数为零,结论自然成

立.

当u=g(x)在x的某邻域内不等于常数时,?u≠0,此时有

x

xgxxgxgxxgxgfxxgfxxgfxxgfxy?-?+?

-?+-?+=?-?+=??)

()()()()]([)]([)]([)]([x

xgxxguufuuf?-?+??-?+=)

()()()(,

x

xgxxguufuufxydxdyxux?-?+??-?+=??=→?→?→?)

()(lim)()(limlim000=f'(u)?g'(x).

简要证实:

xuuyxydxdyxx?????=??=→?→?00limlim)()(limlim00xgufx

uuy

xu''=?????=→?→?.例93xey=,求

dx

dy.解函数3xey=可看作是由y=eu,u=x3复合而成的,因此

322

33xuexxedx

dududydxdy=?=?=.例10212sinx

xy+=,求dxdy

.

解函数212sinxxy+=是由y=sinu,212xxu+=复合而成的,

因此

2

222222212cos

)1()1(2)1()2()1(2cosxxxxxxxudxdududydxdy+?+-=+-+?=?=.对复合函数的导数比较娴熟后,就不必再写出中间变量,例11．lnsinx,求dx

dy

.解:

)(sinsin1)sin(ln'?='=xxxdxdy

xxx

cotcossin1=?=.例12．3221xy-=,求

dx

dy

.

解:)21()21(31])21[(2322312'-?-='-=-xxxdxdy32

2)21(34xx--=.

复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形.例如,设y=f(u),u=?(v),v=ψ(x),

则

dx

dvdvdududydxdududydxdy??=?=.例13．y=lncos(ex),求dx

dy.解:

])[cos()

cos(1])cos([ln'?='=xxxeeedxdy

)tan()()]sin([)

cos(1xxxxxeeeee-='?-?=

.

例14．x

ey1sin=,求

dx

dy.解:

)1(1cos)1(sin)(1sin

1sin1sin'??='?='=x

xexeedxdyxxxx

exx1cos11sin2??-=.例15设x>0,证实幂函数的导数公式(xμ)'=μxμ-1.

解由于xμ=(elnx)μ=eμlnx,所以

(xμ)'=(eμlnx)'=eμlnx?(μlnx)'=eμlnx?μx-1=μxμ-1.

四、基本求导法则与导数公式

1．基本初等函数的导数:(1)(C)'=0,(2)(xμ)'=μxμ-1,(3)(sinx)'=cosx,(4)(cosx)'=-sinx,(5)(tanx)'=sec2x,(6)(cotx)'=-csc2x,(7)(secx)'=secx?tanx,(8)(cscx)'=-cscx?cotx,(9)(ax)'=axlna,(10)(ex)'=ex,(11)axxaln1

)(log=',

(12)x

x1

)(ln=',

(13)211)(arcsinxx-=

',(14)2

11)(arccosxx--

='.(15)211)(arctanxx+=',

(16)211)cotarc(x

x+-='.

2．函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x),v=v(x)都可导,则(1)(u±v)'=u'±v',(2)(Cu)'=Cu',(3)(uv)'=u'?v+u?v',(4)2

)(vvuvuvu'

-'='.

3．反函数的求导法则

设x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f'(y)≠0,则它的反函数y=f-1(x)在Ix=f(Iy)内也可导,并且

)

(1])([1yfxf'='-.或dy

dxdxdy

1=.

4．复合函数的求导法则

设y=f(x),而u=g(x)且f(u)及g(x)都可导,则复合函数y=f[g(x)]的导数为

dx

du

dudydxdy?=或y'(x)=f'(u)?g'(x).例16.求双曲正弦shx的导数.解:由于)(2

1shxxeex--=,所以

xeeeexxxxxch)(21)(21)sh(=+='-='--,

即(shx)'=chx.

类似地,有

(chx)'=shx.

例17.求双曲正切thx的导数.解:由于xxxchshth=,所以

x

xxx222chshch)(th-='x2ch1

=.

例18.求反双曲正弦arshx的导数.

解:由于)1ln(arsh2xxx++=,所以2

2211)11(11)arsh(xxxxxx+=++?++=

'.由)1ln(arch2-+=xxx,可得1

1)arch(2-=

'xx.

由xxx-+=11ln21arth,可得211)arth(xx-='.

类似地可得1

1)arch(2-=

'xx,211)arth(xx-='.

例19．y=sinnx?sinnx(n为常数),求y'.

解:y'=(sinnx)'sinnx+sinnx?(sinnx)'

=ncosnx?sinnx+sinnx?n?sinn-1x?(sinx)'

=ncosnx?sinnx+nsinn-1x?cosx=nsinn-1x?sin(n+1)x.

§2.3高阶导数

普通地,函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数.我们把y'=f'(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y''、f''(x)或2

2dxy

d,即y''=(y')',f''(x)=[f'(x)]',

)(22dx

dy

dxddxyd=.相应地,把y=f(x)的导数f'(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数.

类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,???,普通地,(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数,分离记作

y''',y(4),???,y(n)或

33dxyd,44dxyd,???,n

ndxy

d.函数f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导.假如函数f(x)在点x处具有n阶

导数,那么函数f(x)在点x的某一邻域内必然具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.

y'称为一阶导数,y'',y''',y(4),???,y(n)都称为高阶导数.

例1．y=ax+b,求y''.解:y'=a,y''=0.

例2．s=sinωt,求s''.

解:s'=ωcosωt,s''=-ω2sinωt.

例3．证实:函数22xxy-=满足关系式y3y''+1=0.证实:由于2

2212222xxxxxxy--=--=

',22222222)

1(2xxxxx

xxxy=

'')2()2()1(22222xxxxxxx+-=32

321)2(1yxx-=--=,所以y3y''+1=0.

例4．求函数y=ex的n阶导数.解;y'=ex,y''=ex,y'''=ex,y(4)=ex,普通地,可得

y(n)=ex,即(ex)(n)=ex.

例5．求正弦函数与余弦函数的n阶导数.解:y=sinx,

)2

sin(cosπ+=='xxy,

)22sin()22sin()2cos(ππππ?+=++=+=''xxxy,

)23sin()222sin()22cos(ππππ?+=+?+=?+='''xxxy,)24sin()23cos()4(ππ?+=?+=xxy,普通地,可得

)2sin()(π?+=nxyn,即)2sin()(sin)(π?+=nxxn.

用类似办法,可得)2

cos()(cos)(π?+=nxxn.

例6．求对函数ln(1+x)的n阶导数

解:y=ln(1+x),y'=(1+x)-1,y''=-(1+x)-2,y'''=(-1)(-2)(1+x)-3,y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4,普通地,可得

y(n)=(-1)(-2)???(-n+1)(1+x)-nn

nxn)1()!

1()1(1+--=-,即n

nnxnx)1()!

1()1()]1[ln(1

)(+--=+-.例6．求幂函数y=xμ(μ是随意常数)的n阶导数公式.解:y'=μxμ-1,

y''=μ(μ-1)xμ-2,

y'''=μ(μ-1)(μ-2)xμ-3,

y(4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)xμ-4,普通地,可得

y(n)=μ(μ-1)(μ-2)???(μ-n+1)xμ-n,即(xμ)(n)=μ(μ-1)(μ-2)???(μ-n+1)xμ-n.当μ=n时,得到

(xn)(n)=μ(μ-1)(μ-2)???3?2?1=n!.而(xn)(n+1)=0.

假如函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处具有n阶导数,那么明显函数u(x)±v(x)也在点x处具有n阶导数,且

(u±v)(n)=u(n)+v(n).(uv)'=u'v+uv'

(uv)''=u''v+2u'v'+uv'',

(uv)'''=u'''v+3u''v'+3u'v''+uv''',用数学归纳法可以证实

∑=-=n

kkknknnvuCuv0)()()

()(,这一公式称为莱布尼茨公式.

例8．y=x2e2x,求y(20).解:设u=e2x,v=x2,则

(u)(k)=2ke2x(k=1,2,???,20),

v'=2x,v''=2,(v)(k)=0(k=3,4,???,20),代入莱布尼茨公式,得

y(20)=(uv)(20)=u(20)?v+C201u(19)?v'+C202u(18)?v''=220e2x?x2+20?219e2x?2x!21920?+218e2x?2

=220e2x(x2+20x+95).

§2.4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

一、隐函数的导数

显函数:形如y=f(x)的函数称为显函数.例如y=sinx,y=lnx++ex.隐函数:由方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数.例如,方程x+y3-1=0确定的隐函数为y31xy-=.

假如在方程F(x,y)=0中,当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数.

把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.隐函数的显化有时是有困难的,甚至是

不行能的.但在实际问题中,有时需要计算隐函数的导数,因此,我们希翼有一种办法,不管隐函数能否显化,都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程ey+xy-e=0所确定的隐函数y的导数.解:把方程两边的每一项对x求导数得(ey)'+(xy)'-(e)'=(0)',即ey?y'+y+xy'=0,从而ye

xy

y+-

='(x+ey≠0).例2．求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y=f(x)在

x=0处的导数y'|x=0.

解:把方程两边分离对x求导数得5y?y'+2y'-1-21x6=0,

由此得2

521146

++='yxy.由于当x=0时,从原方程得y=0,所以2

1|2521

1|0460=++='==xxyxy.例3.求椭圆191622=+yx在)

32

3,2(处的切线方程.

解:把椭圆方程的两边分离对x求导,得0928='?+yyx.

从而y

xy169-='.

当x=2时,323=y,代入上式得所求切线的斜率

4

3|2-

='==xyk.所求的切线方程为

)2(43323--=-xy,即03843=-+yx.

解:把椭圆方程的两边分离对x求导,得

09

2

8='?+yyx.将x=2,32

3

=y,代入上式得

03

141='?+y,

于是k=y'|x=24

3-

=.所求的切线方程为

)2(4

3323--=-xy,即03843=-+yx.

例4．求由方程0sin21=+-yyx所确定的隐函数y

的二阶导数.

解:方程两边对x求导,得0cos211=?+-dx

dy

ydxdy,于是

y

dxdycos22-=

.上式两边再对x求导,得

3

222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdy

ydxy

d--=-?

-=

.对数求导法:这种办法是先在y=f(x)的两边取对数,然后再求出y的导数.

设y=f(x),两边取对数,得lny=lnf(x),两边对x求导,得])([ln1'='xfyy

,

y'=f(x)?[lnf(x)]'.

对数求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数.

例5．求y=xsinx(x>0)的导数.解法一:两边取对数,得lny=sinx?lnx,上式两边对x求导,得

xxxxyy1sinlncos1?+?=',

于是)1sinln(cosxxxxyy?+?='

)sinln(cossinx

xxxxx+?=.

解法二:这种幂指函数的导数也可按下面的办法求:

y=xsinx=esinx·

lnx,

)sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx+?='?='?.

例6.求函数)

4)(3()

2)(1(=

xxxxy的导数.

解:先在两边取对数(假定x>4),得

lny21=[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],

上式两边对x求导,得

)41312111(211+-='xxxxyy,

于是)4

1312111(2+-='xxxxy

y.

当x4,x<1,2<x<3三种状况研究,但结果都是一样的.

二、由参数方程所确定的函数的导数

设y与x的函数关系是由参数方程???==)()

(tytxψ?确定的.则称此函数关系所表达的函数为由参

数方程所确定的函数.

在实际问题中,需要计算由参数方程所确定的函数的导数.但从参数方程中消去参数t有时会有困难.因此,我们希翼有一种办法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.设x=?(t)具有单调延续反函数t=?-1(x),且此反函数能与函数y=ψ(t)构成复合函数y=ψ[?-1(x)],若x=?(t)和y=ψ(t)都可导,则

)

()

(1ttdt

dxdtdydxdtdtdydxdy?ψ''=

?=?=,即)

()

(ttdxdy?ψ''=或dt

dxdtdydxdy=.

若x=?(t)和y=ψ(t)都可导,则

)

()

(ttdxdy?ψ''=

.例7.求椭圆?

??==tbytaxsincos在相应于4π=t点处的切线方程.解:ta

btat

btatbdxdycotsincos)cos()sin(-=-=''=.

所求切线的斜率为a

bdxdy

t-==4π

.切点的坐标为224cos0aax==π,2

24sin0bby==π.切线方程为)2

2(22axabby--=-,即bx+ay2-ab=0.

例8．抛射体运动轨迹的参数方程为?????-==2212

1gttvytvx,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.y=v2t-gt2

解:先求速度的大小.

速度的水平重量与铅直重量分离为

x'(t)=v1,y'(t)=v2-gt,

所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为22)]([)]([tytxv'+'=22

21)(gtvv-+=.再求速度的方向,

设α是切线的倾角,则轨道的切线方向为1

2)()(tanvgtvtxtydxdy-=''==α.已知x=?(t),y=ψ(t),如何求二阶导数y''?

由x=?(t),)

()(ttdxdy?ψ''=,dx

dtttdtddxdydxddxyd))()(()(22?ψ''==)(1)()()()()(2tttttt???ψ?ψ'?''''-'''=

)

()()()()(3ttttt??ψ?ψ''''-'''=.例9．计算由摆线的参数方程?

??-=-=)cos1()sin(tayttax所确定的函数y=f(x)的二阶导数.

解:)()(txtydxdy''=)

cos1(sin])sin([])cos1([tatattata-='-'-=2

cotcos1sinttt=-=(t≠2nπ,n为整数).dx

dttdtddxdydxddxyd?==)2(cot)(22

22)cos1(1)cos1(12sin21

tatat--=-?-=(t≠2nπ,n为整数).

三、相关变化率

设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,而变量x与y间存在某种关系,从而变化率dt

dx与dtdy间也存在一定关系.这两个互相依靠的变化率称为相关变化率.相关变化率问题就是讨论这两个变化率之间的关系,以便从其中一个变化率求出另一个变化率.

例10一气球从离开观看员500f处离地面铅直升高,其速度为140m/min(分).当气球高度为500m时,观看员视线的仰角增强率是多少？

解设气球升高t(秒)后,其高度为h,观看员视线的仰角为α,则

500

tanh=α.其中α及h都是时光t的函数.上式两边对t求导,得

dt

dhdtd?=?5001sec2αα.已知140=dt

dh(米/秒).又当h=500(米)时,tanα=1,sec2α=2.代入上式得140500

12?=dtdα,所以14.0500

70==dtdα(弧度/秒).即观看员视线的仰角增强率是每秒0.14弧度.

§2.5函数的微分

一、微分的定义

引例函数增量的计算及增量的构成.

一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x0变到x0+?x,问此薄片的面积转变了多少？

设此正方形的边长为x,面积为A,则A是x的函数:A=x2.金属薄片的面积转变量为?A=(x0+?x)2-(x0)2=2x0?x+(?x)2.

几何意义:2x0?x表示两个长为x0宽为?x的长方形面积;(?x)2表示边长为?x的正方形的面积.

数学意义:当?x→0时,(?x)2是比?x高阶的无穷小,即(?x)2=o(?x);2x0?x是?x的线性函

数,是?A的主要部分,可以近似地代替?A.

定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+?x在这区间内,假如函数的增量?y=f(x0+?x)-f(x0)

可表示为

?y=A?x+o(?x),

其中A是不依靠于?x的常数,那么称函数y=f(x)在点x0是可微的,而A?x叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量?x的微分,记作dy,即

dy=A?x.

函数可微的条件:函数f(x)在点x0可微的充分须要条件是函数f(x)在点x0可导,且当函数f(x)在点x0可微时,其微分一定是

dy=f'(x0)?x.

证实:设函数f(x)在点x0可微,则按定义有

?y=A?x+o(?x),

上式两边除以?x,得

x

xoAxy??+=??)(.于是,当?x→0时,由上式就得到)(lim

00xfxyAx'=??=→?.因此,假如函数f(x)在点x0可微,则f(x)在点x0也一定可导,且A=f'(x0).

反之,假如f(x)在点x0可导,即

)(lim00xfx

yx'=??→?存在,按照极限与无穷小的关系,上式可写成

α+'=??)(0xfx

y,其中α→0(当?x→0),且A=f(x0)是常数,α?x=o(?x).由此又有

?y=f'(x0)?x+α?x.

因且f'(x0)不依靠于?x,故上式相当于

?y=A?x+o(?x),

所以f(x)在点x0也是可导的.

简要证实:一方面

Axfxyx

xoAxyxoxAyx='=?????+=???

?+?=?→?)(lim)()(00.别一方面

xxxfyxfxyxfxyx?+?'=??+'=???'=??→?αα)()()(lim0000.以微分dy近似代替函数增量?y的合理性:

当f'(x0)≠0时,有

1lim)(1)(limlim

00000=?'=?'?=?→?→?→?dxyxfxxfydyyxxx.?y=dy+o(dy).

结论:在f'(x0)≠0的条件下,以微分dy=f'(x0)?x近似代替增量?y=f(x0+?x)-f(x0)时,其误差为o(dy).因此,在|?x|很小时,有近似等式

?y≈dy.

函数y=f(x)在随意点x的微分,称为函数的微分,记作dy或df(x),即

dy=f'(x)?x,

例如dcosx=(cosx)'?x=-sinx?x;dex=(ex)'?x=ex?x.

例1求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.

解函数y=x2在x=1处的微分为

dy=(x2)'|x=1?x=2?x;

函数y=x2在x=3处的微分为

dy=(x2)'|x=3?x=6?x.

例2．求函数y=x3当x=2,?x=0.02时的微分.

解:先求函数在随意点x的微分

dy=(x3)'?x=3x2?x.

再求函数当x=2,?x=0.02时的微分

dy|x=2,?x=0.02=3x2|x=2,?x=0.02=3?22?0.02=0.24.

自变量的微分:

由于当y=x时,dy=dx=(x)'?x=?x,所以通常把自变量x的增量?x称为自变量的微分,记作dx,即dx=?x.于是函数y=f(x)的微分又可记作

dy=f'(x)dx.

从而有)(xfdx

dy'=.这就是说,函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数.因此,导数也叫做“微商”.

二、微分的几何意义

当?y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时,dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量.当|?x|很小时,|?y-dy|比|?x|小得多.因此在点M的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段.

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分的表达式

dy=f'(x)dx

可以看出,要计算函数的微分,只要计算函数的导数,再乘以自变量的微分.因此,可得假如下的微分公式和微分运算法则.

1.基本初等函数的微分公式

导数公式:微分公式:

(xμ)'=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx

(sinx)'=cosxd(sinx)=cosxdx

(cosx)'=-sinxd(cosx)=-sinxdx

(tanx)'=sec2xd(tanx)=sec2xdx

(cotx)'=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx

(secx)'=secxtanxd(secx)=secxtanxdx

(cscx)'=-cscxcotxd(cscx)=-cscxcotxdx

(ax)'=axlnad(ax)=axlnadx

(ex)=exd(ex)=exdx

a

xxaln1)(log='dxaxxdaln1)(log=xx1)(ln='dxx

xd1)(ln=211)(arcsinxx-='dxxxd2

11)(arcsin-=211)(arccosxx--

='dxxxd211

)(arccos--=211

)(arctanx

x+='dxxxd211

)(arctan+=211

)cotarc(x

x+-='dxxxd211

)cotarc(+-=

2.函数和、差、积、商的微分法则

求导法则:微分法则:

(u±v)'=u'±v'd(u±v)=du±dv

(Cu)'=Cu'd(Cu)=Cdu

(u?v)'=u'v+uv'd(u?v)=vdu+udv

)0()(2

≠'-'='vvvuvuvu)0()(2≠-=vdxvudvvduvud证实乘积的微分法则:

按照函数微分的表达式,有

d(uv)=(uv)'dx.

再按照乘积的求导法则,有

(uv)'=u'v+uv'.

于是d(uv)=(u'v+uv')dx=u'vdx+uv'dx.

因为u'dx=du,v'dx=dv,

所以d(uv)=vdu+udv.

3.复合函数的微分法则

设y=f(u)及u=?(x)都可导,则复合函数y=f[?(x)]的微分为

dy=y'xdx=f'(u)?'(x)dx.

于由?'(x)dx=du,所以,复合函数y=f[?(x)]的微分公式也可以写成

dy=f'(u)du或dy=y'udu.

由此可见,无论u是自变量还是另一个变量的可微函数,微分形式dy=f'(u)du保持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示,当变换自变量时,微分形式dy=f'(u)du并不转变.例3．y=sin(2x+1),求dy.

解:把2x+1看成中间变量u,则

dy=d(sinu)=cosudu=cos(2x+