2010年广东省初中数学竞赛初赛试题第十四题

2010年广东省初中数学竞赛初赛试题第十四题题目十四：已知三个实数$a,b,c$满足$\sqrt{2}+\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b+c}=2\sqrt{a}$，求$\dfrac{3a-b}{c}$的值。

【解析】

本题是一道求值问题，根据题目中给出的条件可以构造出一个关于$a,b,c$的方程，通过对方程进行推导和简化，最终得出$\dfrac{3a-b}{c}$的值。

首先，利用题目中给出的条件构造方程，设$\sqrt{a+b}=x$，$\sqrt{a-b+c}=y$，则

$$\sqrt{2}+x+y=2\sqrt{a}$$

对两边平方可以得到

$$2+x^2+y^2+2xy+2x\sqrt{2}+2y\sqrt{2}=4a$$

进一步改写上式，我们能得到

$$\begin{aligned}&x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2-2xy\\=&\left(2\sqrt{a}-\sqrt{2}\right)^2-2\left(2a-b+c\right)\\=&10-8\sqrt{2}-4a+2b-2c\end{aligned}$$

再来看第二部分，利用$\dfrac{3a-b}{c}$的定义式，我们可以得到

$$\dfrac{3a-b}{c}=3\cdot\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}$$

我们考虑将分母中的$c$消去，进而转化为$a$，$b$，$x$和$y$等能够确定的变量，通过将$c$写成“先解方程”的形式，将其代入上式。

利用第一步中的式子，我们可以将$c$的值表示为

$$c=a+b-x^2=\left(a-\dfrac{1}{2}x^2+b\right)-\dfrac{1}{2}\left(x^2-y^2+2xy-10+8\sqrt{2}\right)$$

将上述表达式代入$\dfrac{3a-b}{c}$的定义式中，可以化简为

$$\begin{aligned}\dfrac{3a-b}{c}=&\dfrac{6a-2b-3x^2+1.5x^2-1.5y^2-3xy}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{1.5\left(x^2+y^2+2xy-6\sqrt{2}\right)-2a+b}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{1.5\left(10-6\sqrt{2}-8a+2b-2c\right)-2a+b}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\end{aligned}$$

然后，我们将$x$的值用原方程的形式来表示，代入$\dfrac{3a-b}{c}$中，就可以得到

$$\begin{aligned}\dfrac{3a-b}{c}=&\dfrac{1.5\left(10-6\sqrt{2}-8a+2b-2c\right)-2a+b}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{2b-1.5\left(x^2+y^2+2xy-6\sqrt{2}\right)}{a-\dfrac{1}{2}x^2+b}\\=&\dfrac{8b-3\left(x+y\right)^2+9\sqrt{2}}{4a-b+c}\end{aligned}$$

最后，我们代入题目中的方程

$$\sqrt{2}+x+y=2\sqrt{a}$$

得到$x+y=2\sqrt{a}-\sqrt{2}$，因此

$$\begin{aligned}&\dfrac{3a-b}{c}\\=&\dfrac{8b-3\left(x+y\right)^2+9\sqrt{2}}{4a-b+c}\\=&\dfrac{8b-3\left(2\sqrt{a}-\sqrt{2}\right)^2+9\sqrt{2}}{4a-b+a+b-2\sqrt{a^2-b^2+c^2}}\\=&\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+1\end{aligned}$$

因此，我们得到了$\dfrac{3a-b}{c}$的值，为$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+1$。

【总结】

本题通过构造方程、推导和简化，得出了$\dfrac{3a-