高等数学考研大总结系列之一预备知识

第4页第一章预备知识一，函数1函数的定义：⑴传统定义：如果在某变化过程中的两个变量,并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值与之对应，那么就是的函数。⑵近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。记：（X∈A）其中称为自变量，称为因变量。表示函数在点处的值，A称为函数的定义域，记为：；称为函数的值域，记为：。解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化，而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值时，另一个变量总有确定的值与之对应。函数的本质就是对应关系。2函数的三要素：定义域，值域，对应法则。解析：⑴常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。②定义域。③定义域。④（ａ>O，ａ≠1）定义域。⑤定义域。⑥定义域。⑦定义域。⑧定义域。⑨定义域。⑩定义域。⑾某些实际问题要注意函数的实际意义。⑿求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。⑵在研究函数时要树立定义域优先的原则。⑶注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义域与定义区间是不同的例如：的定义域由这些孤立的点组成而无定义区间。（结合幂级数的收敛域和收敛区间）⑷函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X）③反函数法（即互换法）。④均值定理法。⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换元法。⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。）⑨形如的对号函数（图象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）可考虑用函数的单调性当>O时，单减区间为，单增区间为其分界点为至于<O的情况可根据奇偶性解决。3函数的表示法：⑴具体函数的表示法：①表格法（清晰，直观，精确）②图象法（形象，明显，易比较）③解析法，公式法（便于分析与计算）⑵抽象函数的表示方法：①坐标法（概括）②叙述法（语言描述具有启发性）4函数的性质（定义域范围内，假设性定义）：㈠界性：①有界性：如果存在正数M使得对任意ｘ∈Ｘ都成立，则称函数有界；若则有上界，若则有下界。既有上界又有下界称为有界。②无界性：对于任给的正数Ｍ，总存在使得则称函数无界。即：对任意给定一个正数Ｍ都不可能是的界，但相对于每一部分却是有上或下界的。㈡单调性：设函数，对于任意的（代数角度）①如果当<时恒有(或)则称在上是单调增(减)函数(单调函数)。②如果当<时恒有(或)则称在上是严格增(减)函数(严格单调函数)。解析：与导数的关系：设那么>0(或<0)在上是增(减)函数,几何属性:增(减)函数图象上任意两点连线的斜率大于(小于)0。㈢奇偶性:设对于任意的属于A有-属于A如果在A上定义并且对于任意的属于A满足=（)则称是一个定义在A上的奇(偶)函数。解析：⑴定义域关于原点对称是奇偶性存在的必要条件。⑵奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称。（利用其画图象）⑶如果是奇函数,那么在关于原点对称的区间上的单调性相同,若为偶函数,那么在关于轴对称的区间上的单调性相反。⑷一般情况，证明定义在奇函数时要考虑特殊点即:；此外若函数满足，则函数是奇函数。⑸可对关系等式进行四则运算即：①奇函数或。②偶函（横轴截距型。横轴交点且）。重要特性：ⅰ。ⅱ。建立一次函数与二次函数之间的关系：。ⅲ。根据图象研究其根的分布。④绝对值函数：，其图象为第一，二象限角分线。⑤指数函数：。ⅰ。定义域：。ⅱ。值域：，图象恒过点。ⅲ。当是为增函数，当时为减函数。⑥对数函数：ⅰ。定义域：。ⅱ。值域：，图象恒过点。ⅲ。当时为增函数，当时为减函数。⑦幂函数：（由于取值的不同其定义域A的情况也不同）ⅰ。当＞0时，函数在上有定义且是严格增函数。＜0时函数在上有定义且是严格减函数。ⅱ。当越小时，其图象越接近于直线。ⅲ。当取某些有理数时其定义域可扩展到负半轴。⑧三角函数：ⅰ。函数名称正弦函数余弦函数正切函数余切函数函数符号函数图象定义域值域RR单调性增减增减增减奇偶性奇偶奇奇周期性最小正周期：最小正周期：最小正周期：最小正周期：界性有界函数有界函数无界函数无界函数最值时时时时无无对称性既是中心对称，又是轴对称。既是中心对称，又是轴对称。中心对称中心对称对称中心对称轴无无ⅱ。一般表达式：（其中，A为振幅决定伸缩性（纵轴），决定伸缩性（横轴）周期，相位，初相决定奇偶性。）⑨反三角函数：ⅰ。函数名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数函数符号定义域值域图象单调性增减增减奇偶性奇无奇无界性ⅱ。已知三角函数值求角：函数函数函数⑩多项式函数：。有理函数：（均为多项式函数）第二类函数：①符号函数：奇函数；单调上升（非严格）；非周期；有界②最大整数函数：取整的两个重要关系：㈠㈡（表示小数部分）非奇非偶；单调上升（非严格）；非周期；无界③小数部分函数：非奇非偶；非单调；周期函数，周期为1；有界④狄里克雷(Dirichlet)函数：（使得数学研究函数的计算转变到研究函数的概念，性质，结构。）偶函数；非单调；周期函数，任意有理数是它的周期，不存在最小周期；有界⑤整标函数（数列）：我们将定义在正整数集上的函数叫做整标函数（数列）。常用关系：⑥黎曼(Riemann)函数：（周期为1且在无理数时连续）⑦双曲函数（工程技术中经常用到，属于初等函数）：ⅰ。双曲正弦函数：ⅱ。双曲余弦函数：ⅲ。双曲正切函数：ⅳ。双曲余切函数：ⅴ。双曲正割函数：ⅵ。双曲余割函数：。函数名称双曲正弦双曲余弦双曲正切双曲余切函数符号函数图象定义域值域单调性增减增增减奇偶性奇偶奇奇界性无无有无最值无当时，无无对称性中心对称轴对称中心对称中心对称对称中心无对称轴无轴无无⑧反双曲函数:ⅰ。反双曲正弦：ⅱ。反双曲余弦：ⅲ。反双曲正切：ⅳ。反双曲余切：ⅴ。反双曲正割：ⅵ。反双曲余割：函数名称反双曲正弦反双曲正切反双曲余切函数符号定义域值域函数图象单调性增增减奇偶性奇奇奇界性无无无⑨双曲函数与三角函数的比较函数名称双曲函数三角函数零点性质奇偶性为奇函数，为偶函数为奇函数，为偶函数基本关系式⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑴⑵⑶⑷⑸⑹界性无界，有界有界无界周期非周期函数周期函数最值有，其余无有和，其余无渐近线与存在存在二，不等式1常用不等式：⑴设则（当且仅当时取等）。⑵绝对值三角不等式：⑶设则⑷均值不等式：设则（当且仅当ａ=ｂ时取等）反映了和与积的关系。推广：设（分别称为：调和平均，几何平均，算术平均，平方平均）⑸伯努力（Bernoulli）不等式：设则⑹对于任意的则⑺柯西(Cauchy)不等式：对任意实数有（当且仅当时取等）（可以顺利地求出某些含有约束条件的多变量函数的最值问题）⑻排序不等式：设为两组实数，为的任一排列，则有（即：反序和乱序和顺序和）当且仅当时等号成立。⑼切比晓夫不等式：设为任意两组实数，①如果且或且，则：②如果而或而，则：上述两式中当且仅当时等号成立。⑽加权平均不等式：设为正数，都是正有理数，并且，那么有：⑾杨格（W。H。Young）不等式：设为有理数，满足条件（互称共轭指标），为正数，则：（体现了有理数逼近无理数的思想，与定积分的联系）。2常用不等式的证明方法：⑴比较法⑵综合法⑶分析法⑷反证法⑸放缩法⑹判别式法⑺换元法⑻构造法⑼归纳法：①不完全归纳法②完全（枚举）归纳法③数学归纳法三，任意小正数假设ａ，ｂ为两实数，如果对任意给定的小正数都有则必有。解析：任意小正数的灵魂所在是任意小的，它的本质所在是确定的正常数。四，邻域的邻域及ａ的无（去）心邻域。解析：数学分析的基础性概念。附注1：三角函数公式1两角和差的三角函数公式：⑴⑵⑶，特别地，⑷2二倍角和三倍角公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹运用隶莫弗公式得：其中，，对于任意实数和任意实数，有，3半角公式：⑴⑵⑶⑷4和差化积公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺5积化和差公式：⑴⑵⑶⑷6辅助角公式：⑷7基本公式：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺;⑻⑼；⑽8常见公式：若则：⑴⑵⑶⑷9三角形基本定理：⑴正弦定理：（其中为外接圆半径）⑵余弦定理：（其余公式循环置换即可）⑶正切定理：⑷半角定理：①②③（其中为内切圆半径，为周长之半，且）10三角形面积公式：=（，，所代表的意义同上）(其中)。附注2：双曲函数公式1双曲函数的和差公式：⑴⑵⑶2双曲函数的二倍角公式：⑴⑵⑶3双曲函数的半角公式：⑴；⑵⑶附注3：常见的指对数运算1指数运算：⑴⑵；；；2对数运算：如果那么，⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿；⒀；⒁（换底公式，固定了底，避免了分类讨论）附注4：数学方法1变换与转化：把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决的问题中去。⑴问题转化：①特殊化②简单化③一般化④极端化⑤明朗化⑵结构变换：改变问题的条件或结论，可以简化解题途径。⑶等价变换：恒等式与不等式的证明中常常采用此种方法。①配方法②裂项法③待定系数法④特殊值法0或1。⑷易元变换：化繁为简，转难为易。①线性代换②倒数代换③指对数代换④三角代换⑤复变量代换⑥增量代换等。2分解与组合：分解深入内部，把握本质。组合实现化归，宏观把握。分解的对象：①问题本身②问题条件③问题外延④实现目标。3关系映射反演（RMI）⑴函数法⑵坐标法⑶复数与向量法⑷参数法。4模型与构造：⑴模式构造⑵公式构造⑶特例构造⑷方程构造⑸图形构造⑹命题构造⑺函数构造。5概括与抽象：6观察与实验：发现数学事实，深入事物本质，反映规律。7比较与分类：发现