【课件】变化率问题+课件高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题第五章

一元函数的导数及其应用问题引入在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．

如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？新知探索高台跳水运动员的速度

新知探索问题1

如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？

高台跳水运动员的速度新知探索问题2

如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？

高台跳水运动员的速度新知探索

高台跳水运动员的速度新知探索

答案

运动员的平均速度，只关注了从初始到终止这个时间段的情况，忽略了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态.瞬时速度高台跳水运动员的速度新知探索问题5瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在t＝1s时的瞬时速度吗？平均速度缩短时间段长度瞬时速度v(t0)高台跳水运动员的速度答案

新知探索

在t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋Δt.当Δt＞0时，1＋Δt在1之后，在[1，1＋Δt]这段时间，有高台跳水运动员的速度

在t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋Δt.当Δt＜0时，1＋Δt在1之前，在[1＋Δt，1]这段时间，有新知探索高台跳水运动员的速度Δt＞0时，［1，1＋Δt］Δt＜0时，［1＋Δt，1］

当Δt趋近于0时，平均速度趋近于－5.新知探索高台跳水运动员的速度

答案

无论Δt的正负，只要无限趋近于0，也就是时间间隔不断变小，平均速度都无限趋近于－5.新知探索高台跳水运动员的速度问题7

你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？答案计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征，需要从更加理性的角度加以说明.新知探索高台跳水运动员的速度

因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时间段[1，1＋Δt]（或[1＋Δt

，1]）的平均速度为新知探索高台跳水运动员的速度

当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5.

我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，

的极限”，记为新知探索高台跳水运动员的速度梳理瞬时速度(1)物体在

的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内某一时刻极限新知探索问题8

如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？答案不一定！xyOf(x)＝x2112234P0新知探索抛物线的切线斜率问题9如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案不一定！xyOf(x)＝sinx－11新知探索抛物线的切线斜率问题10对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？xyOf(x)＝x2112234P0过点(1，h(1))和点(t1，h(t1))的直线斜率新知探索答案抛物线的切线斜率xO112234P0P将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况.f(x)＝x2y新知探索抛物线的切线斜率1234P0Pf(x)＝x2yTxO12当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线.新知探索抛物线的切线斜率问题11如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？切线位置割线位置无限逼近切线斜率割线斜率无限逼近取极限新知探索抛物线的切线斜率答案

记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标即为(1＋Δx，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率让横坐标变化量Δx趋近于0，观察割线斜率的变化.Δx→0时，斜率k→2.新知探索抛物线的切线斜率当Δx无限趋近于0时，割线斜率k无限趋近于2.新知探索抛物线的切线斜率

我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，

的极限”，记为新知探索抛物线的切线斜率xyOf(x)＝x2112234P0PT

当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T．割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0．因此，切线P0T的斜率k0＝2．新知探索抛物线的切线斜率跟踪练习1．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝________.

1跟踪练习√2．已知曲线y＝2x