2021新高考圆锥曲线大题专题训练(含解析)

圆锥曲线大题训练一、解答题（共19题；共210分）1.（2021·贵阳二模）在平面直角坐标系中，椭圆：的焦距为2，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左焦点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于，两点，若点满足，求.2.（2021·淮北模拟）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，.过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.3.（2021·高州一模）已知点为椭圆上一点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点作直线，，与椭圆分别交于点，．（1）求椭圆的标准方程与离心率；（2）若直线，的斜率之和为0，证明：直线的斜率为定值．4.（2021·八省联考）双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．（1）求的离心率；（2）若在第一象限，证明：．5.（2021·崇明一模）已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为.（1）若点的坐标为，求点的坐标；（2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程；（3）求证：直线过定点.6.（2021·成都一诊）己知椭圆C：=1(a>b>0)的离心率为，且直线=1与圆x2+y2=2相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且0点在以4B为直径的圆上。记△AOM，△BOP的面积分别为S1，S2，求的取值范围．7.（2021·玉溪模拟）已知椭圆C：的离心率，左、右焦点分别为，，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E．求证：直线过定点．8.（2021·凉山州模拟）椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值.9.（2021·松江一模）已知椭圆Γ：的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点和，（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l经过点，且的面积为，求直线l的方程；（3）若直线l的方程为，点关于x轴的对称点为，直线，分别与x轴相交于P､Q两点，求证：为定值.10.（2021·青浦一模）已知动点到直线的距离比到点的距离大.（1）求动点所在的曲线的方程；（2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；（3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.11.（2021·浦东模拟）已知椭圆，、为的左、右焦点.（1）求椭圆的焦距；（2）点为椭圆一点，与平行的直线与椭圆交于两点A、B，若面积为，求直线的方程；（3）已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，椭圆和双曲线上满足的所有点组成曲线．若点是曲线上一动点，求的取值范围．12.（2021·榆林模拟）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）为坐标原点，若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与椭圆的焦点为圆心，以为半径的圆交于，两点，求证：为定值.13.（2021·汉中模拟）已知椭圆的离心率为，椭圆的中心到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点，对于椭圆上任意一点，若，求的最大值.14.（2020·宝鸡模拟）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点.（1）若，求的面积.（2）已知圆，过点P（4,4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D，E，求证直线DE也与圆M相切.15.（2020·深圳模拟）已知，分别是椭圆的左、右焦点.（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；（2）设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.16.（2020·扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，左顶点为A，右焦点为F.已知斜率为2的直线l经过点F，与椭圆E相交于两点，且O到直线l的距离为

（1）求椭圆E的标准方程；（2）若过O的直线与直线分别相交于两点，且，求k的值.17.（2020·济宁模拟）已知点F为椭圆的右焦点，点A为椭圆的右顶点.（1）求过点F、A且和直线相切的圆C的方程；（2）过点F任作一条不与轴重合的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线PA，QA分别与直线相交于点M，N.试证明：以线段MN为直径的圆恒过点F.18.（2020·盐城模拟）已知椭圆C：的离心率，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l过椭圆的右焦点F，且，求直线l方程．19.（2020·龙岩模拟）已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.

答案解析部分一、解答题1.【答案】（1）解：由题可知，又，，∴，∴∴，又∴，，所以椭圆的方程为：.

（2）解：设，，中点，直线的方程为：，由可得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，所以，，所以.【解析】【分析】(1)利用椭圆：的焦距为2，求出c的值，再利用椭圆过点，结合代入法求出a,b的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。

（2）设，，再利用中点坐标公式设出AB的中点坐标，再利用椭圆标准方程求出左焦点坐标，再利用点斜式设出直线的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理，从而求出AB中点坐标与k的关系式，∵，∴，再利用两点求斜率公式，从而求出直线AB的斜率，进而求出直线AB的方程，再利用韦达定理结合弦长公式，从而求出的值。2.【答案】（1）解：因为离心率为，所以，又，所以，解得，，又，所以，所以椭圆方程为

（2）解：由（1）知，，设直线的方程为，，因为与关于原点对称，所以所以，若存在，使得恒成立，所以所以两边同乘得又因为在椭圆上，所以所以所以当时，则所以①；当时，与重合，联立方程，消元得，所以所以，代入①得，整理得，解得【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，，从而求出关于a,c的方程组，解方程组求出a,c的值，进而利用椭圆中a,b,c的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。

（2）由（1）求出的椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出左顶点为A和右焦点F的坐标，再利用斜截式设出直线的方程为，，，因为与关于原点对称，所以，再利用两点求斜率公式求出，，若存在，使得恒成立，所以，所以①，当时，与重合，联立直线和椭圆的方程结合韦达定理和代入法，代入①整理得出的值。

3.【答案】（1）解：由题设，得，①且，②由①②解得，，所以椭圆的标准方程为，椭圆的离心率为．

（2）解：直线的斜率为定值1.证明：设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，．设直线的方程为，与椭圆的方程联立，并消去得，则，是该方程的两根，则，即．设直线的方程为，同理得．因为，，所以，因此直线的斜率为定值．【解析】【分析】（1）利用点为椭圆上一点，结合代入法，得出，①，再利用椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，从而结合抛物线标准方程求出焦点坐标，进而求出椭圆焦点坐标，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而推出，②，由①②解得a,b的值，进而求出椭圆的标准方程，进而结合椭圆离心率公式求出椭圆的离心率。

（2）利用直线，的斜率之和为0，所以设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，，再利用点斜式设出直线的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出点A的坐标，再利用点斜式设出直线的方程，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出点B的坐标，再利用两点求斜率公式证出直线的斜率为定值。

4.【答案】（1）解：设双曲线的半焦距为，则，，因为，故，故，即，故.

（2）解：设，其中.因为，故，，故渐近线方程为：，所以，，当时，又，，所以，因为故，故.当，由（1）可得，故.综上，.【解析】【分析】（1）设双曲线的半焦距为，结合双曲线的标准方程确定焦点的位置，则，再利用动点在双曲线上，所以，因为，故，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,c的关系式，再利用离心率公式变形结合一元二次方程求根的方法，从而求出双曲线的离心率。

（2）因为点在第一象限，所以设，其中，由（1）求出的双曲线离心率结合离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的关系式，从而求出双曲线渐近线方程，所以，，当时，再利用直线的倾斜角与直线斜率的关系式结合两点求斜率公式，从而求出，，再利用二倍角的正切公式，从而求出=，因为，故，当，由（1）可得，故，从而证出。5.【答案】（1）解：因为，所以直线的方程为，令，得，所以；

（2）解：因为，所以直线的方程为，由得，所以，所以以为直径的圆的方程为，即；

（3）证明：设，因为，直线的方程为，由得，由韦达定理得，所以，所以，同理，直线的方程为，由得，由韦达定理得，所以，所以，由椭圆的对称性知这样的定点在轴上，设为，则三点共线，所以共线，所以恒成立，整理得恒成立，所以，故直线过定点.【解析】【分析】利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点为直线上的动点，从而求出点P的坐标，再利用两点式求出直线PA的直线，再利用直线与椭圆的另一交点为，联立二者方程求出交点C的坐标，再利用点的坐标为，从而求出点P的坐标。

（2）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点的坐标为，从而利用两点式求出直线PB的直线，再利用直线PB与椭圆的另一交点为D，联立二者方程求出交点D的坐标，再利用中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的直径，进而求出圆的半径，从而求出以为直径的圆的方程。

（3）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点为直线上的动点，设，从而利用两点求斜率公式求出直线PA的斜率，再利用点斜式设出直线的方程，再利用直线与椭圆的另一交点为，联立二者方程求出交点C的坐标，再利用两点求斜率公式求出直线PB的斜率，再利用点斜式设出直线PB的方程，再利用直线PB与椭圆的另一交点为D，联立二者方程求出交点D的坐标，再利用椭圆的对称性知这样的定点在轴上，设为，则三点共线，再利用三点共线得出两向量共线，再利用共线向量的坐标表示，从而变形整理求出m的值，进而求出直线的定点，从而证出直线过定点。6.【答案】（1）解：椭圆的离心率为，∴=

(C为半焦距)．∵直线=1，即bx+ay-ab=0与圆x2+y2=2相切，．∴又∵c2+b2=a2，∴a2=6，b2=3．∴椭圆C的方程为=1

（2）解：∵M为线段AB的中点，∴(i)当直线l的斜率不存在时，由OA⊥OB及椭圆的对称性，如下图1不妨设OA所在直线的方程为V=x，得=2．则=2，=6，∴(ii)当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0．∴△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-3)=8(6k2-m2+3)>0，即6k2-m2+3>0．∴x1+x2=，x1x2=∵点O在以AB为直径的圆上，=0，即x1x2+y1y2=0．∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．∴(1+k2)+km+m2=0，化简得m2=2k2+2，经检验满足△>0成立．线段AB的中点M(，)当k=0时，m2=2，此时当k≠0时，射线OM所在的直线方程为y=x，由消去y，得，∴∴∴∈(，)综上，

的取值范围为(，)【解析】【分析】（1）由离心率和直线与圆相切，即之间的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；

（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和，可得线段AB的中点M的坐标，求出射线OM所在的直线的方程与椭圆联立，求出P的值，再代入面积公式可得，

的取值范围。7.【答案】（1）解：因为椭圆C的离心率，所以，即．由得，所以，其焦点为，因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以．所以椭圆C的方程为．

（2）解：由（1）可得，，设点M的坐标为，直线的方程为：．将与联立消去y整理得：．设点D的坐标为，则，故，则．直线的方程为：，将与联立消去y整理得：．设点E的坐标为，则，故，则，直线的斜率为，直线的斜率为．因为，所以直线经过定点H．【解析】【分析】（1）首先根据题意求出抛物线的焦点坐标，即可求出椭圆的a的值，再利用离心率即可求出c的值，从而求出b的值，即可求解；

（2）由题意方程可得A，B两点的坐标，再设出点M的坐标，即可得到直线MA的方程与椭圆方程联立，求出点D的坐标，同理求出点E的坐标，求出直线HD，HE的斜率，可得两直线的斜率相等，则可得直线DE过定点H．8.【答案】（1）解：由题意得：则椭圆方程为；

（2）证明：解法一（常规方法)：设，联立化简可得：，直线与椭圆交于两点即解得：由韦达定理直线得斜率和为定值．解法二（构造齐次式)：由题直线恒过定点①当直线不过原点时，设直线为则即有由有则整理成关于的齐次式：，进而两边同时除以，则令则②当直线过原点时，设直线的方程为综合直线与直线的斜率之和为定值．【解析】【分析】（1）由题意得：

，进而求得的值，得到椭圆

的方程；

（2）设

，联立直线方程与椭圆方程，消元，利用韦达定理得到

，利用两点斜率坐标公式，结合韦达定理证得结果。9.【答案】（1）解：由题意得，，解得，，所以椭圆Γ的方程为.

（2）解：设点，的坐标为､，由题意可知，直线l的斜率存在设直线l的方程为.由方程组，得所以，解得.∴直线l的方程为

（3）解：由题意知点的坐标为将，代入得：，∴，对于直线，令得∴对于直线：，令得，∴.【解析】【分析】（1）根据题意，结合的关系即求得椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为

，与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出面积等于

，求解k的值，即可得直线的方程；

（3）由已知得的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，令，求出，即可得，并根据直线方程求出，然后相乘代入化简即可。

10.【答案】（1）解：已知动点到直线的距离比到点的距离大，等价于动点到直线的距离和到点的距离相等，由抛物线的定义可得曲线的轨迹时以为焦点，以直线为准线的方程，且，所以曲线的方程为.

（2）解：设直线的斜率为，因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，所以直线的斜率为，则，联立方程组，整理得，即，可得联立方程组，整理得，即，可得所以，即直线的斜率为定值.

（3）解：设直线的斜率为，所以直线的斜率为，则，两类方程组，整理得，即，可得，联立方程组，可得，即，可得所以，所以，整理得所以直线恒过.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义即可求解；

（2）设直线

的斜率为

，由直线

的斜率与直线

的斜率互为相反数，得直线

的斜率为，静儿。可求出直线PA,PB的方程分别与抛物线方程联立，求出点A,B的坐标，根据斜率的公式可得直线

的斜率为定值；

（3）设直线

的斜率为

，所以直线

的斜率为

，由（2）

可知A的坐标，写出PB的方程，与抛物线方程联立，求得B的坐标，写出AB所在直线方程，由直线系方程可得直线AB过定点。

11.【答案】（1）解：由椭圆的方程知：，即焦距为.

（2）解：设，代入得，由得，，所以，所以Q到直线的距离，由，得所以

（3）解：由解得，设是曲线上一点，又，，，，∴，当在曲线上时，，当时，，当时，，所以；当在曲线上时，；当时，，；综上，.【解析】【分析】（1）由椭圆方程，根据参数关系以及焦距的含义即可求出焦距；

（2）由直线和椭圆关系，令

，与椭圆方程联立有

，应用弦长公式，点线距离公式，三角形面积公式结合已知

面积为

，

即可求出的值；

（3）由题意知则曲线C由双曲线、椭圆中的部分构成，令

是曲线

上一点，应用向量数量积的坐标表示及可得

，讨论N在椭圆部分或双曲线部分，求得

的取值范围。12.【答案】（1）解：椭圆可得焦点，抛物线的焦点为，所以①，由可得，解得，所以②，由①②可得：，，所以椭圆的方程为：，抛物线C的方程为：；

（2）证明：设，则，圆的方程为：，圆的方程为：，所以直线的方程为：，设点到直线的距离为，则..所以为定值.【解析】【分析】（1）由已知求出椭圆的焦点

，抛物线的焦点

，再由抛物线与椭圆有相同的焦点，可得，把抛物线的准线方程与椭圆方程联立，可得

，再由

解出

，

，可得椭圆

与抛物线

的方程；

（2）设

，圆

的方程为：

，圆

的方程为：

，直线

的方程为：

，设点

到直线

的距离为

，根据点到直线的距离公式求出，进而得出

为定值。

13.【答案】（1）解：，，.椭圆的中心到直线的距离为，，..椭圆的方程为.

（2）解：由（1）可知，由题可知直线的方程为，与椭圆的方程联立，.设，则有.设，由得，又点在椭圆上，，，.①点在椭圆上，.②.③将②③代入①可得，，，当且仅当时取“”.的最大值为.【解析】【分析】（1）利用椭圆的离心率公式结合已知条件椭圆的离心率为，从而求出a,c的关系式，再利用椭圆的中心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式，从而求出b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式求出a,b,c的值，进而求出椭圆的标准方程。

（2）利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，进而求出右焦点坐标，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而结合已知条件求出直线的斜率，再利用点斜式求出过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线的方程，再利用直线和椭圆交于两点，联立二者方程结合韦达定理得出，设，由，结合向量的坐标运算得出，又因为点在椭圆上结合代入法，，①，点在椭圆上结合代入法，②，将②③代入①可得，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出的最大值。14.【答案】（1）解：抛物线的焦点为F(1,0)，设，把方程代入抛物线，可得，,点F到直线的距离，

（2）解：设过点P的直线方程为，由直线与圆M相切得，可得，设切线的斜率分别为，则，把代入抛物线方程可得,则4，是方程的两根,可得,同理.则有D（4（t1-1）2,4t1-4），E（4（t2-1）2,4t2-4）直线DE：即为则圆心到直线DE的距离为，由，代入上式，化简可得，所以直线DE与圆M相切.【解析】【分析】（1）利用抛物线标准方程确定焦点位置，从而求出焦点坐标，再利用直线与抛物线交于，两点，联立二者方程结合韦达定理和弦长公式求出AB两点的距离，再利用点到直线的距离公式求出焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式求出三角形的面积。

（2）利用点斜式设出设过点P的直线方程为，设切线的斜率分别为，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，再结合韦达定理得出，利用过点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点分别为，，联立直线与切线的方程求出点D,E的坐标，进而利用两点式求出直线CD的方程，再利用点到直线的距离公式结合代入法求出圆心到直线DE的距离，再利用直线与圆位置关系判断方法，从而证出直线也与圆相切。15.【答案】（1）解：因为椭圆方程为+y2=1，所以a=2，b-1，c=，可得F1(-，0)，F2(，0)，设P(x，y)(x>0，y>0)则=(--x，-y)·(-x，-y)=x2+y2-3=联立解得，→即P(1，)

（2）解：显然x=0不满足题意，可设的方程为y=kx+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立」4→(1+4k2)x2+16kx+12=0，由△=(16k)2-4(1+4k2)·12>0，得k2>x1+x2=，x1x2=又∠AOB为锐角，即>0，即x1x2+y1y2>0，x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0，(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)+2k()+4=>0，可得k2<4.又k2>，即为<k2<4，解将k∈(-2，-)∪(，2)【解析】【分析】（1）由椭圆的标准方程求出a,b,c的值，从而求出左焦点和右焦点坐标，再利用数量积的坐标表示结合圆与椭圆相交，联立二者方程求出交点的方法，从而求出点P的坐标。

（2）利用点斜式求出过定点的直线l方程，再利用直线l与椭圆交于不同的两点A，B，联立二者方程结合韦达定理和判别式法，从而利用数量积的坐标表示和取值范围，从而求出直线l的斜率k的取值范围。16.【答案】（1）解：设椭圆E的焦距为