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文档简介
二项分布当前第1页\共有40页\编于星期二\22点例1设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p,令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.贝努利概型和二项分布一、我们来求X的概率分布.当前第2页\共有40页\编于星期二\22点X的概率函数是:男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数,生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.当前第3页\共有40页\编于星期二\22点例2将一枚均匀骰子抛掷10次,令X表示3次中出现“4”点的次数X的概率函数是:不难求得,当前第4页\共有40页\编于星期二\22点掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点”一般地,设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果:A或,或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.新生儿:“是男孩”,“是女孩”抽验产品:“是正品”,“是次品”当前第5页\共有40页\编于星期二\22点这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验,简称贝努利试验或贝努利概型.再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同),每次试验成功的概率都是p,失败的概率都是q=1-p.当前第6页\共有40页\编于星期二\22点用X表示n重贝努利试验中事件A(成功)出现的次数,则(2)不难验证:(1)称r.vX服从参数为n和p的二项分布,记作X~B(n,p)当n=1时,P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称X服从0-1分布当前第7页\共有40页\编于星期二\22点例3
已知100个产品中有5个次品,现从中有放回地取3次,每次任取1个,求在所取的3个中恰有2个次品的概率.解:因为这是有放回地取3次,因此这3次试验的条件完全相同且独立,它是贝努利试验.依题意,每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数,于是,所求概率为:则X~B(3,0.05),当前第8页\共有40页\编于星期二\22点注:若将本例中的“有放回”改为”无放回”,那么各次试验条件就不同了,不是贝努里概型,此时,只能用古典概型求解.二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.可以简单地说,当前第9页\共有40页\编于星期二\22点例4
某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.解:设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数.X~B(3,0.8),把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验,“使用到1000小时已坏”视为“成功”.每次试验“成功”的概率为0.8
P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104当前第10页\共有40页\编于星期二\22点当前第11页\共有40页\编于星期二\22点对于固定n及p,当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点:X~B(n,p)当(n+1)p不为整数时,二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值;([x]表示不超过x
的最大整数)n=10,p=0.7nPk当前第12页\共有40页\编于星期二\22点对于固定n及p,当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.二项分布的图形特点:X~B(n,p)当(n+1)p为整数时,二项概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5Pkn0当前第13页\共有40页\编于星期二\22点当前第14页\共有40页\编于星期二\22点当前第15页\共有40页\编于星期二\22点想观看二项分布的图形随参数n,p的具体变化,请看演示二项分布当前第16页\共有40页\编于星期二\22点例5
为保证设备正常工作,需要配备适量的维修工人.设共有300台设备,每台的工作相互独立,发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下,一台设备的故障可由一人来处理.问:(1)若只配备一名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?(2)若配备两名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?当前第17页\共有40页\编于星期二\22点(3)若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01,至少应配备多少工人?我们先对题目进行分析:300台设备,独立工作,出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.
设X为300台设备同时发生故障的台数,300台设备,独立工作,每台出故障概率p=0.01.可看作n=300的贝努利概型.当前第18页\共有40页\编于星期二\22点X~B(n,p),n=300,p=0.01可见,“若只配备一名工人”那么只要同时发生故障的设备的台数X大于1,其中的X-1台设备就会得不到及时维修。即所求为问(1)若只配备一名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?同理,“若只配备两名工人”那么只要同时发生故障的设备的台数X大于2即可。所求为当前第19页\共有40页\编于星期二\22点300台设备,独立工作,出故障概率都是0.01.一台设备故障一人来处理.问(3)需配备多少工人,若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设X为300台设备同时发生故障的台数,X~B(n,p),n=300,
p=0.01设需配备N个工人,所求的是满足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X
N)0.99当前第20页\共有40页\编于星期二\22点解:设X为300台设备同时发生故障的台数,X~B(n,p),n=300,p=0.01下面给出正式求解过程:由此结果知,配备一名工人,设备发生故障而不能及时维修的概率很大,故配备一名工人不合理。当前第21页\共有40页\编于星期二\22点可见,配备两名工人,设备发生故障而不能及时维修的概率仍然很大,故配备两名工人仍不合理。当前第22页\共有40页\编于星期二\22点(3)设需配备N个维修工人,使得设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01,有
P(X>N)通过计算可知,则要使设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01,只需配备8名工人,平均每人负责38台。当前第23页\共有40页\编于星期二\22点若将该例改为:(1)若由一人负责20台设备,求这20台设备发生故障而不能及时维修的概率;解:(1)设随机变量X表示20台设备在同一时刻发生故障的台数,则当前第24页\共有40页\编于星期二\22点(2)若由3人共同负责维修80台设备,求这80台设备发生故障而不能及时维修的概率。解:设随机变量X表示80台设备在同一时刻发生故障的台数,则由(1)(2)结果,可看出后者的管理经济效益要好得多。当前第25页\共有40页\编于星期二\22点例6某人去一服务单位办事,排队等候的时间(分钟)为一随机变量,设其概率密度为:若此人等候时间超过15分钟则愤然离去。假设此人一个月要到该服务单位办事10次,则(1)此人恰好有2次愤然离去的概率;(2)此人至少有2次愤然离去的概率;(3)此人多数会愤然离去的概率。当前第26页\共有40页\编于星期二\22点解:当前第27页\共有40页\编于星期二\22点设随机变量Y表示“此人来服务单位办事10次中愤然离去的次数”,则(1)此人恰好有2次愤然离去的概率;(2)此人至少有2次愤然离去的概率;当前第28页\共有40页\编于星期二\22点(3)此人多数会愤然离去的概率。当前第29页\共有40页\编于星期二\22点二、二项分布的泊松近似
我们先来介绍二项分布的泊松近似,下一讲中,我们将介绍二项分布的正态近似.或诸如此类的计算问题,必须寻求近似方法.当试验次数n很大时,计算二项概率变得很麻烦,若要计算当前第30页\共有40页\编于星期二\22点定理的条件意味着当n很大时,p必定很小.因此,泊松定理表明,当n很大,p很小时有以下近似式:泊松定理设是一个正整数,,则有其中(证明见下一页).当前第31页\共有40页\编于星期二\22点证明:当前第32页\共有40页\编于星期二\22点当前第33页\共有40页\编于星期二\22点n100,np10时近似效果就很好请看演示二项分布的泊松近似实际计算中,其中当前第34页\共有40页\编于星期二\22点例5
为保证设备正常工作,需要配备适量的维修工人.设共有300台设备,每台的工作相互独立,发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下,一台设备的故障可由一人来处理.问:(1)若只配备一名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?(2)若配备两名工人,则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少?当前第35页\共有40页\编于星期二\22点解:设X为300台设备同时发生故障的台数,X~B(n,p),n=300﹥10,p=0.01﹤0.1(3)若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01,至少应配备多少工人?当前第36页\共有40页\编于星期二\22点查表可得:当前第37页\共有40页\编于星期二\22点
要使P(X>N)
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