高中数学人教B版四学案：1.3.1 正弦函数的图象与性质（一）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．3三角函数的图象与性质1．3.1正弦函数的图象与性质（一）[学习目标]1。了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法。2。掌握“五点法”画正弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．［知识链接]1．在如图所示的单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？答sinα＝MP；cosα＝OM.2．设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y＝sinx就是一个函数，称为正弦函数；正弦函数的定义域是什么?答正弦函数的定义域是R.3．作函数图象最基本的方法是什么？其步骤是什么？答作函数图象最基本的方法是描点法,其步骤是列表、描点、连线．［预习导引]1．正弦函数图象的画法（1）几何法—借助三角函数线．（2)描点法—五点法函数y＝sinx,x∈[0,2π］的图象上起关键作用的点有以下五个：（0，0)，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，2)，1))，（π,0)，eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,2）π，－1))，（2π，0)．（3)利用五点法作函数y＝Asinx(A>0）的图象时，选取的五个关键点依次是：（0，0),eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，2),A)），（π，0)，eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3，2)π，－A)），(2π，0)．2．正弦曲线的简单变换(1)函数y＝－sinx的图象与y＝sinx的图象关于x轴对称;(2)函数y＝sinx与y＝sinx＋k图象间的关系．当k〉0时，把y＝sinx的图象向上平移k个单位得到函数y＝sinx＋k的图象；当k<0时,把y＝sinx的图象向下平移|k｜个单位得到函数y＝sinx＋k的图象。要点一用“五点法”作正弦函数的图象例1利用“五点法"作出函数y＝1－sinx（0≤x≤2π)的简图．解列表:x0eq\f（π,2）πeq\f(3π,2)2πsinx010－101－sinx10121描点作图,如图所示：规律方法作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sinx的图象在[0，2π]上的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．跟踪演练1用“五点法”作出下列函数的简图:(1)y＝sinx－1,x∈［0,2π］；（2）y＝－sinx(0≤x≤2π)．解(1）列表：x0eq\f(π,2）πeq\f（3π,2)2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点连线，如图：(2)列表：x0eq\f（π,2)πeq\f（3π,2)2πsinx010－10－sinx0－1010描点作图，如图:要点二正弦函数图象的应用例2方程sinx＝lgx的解的个数是________．答案3解析用五点法画出函数y＝sinx，x∈［0，2π]的图象,再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sinx的图象．描出点eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,10），－1)），（1，0），（10，1）并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象,如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．规律方法利用三角函数图象能解决求方程解的个数问题，也可利用方程解的个数(或两函数图象的交点个数）求字母参数的范围问题．跟踪演练2函数f(x）＝sinx＋2｜sinx｜，x∈［0,2π］的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围．解f（x)＝sinx＋2|sinx|＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（3sinx,x∈［0，π]，,－sinx，x∈π,2π].)）图象如图,若使f(x）的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是（1,3）．要点三利用三角函数图象求函数的定义域例3求函数y＝eq\r(log2\f（1,sinx)－1)的定义域．解为使函数有意义,需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log2\f(1，sinx）－1≥0，,sinx〉0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≤\f(1,2)，,sinx〉0。））正弦函数图象如图所示,∴定义域为x2kπ〈x≤2kπ＋eq\f（π，6），k∈Z∪x2kπ＋eq\f(5π,6)≤x<2kπ＋π，k∈Z。规律方法求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式组，这时可利用三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．跟踪演练3方程sinx＝eq\f（1－a,2)在x∈［eq\f（π，3），π]上有两个实数解，求a的取值范围．解设y1＝sinx,x∈［eq\f（π,3)，π]，y2＝eq\f(1－a,2）。y1＝sinx，x∈［eq\f(π,3)，π］的图象如图．由图象可知，当eq\f(\r(3)，2)≤eq\f（1－a，2）<1,即－1〈a≤1－eq\r（3)时，y＝sinx，x∈[eq\f（π，3）,π]的图象与y＝eq\f（1－a，2）的图象有两个交点，即方程sinx＝eq\f(1－a，2）在x∈［eq\f(π,3），π］上有两个实数解.1．方程2x＝sinx的解的个数为(）A．1B．2C．3D．无穷多答案D2．函数y＝sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y＝－eq\f（1，2）的交点有________个．答案2解析如图所示．3．求函数y＝eq\r(2sinx＋1）的定义域．解要使y＝eq\r(2sinx＋1）有意义,则必须满足2sinx＋1≥0，即sinx≥－eq\f（1，2）。结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：知函数y＝eq\r(2sinx＋1）的定义域为eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x｜2kπ－\f(π，6）≤x≤2kπ＋\f(7π，6)，k∈Z))。4．用“五点法”画出函数y＝eq\f（1，2）＋sinx，x∈[0，2π］的简图．解取值列表如下:x0eq\f（π,2）πeq\f(3,2)π2πsinx010－10eq\f（1，2)＋sinxeq\f(1，2)eq\f(3，2)eq\f(1，2)－eq\f（1,2)eq\f(1，2）描点、连线，如图所示．1.正弦曲线在研究正弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思