第二节向量基本定理与向量的坐标(考点分析)

【考点分析】第二节向量基本定理与向量的坐标【考点一】平面向量基本定理及其应用【典型例题1】(2022•河南郑州三模)在中，是上一点，，是线段上一点，，则(

)A． B． C． D．【解析】因为，则，所以，，，因为是线段上一点，设，其中，所以，，解得.故选：D.【答案】D【归纳总结】平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【考点二】平面向量的坐标运算【典型例题2】(2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，(，)，则___________.【解析】如下图，将，，平移至相同起点，且，，，并构建直角坐标系，若每个单元格长为1，则，，，又，所以，即，可得，所以.故答案为：.【答案】##【归纳总结】向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．【考点三】利用两向量共线求参数【典型例题3】(2022•黑龙江哈九中模拟)设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是(

)A．8 B．6 C．4 D．2【解析】因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，所以存在，使得，即，即，因为、不共线，所以，消去，得，因为，，所以，当且仅当，时，等号成立.故选：A【答案】A【考点四】利用两向量共线求向量坐标【典型例题4】已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．【解析】因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))．设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2，4)．【答案】(2，4)【考点五】利用向量共线求参数【典型例题5】(1)(2021·高考全国乙卷文数)已知向量，若，则_________．(2)(2021·甘肃西北师大附中模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(6，x)，且a∥b，则|2a－b|＝()A．5 B．2eq\r(5)C.eq\r(5) D．4【解析】(1)由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.故答案为：.(2)因为a∥b，所以2x＋6＝0，解得x＝－3，故b＝(6，－3)．所以2a－b＝(4，－2)－(6，－3)＝(－2,1)．所以|2a－b|＝eq\r(－22＋12)＝eq\r(5).【答案】(1)(2)C【归纳总结】如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．【考点六】三点共线问题【典型例题6】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(CD,\s\up8(→))，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up8(→))，则x的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))【解析】法一：依题意，设eq\o(BO,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，其中1＜λ＜eq\f(4,3)，则有eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋λeq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up8(→))＋λeq\o(AC,\s\up8(→))．又eq\o(AO,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up8(→))，且eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))不共线，于是有x＝1－λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))，选D．法二：∵eq\o(AO,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))－xeq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AO,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝x(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))，即eq\o(CO,\s\up8(→))＝xeq\o(CB,\s\up8(→))＝－3xeq\o(CD,\s\up8(→))，∵O在线段CD(不含C，D两点)上，∴0＜－3x＜1，∴－eq\f(1,3)＜x＜0．【答案】D【考点七】平面向量与三角形的“外心”问题【典型例题7】(2022•全国高三专题练)已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，点O为△ABC的外心，若，则有序实数对为________．【解析】，∵O为的外心，∴，，由可得：，解得，所以为.故答案为：【答案】【归纳总结】设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则，O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)．【考点八】平面向量与三角形的“内心”问题【典型例题8】(2022•全国高三专题练)已知中，，，，I是的内心，P是内部(不含边界)的动点.若(，)，则的取值范围是______.【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则，因为是三角形的内心，设三角形内切圆半径为，则，解得.所以，.依题意点在三角形的内部(不含边界).因为，所以，所以，令，则，由图可知，当过时，.当，过，即为直线时，.所以的取值范围时.故答案为：【答案】【归纳总结】设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则，O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0．【考点九】平面向量与三角形的“重心”问题【典型例题9】(2022•全国高三专题练)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(

)A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．AB边的中点【解析】取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选：C【答案】C【归纳总结】设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c则，O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0．【考点十】平面向量与三角形的“垂心”问题【典型例题10】(2022•全国高三专题练)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．重心 B．垂心C．外心 D．内心【解析】因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)))＝λ(－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq\