多面体的外接球问题

22222多面体的外接球问题22222题一直四体外球补长体，方对线为的径1．三棱锥

P

中，

为等边三角形，

PA

，PA

，三棱锥

PABC

的外接球的表面积为（）A．

．

．

43

D．

3解析:由题意得：PAPB,两相互垂直，以PA,PBPC为补成一个正方体，其外接球就为三棱锥PABC

的外接球，半径为3，表面积为4

选．C2.在正三棱锥

中，

,F

分别是

AB

的中点，

EF

，若

，则

外接球的表面积为A

B

C

D

C3.在正三棱锥

中，

M

分别是

,

的中点，且

MNAM

，若侧棱

SA3

，则正三棱锥

外接球的表面积为A

12

B

C

D

48（2019全国理12知棱锥ABC的个顶点在球的面上PAPBPCeq\o\ac(△,，)边长为2的正三角形E，分是，AB的点，CEF=90°，则球的积为A8

B．4

C．6

D．

→→→→→→设，，C，是径为2的面上的四个不同点，且满A＝0ADAC0，AD＝0，用、1S、分表示ABC△、ABD的积则S＋＋的最大值_．231答案8→→→→→→→→→→→→解析0ADABAD∴AB⊥ADAC⊥ACDABABAD(216ABADADAC1≥ABABAD∴(ABAD)≤213×ACADS2题二等四面的接

补长体长体对的角为腰面的对ABCDABACADABCD()A

B

C6

DAEBFR2()

1

22222222222

2

y

2

2

6ABCD4

)

．

A，，，D

5四点在半径为的面上，2

，

BC

，

，则三棱锥ABC的体积案秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D，如图所示，设长体的长、宽、

高分别为

，，，有

，解得a，，c，所以三棱锥的体积为

－

11432

a250＝．点拨：3.三棱锥S﹣ABC中面△的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°eq\o\ac(△,，)ABC的三条边长分别为AB=3，AC=BC=，则三棱的体积（）A2

．10

24．D33解：∵底面△ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，∴三棱锥的三个侧面与底面ABC全等．∴三棱锥S﹣ABC可看做是面对角线分别3,5,的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥2得到的几何体．设长方体的棱长为,y,，2，解，xyz2y2z212∴三棱锥的体Vxyzxyzxyz故选．33题三有共边两直三形成三棱，球在共边中处C1.在矩形中＝，BC＝3沿AC将形折一个直二面角体的外接球的体积为

B

，则四面A.

125125125125B.C.D.12963

解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2则SA+AC=SC，SB+BC=SC，即有⊥AC，⊥BC，取SC的中点O，连接OA，则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得即有球的半径r为1，则球的体积为故选：B．

=

．2

,所以,所以B2.三棱锥

的所有顶点都在球

O

的球面上且

SB

，

则球的体积为A

25632B33

C

16

D

解析：D3．四面体中，ABBC,BC

SC二面角S

的余弦值是

33

，则该四面体外接球的表面积是（）A．

6

．

C．

．

A4.在平面四边形

中，

，

2

，

，将其沿对角线

BD

折成四面体

BCD

，使平面

'

平面

，若四面体

BCD

顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A

32C23

D

5行边形ABCD中

·BD

=0BD将边形折起成直二角一BD2AB

，则三棱锥A－的接球的表面积为（）A．

．

．

4

D．

分析：

,所以ABBD,因ABCD为行边形,所以

CD,

.因为ABDC直二面角所以面ABD面CBD,为面ACBD面ABD,AB

,所以面CBD.因为面CBD所以ABBC.分可知三棱锥的接球的球心为的点.因为

AB

.则三棱锥ABCD

的外接球的半径为表积为

.故C正.6已知直角梯形ABCD，AB，CDAD，AD

，沿AC折成三棱当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．，ADCD解：如图，

∴O

AC2，BC2AC.取AC的中点EA的中点，连结DEOE∵当三棱锥体积最大，∴平面

C面AOBOAOCOD

即为外接球的半径.此时棱锥外接球的体积：

33

2222题四侧垂于面侧垂于面过面心做线球有线已四面体PABC其中ABC边长为6的边三角,PA面,PA2222

,则面体ABC

外接球的表面积为_______．

解：∵△是边长为6的边三角形，⊥面ABC，，的接圆的半径为，=4∴四面体﹣外球的半径为∴四面体﹣外球的表面积为π•π．答案为64π．D2.已三棱锥中BDCD,BC2AD,直AD底所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是)

，A

8

B

248C333

一几何体的三图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A．外接球的半径为

33

B．面积为

3

．体积为

3

D．接的表面积为

解：由三视图可知，这是侧面ACD⊥，

3

的三棱锥，BE=1，以三棱锥的体积为1133

，设外接球的圆心为，半径为，则

OE3在直角三角形OEC中，OE+CE=OC，

()

，整理得

33xx

2x

，解得半径

3

，所以外接球的表面积为，

3所以AC，都正确，故选B．题五其一侧满某特的件已三棱锥A中，ABACBDCD,直线底所成的角是则此时三棱锥外接球的体积是)

3

，A

8

B

222333

选D(太2016届三上学期考试）在四面体

中知

BDC，四面体

的外接球的半径为（）A

B．2．3D解：设四面体ABCD的接球球心为

O则O在过△ABD的心且直于平面ABD的垂线上．由题4

设知

eq\o\ac(△,，)

是正三角形，则点

N为△ABD的中心．P，M分别为，的中

点，则

N在DP上，

且

ON⊥DP，OM⊥CD．

因为∠CDB=∠ADB=60°，设CD

与平面

ABD

所成角，12∴cosθ=，sinθ=．在△DMN中，DM=33

2=1，3由余弦定理得13

13

MN∴四边形DMON的外接圆的半OD．故球O的半径故选：D．sin巩提：O6ABCDOFGOABECDGABDA，DABCFCDGADHE，GH()A

163

B

3

C

643

D

3OEAB与IFHABCDOI

xIE2222

4

(23)

(22)

R

53

S

53

)

1003

D5

,,ABCD2CDBECDP)A

1712

B

12

C

3

D

173PEPAPEPBPE2HPABOH

11319PEPHOPPH2212P

3

ABCD/CDCDABCDACDABCACDABC()A4

B8

C

DADAC2BCACABDCAACBDEDEACBDE2OEODOBOAOB242

6

4242ABC3n

12

BCm

BCMABCOPMV

11mn93)93)344t

m

2

4

2

tf(t)t(93)，f(29f)ft)(8,9)32，ABC33已知

P,,B

是半径2球面上的点，

PAPB

，

2

，点

B

在

上的射影为D，则三棱锥ABD体积的最大值________.PGABCPGhOGhhCG

BDx

xBDy

y

fxx+2

P2ABC2PB

2

PABCACPG2h7

2224ma2224maO