精讲精练 高考递推数列题型分类专项训练 3份

k－2k121nnnn1精讲练考递推列型分训k－2k121nnnn1各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类1

n

n)n解法：原递推公式转化为

fn

，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数n

12

，a

nn

n

2

1

，a。n变式:已知数{}中，且=a+(－,a=a+3n（I）aaII）求{a}通项公式.3

,其中k=1,2,3,……类2

n

fn)a

n解法：把原递推公式转化为

anan

f(

，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数，a3

n

na，a。n例2:已

n

n3

a(n，a。n变式2004国I,理15列{}aan123

n

n≥{}通项n

nn类3

n

pan

（中p，q为数

(pq(p

。解法（定系数法：把原递推公式转化为：

n

pan

，其中

t

，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数n1

n

，nn1

nnnnnnnqqnnnn1nnnaxxxnnnnnnnqqnnnn1nnnaxxxn1变式:（福建.22.本小题满分14）已知数*).nn（I）求数式；n

，则该数列的通ann

_______________（II）若列{}

b

n

(N

*

),证明：数列{}等差数列；nnaan（）证明：12(222n

*

类4

nn

n

((p（中p，均为常，（nn,其，q,r均为常。解法一般地要先在原递推公式两边同除以得：

aq

nn

p1nqqn

a1b引入辅助数列n（其中再待定系数法解决。例:已知数n

51,a)，a。6变式:（2006，全国理22,本小题满分分）4设数列的项的和Sn，33（Ⅰ）求首项a与通）Sn

，证明：Tii

32类5递公为

nn

（中p，q均常。解法一(待系数)：先把原递推公式转为

n

n

(

n

sa)n其中s，t足

pst解法二(特根法)：对于由递推公式nn，给出的数列，方程

x

2

px0

，叫做数列

n的特征方程。若1是特征方程的两个根，当2，数列

aAxnn的通项为n1，其中A，B由

a2

决定2

nnnnBxnaxaABn)3n（即把

aa,xx212

和关于A的方程组

xx

aABn)x时n的通项为1，其中A，B由2决定（即把1和，代入n1，得到关于B的方程组解法一待定系数——迭法）:数n

n

n

nn)，a,，求数式n例:已知数a,n2

23

1a，。n变式:1.已知数列

n12

n

n*).n（I）证明：数n

数列）求数式；nn（III若数bn

ab(n

*

),证n2.已知数,a,an1

23

a

1，3

n3.已知数是其n项和，并且n

n

an1⑴设数n

n

nn

)，求证：数列b是等比数列；n⑵设数

n

nn

(n

)，求证：数列是等差数列；⑶求数列a的通项公式及n项和。nn类6递公为n的系(

f()nn

)解法：种类型一般利用

1n

与

f(a)fa)nnn

消去

n

(

或与f(Sn

n

)

(2)

消去

n

进行求解。例：已知数项n

2

1n

.（1）a

n

a的关系）求通项公ann3

2nyn12nn（22nyn12nn

n

pan

其中p均为常数((p0)式两边同乘2

n

得

n

a

n

n

ana

11

.于是数列n是以2首项，为公差的等差数列，所22(nnn

2

n变式:（2006，陕西,理本小题满分12)已知正项数列{}其前n项和S满足10S+5a+6且,a,a成等比数列，求数列{}通项annnnn1315n变式:(2005,江西文,22．本小题满分14分）已知数列{}前n和S满足n

n

13=3((n3),且S求数列{a}通项公式.22类7

nn

(p解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令转化为n是公比为的等比数列。

(y(ay)nn

，与已知递推式比较，解出,而例:设数n1

n

n(，n变式:（2006，山东,文22,本小题满分14）1已知数列a｝中a、点（直线y=x，其中n=1,2,3…nⅠ)n

n

nn

Ⅱ)求数nⅢ)设S、列是否存在实使得数列nnn

为等差数列？若存在试求

不存在,则说明理由.r(papa类8nnn解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为

n

n

，再利用待定系数法求解。例：已知数列a｝中an1

1a

(，求数n变式:（2005，江西,理．本小题满分分）已知数{}的数且满:n

12

a(4nNn4

n23Tnn21n1（1）证an23Tnn21n1n

n

2,nN;

（2）求数{}的通项公式.n变式:（山东,,22,本小题满分分）已知a=2，点(a,a在函数f(x)=1n+1

x的图象上，其中=，，3，…（1）证明数列｛lg(1+a)｝是等比数列；n（2）设a)a))，求及数列｛a｝的通项；n1n记bn

11aann

2，求｛b｝数列的前项和，并证明S+=1nn类9

a

n

f(n)ng()()n解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为

n

pan

。a例已知数列｛｝满足a3

求数列｛a｝的通项公式。变式:（2006，江西,理22,本大题满分14分）31.已知数列｛｝满足：＝，且a＝n1n

1（n，n2a＋n

（1）求数列｛｝的通项公式；n（2）证明：对于一切正整数n，不等式a12、若数列的递推公式3,n)，则求这个数列的通项公式。ann5

nnnanxx3、已知数列{a}满nnnanxxn1

n

an

n

，求通项公式。n4、已知数列｛a｝满足

a3

，求数列｛a｝的通项公式。5、若数列｛a｝中，a=1，an

n

=

2a

n∈，求通项a．n类10

a

n

panran解法：如果数

{}n

满足下列条件：已知

a

的值且对于，都有

a

n

panran

（其中p、qr、h均为常数，且phqr,ra

hr

那么，可作特征方程

x

pxrx

,当特征方程有且仅有一根

x

1时,则0

是等差数列;当特征方程有两个相异的根1、2时，则

是等比数列。例：已知数{}满足性质：对于nan

a2a

{a}的通项公.例：已知数{}满足：对N,都有an

n

anan

.（1）a5,;（2a3,;3）6,求;4取哪些值时，无穷数{a}不存在？1n1n16

nnn或2变式:（2005，重庆,文22,本小题满分12）nnn或2数{}满足aaannnn

1an

12

(n（Ⅰ）求b、b、b、b的值；（Ⅱ）求数列{b}的通项公式及数{ab}前n和S1234类11

pnapqnn

n解法：这种类型一般可转化为

2n

与2是等差或等比数列求解。例）在数{}中n1

n

n，an

n（II）在{a}中an1n

n

n

，a

n类12归猜法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分分）设数列｛a｝的前n和为，且方程－－a＝有一根为S－1，n＝1，2，3，…nn（Ⅰ）求a，a；12（Ⅱa｝的通项公式n7

nnnnnnnnnnnnnnn27解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用