第03讲充分条件与必要条件（2大考点9种解题方法）（解析版）

第03讲充分条件与必要条件（2大考点9种解题方法）考点考点考向一、充分条件与必要条件(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)几点说明若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p二、充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．技巧方法技巧方法充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；2.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．3、充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.考点考点精讲考点一：充分条件与必要条件题型一：判断命题的充分不必要条件一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）已知命题p：，命题q：或，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】因为，所以p是q的充分不必要条件.故选：A2．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，，且，一次函数单调递增.则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意求得命题对应参数的取值范围，从集合的角度即可判断充分性和必要性.【详解】对命题：因为，故可得；对命题：一次函数单调递增，故可得，因为是的真子集，故是的充分不必要条件.故选：.3．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两个命题中的取值范围，分析是否能得到pq和qp．【详解】若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q．但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要条件．故选：A.二、多选题4．（2022·全国·高一专题练习）可以作为或的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由充分不必要条件的定义即可得出答案.【详解】可以作为或的一个充分不必要条件是和.故选：AC.三、填空题5．（2021·江苏·高一专题练习）已知，或，则p是q的________条件．【答案】充分不必要【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】命题“若p，则q”：假设不正确，即且，则有与已知矛盾，即假设是错的，于是得q是正确的，因此，“若p，则q”是真命题，即p是q的充分条件，命题“若q，则p”：显然当时，有，而满足或，于是得“若q，则p”是假命题，即p不是q的必要条件，所以是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要题型二：根据充分不必要条件求参数一、单选题1．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.【详解】命题p：因为，所以，解得，命题q：，因为p是q的充分不必要条件，所以.故选：C二、多选题2．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】利用必要不充分条件的定义直接判断.【详解】由解得：.因为“”是“”的必要不充分条件，所以只需，对照四个选项，a可以取1，2.故选：AB三、填空题3．（2022·全国·高一专题练习）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______【答案】【分析】根据是的充分不必要条件，可得，从而可得出答案.【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以，所以.故答案为：.四、解答题4．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）将a=3代入求出集合P，Q，再由补集及交集的意义即可计算得解.（2）由给定条件可得，再根据集合包含关系列式计算作答.(1)因a=3，则P={x|4≤x≤7}，则有或，又Q={x|-2≤x≤5}，所以.(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，于是得，当a+1>2a+1，即a<0时，，又，即，满足，则a<0，当时，则有或，解得或，即，综上得：，所以实数a的取值范围是.5．（2022·重庆复旦中学高一开学考试）在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)条件选择见解析，【分析】（1）化简集合与之后求二者的并集（2）先判断集合与的关系，再求的取值范围(1)当时，集合，，所以；(2)若选择①A∪B＝B，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，因为，所以，又，所以，解得，所以实数的取值范围是．若选择③，，因为，，所以或，解得或，所以实数的取值范围是．6．（2022·全国·高一）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）根据充分不必要条件的定义求解．(1)由已知，或，所以或＝；(2)“”是“”的充分不必要条件，则，解得，所以的范围是．题型三：判断命题的必要不充分条件一、单选题1．（2022·江苏·高一单元测试）“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据等边三角形的定义结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.故选：B.2．（2022·全国·高一专题练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．3．（2020·安徽·合肥市第十中学高一期中）设集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据集合的包含与充分必要条件的关系判断．【详解】由题意集合是集合的真子集，因此“”是“”的必要不充分条件，故选：B．二、多选题4．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列命题正确的是（

）A．"”是“”的充分不必要条件B．若方程的两根都是负数，则C．设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件D．设a，，则“”是“”的必要而不充分条件【答案】AD【分析】根据充分性、必要性的定义进行逐一判断即可.【详解】A正确．“”可推出“”，但是当“”时，a有可能是负数，所以“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要条件：B错误．∵∴；C错误．当时，，但是“且”不成立，所以“”推不出“且”，所以“”不是“”的必要条件D正确”推不出但“”可推出”，所以”是的必要而不充分条件，故选：AD三、填空题5．（2022·全国·高一专题练习）写出的一个必要不充分条件_____．【答案】（答案不唯一）【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.【详解】⫋，所以“”是不等式“”成立的一个必要不充分条件.故答案为：.题型四：根据必要不充分条件求参数一、填空题1．（2022·全国·高一）已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．【答案】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．【详解】∵“”是”的必要条件，∴，当时，，则；当时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知或，解得或，综上可得，实数a的取值范围为．二、解答题2．（2021·江西·丰城九中高一阶段练习）已知集合或，集合(1)若，且，求实数的取值范围．(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由集合交运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围；（2）由题意，列不等式组求参数m范围.(1)由题设，又，当时，，可得.当时，，可得.综上，a的范围.(2)由题意，而，所以，结合（1）有(等号不同时成立)，可得.故存在实数且.3．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围.(1)当时，集合，或，．(2)若“”是“”的必要条件，则，①当时，；②，则且，.综上所述，或．4．（2022·江苏·高一）已知其中.(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由题意可得A⫋B，所以从而可求出实数的取值范围，（2）由题意可得B⫋A，然后分a=0，a>0和a<0三种情况求解即可(1)设命题p：A={x|x2>0}，即p：A={x|x>2}，命题q：B={x|ax4>0}，因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，.即解得a>2所以实数a的取值范围为(2)由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax4>0}，因为是的必要不充分条件，所以B⫋A，①当a=0时，B=，满足题意；②当a>0时，由B⫋A，得.>2，即0<a<2；.③当a<0时，显然不满足题意.综合①②③得，实数a的取值范围为5．（2022·河南驻马店·高一期末）已知集合，.(1)若，求实数t的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先求出集合，再对与两种情况讨论，分别得到不等式，解得即可；（2）依题意可得集合，分与两种情况讨论，分别到不等式，解得即可；(1)解：由得解，所以，又若，分类讨论：当，即解得，满足题意；当，即，解得时，若满足，则必有或；解得.综上，若，则实数t的取值范围为.(2)解：由“”是“”的必要不充分条件，则集合，若，即，解得，若，即，即，则必有，解得，综上可得,，综上所述，当“”是“”的必要不充分条件时，即为所求．题型五：充分条件的判定及性质一、单选题1．（2022·江苏盐城·高一期末）“”的一个充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判断选项中的满足的大小关系式，由此可判断充分性是否成立.【详解】对于A，当时，满足，无法得到，充分性不成立，A错误；对于B，当时，，或，充分性不成立，B错误；对于C，当时，，可得到，C正确；对于D，当时，，或，充分性不成立，D错误.故选：C.2．（2022·贵州毕节·高一期末）对于实数x，“”是“”的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用定义法即可判断.【详解】充分性：由，能推出，所以是的充分条件，必要性：由，不能推出，所以是的不必要条件.故选A．二、多选题3．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）使成立的一个充分条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解.【详解】或，故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.故选：AB.4．（2022·湖南·高一课时练习）(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（

）A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0【答案】ABC【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可.【详解】由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本选项不符合题意，故选：ABC三、解答题5．（2022·江苏·高一）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据，由BA求解;（2）根据是的充分条件，由AB求解.(1)解：因为，，且，所以BA，则，解得，所以实数的取值范围是；(2)因为是的充分条件，所以AB，则，解得，所以的取值范围是.题型六：必要条件的判定及性质一、单选题1．（2022·湖北·高一阶段练习）如果关于的一元二次方程的两个解是，（其中），而且不等式的必要条件是，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由必要条件的定义和一元二次方程的解可得选项.【详解】解：因为不等式的必要条件是，关于的一元二次方程的两个解是（其中），所以，故选：A.2．（2021·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．必要条件 B．充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用充分必要条件判断即可得解．【详解】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：．3．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据相似三角形的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】根据相似三角形的性质得，由“两个三角形相似”可得到“两个三角形三边成比例”，即充分性成立；反之：由“两个三角形三边成比例”可得到“两个三角形相似”，即必要性成立，所以“两个三角形相似”是“两个三角形三边成比例”的充分必要条件.故选：C.二、多选题4．（2022·江苏·高一单元测试）(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（

）A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D．若ab＝0，则a＝0【答案】BCD【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD三、填空题5．（2022·全国·高一）给出下列命题：①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；②“”是“”的必要不充分条件；③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设，则“”是“”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．【答案】③④【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误.【详解】①，故真子集个数为个，错误；②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误；③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.故答案为：③④6．（2021·湖北孝感·高一期中）写出的一个必要不充分条件_____【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式的解集，再写出一个集合真包含不等式的解集的条件；【详解】，，所以满足题意故答案为：四、解答题7．（2022·全国·高一专题练习）已知命题P：方程没有实数根．(1)若P是真命题，求实数t的取值集合A；(2)集合，若是的必要条件，求a的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）列出关于t的不等式即可求得实数t的取值集合A；（2）分类讨论并列不等式组去求a的取值范围．(1)若P是真命题，则，解得，则．(2)因为是的必要条件，所以，当时，由，得，此时，符合题意；当时，则有，解之得，综上所述，a的取值范围为．考点二：充要条件题型七：充要条件的证明一、单选题1．（2021·河南·高一阶段练习）已知实数a，b，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义判断，求解注意分类讨论．【详解】当时，则，中至少有一个数小于0，不妨设此数为，若，则，因为，所以．若，则显然成立．若，则也显然成立，所以充分性满足；当时，则，中至少有一个数小于0，不妨设此数为，若，则，所以，所以．若，则，此时显然成立．若，此时也显然成立，所以必要性满足．所以“”是“”的充要条件．故选：C．二、填空题2．（2022·江苏·高一）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空：（1）中，是的______；（2）是的______；（3）是的______；（4）是的______．【答案】

充要条件；

必要而不充分条件；

充分而不必要条件；

既不充分又不必要条件.【分析】根据充分性、必要性的定义逐一判断即可.【详解】空1：由能推出，由能推出，所以中，是的充要条件；空2：由不一定能推出，比如，由能推出，所以是的必要而不充分条件；空3：由推出，由不一定能推出，比如，所以是的充分而不必要条件；空4：由不一定能推出，比如，由不一定能推出，比如，所以是的既不充分又不必要条件.故答案为：充要条件；必要而不充分条件；充分而不必要条件；既不充分又不必要条件.三、解答题3．（2022·湖南·高一课时练习）求证：对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件．【分析】化简可得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【详解】证明：，当且仅当时，取等号，所以当时，对任意实数，，，成立，等号成立，当对任意实数，，，成立，等号成立时，，所以对任意实数，，，成立，等号成立的充分必要条件．题型八：探求命题为真的充要条件一、单选题1．（2022·全国·高一）“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对求解，结合充分条件、必要条件的定义即可得出答案【详解】由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；求解，得到，故“”是“”的不必要条件；故选：A二、多选题2．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．“且”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“方程有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【答案】ABD【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.故选：ABD.3．（2021·安徽·高一期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（

）A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件【答案】BD【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项判断可得出结论.【详解】由题意得，，，，，，所以，，，所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选：BD.4．（2022·广东肇庆·高一期末）下列说法中正确的有（

）A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．“或”是“”的充要条件D．“”是“”的必要不充分条件【答案】BC【分析】根据充分条件与必要条件的知识，结合不等式或方程的知识对选项逐一判断即可选出答案.【详解】对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误；对于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正确；对于C，的两个根为或，C正确；对于D，“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，D错误．故选:BC．5．（2021·浙江·丽水外国语实验学校高一阶段练习）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，.则下列结论正确的是（

）A．； B．；C．； D．整数，属于同一“类”的充要条件是“”.【答案】ABD【分析】根据[k]的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：除以5，所得余数为，满足的定义，故正确；B：整数集就是由除以所得余数为的整数构成的，故正确；C：，故，故错误；D：设，则；若整数，属于同一“类”，则，所以；反之，若，则，即，属于同一“类”.故整数，属于同一“类”的充要条件是“”，正确.故选：.三、解答题6．（2022·湖南·高一课时练习）通过分析初中学过的数学知识，探讨逻辑用语和集合的联系．（例如，“若，则，反之不然”可表述为．）【分析】把逻辑用语的知识等价转化为集合的关系得解.【详解】解：是的充分条件，即，可表述为；是的必要条件，即，可表述为；是的充分不必要条件，即，不能推出，可表述为；是的必要不充分条件，即不能推出，，可表述为；是的充要条件，即，可表述为.7．（2022·全国·高一）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】(1)存在，，(2)或【分析】（1）假设存在，即，根据根与系数的关系求解即可；（2）由题意转化为BA，根据集合的包含关系列出不等式组求解即可.(1)假设存在满足条件的实数a，则，即，.因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.(2)由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.因为“”是“”的必要不充分条件，所以BA.当，即时，，则解得；当，即时，，则解得.综上，a的取值范围是或.题型九：根据充要条件求参数一、单选题1．（2021·山西太原·高一阶段练习）设集合，若集合，，则的充要条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，可得，因为，所以，解得，反之亦成立，所以的充要条件是．故选：A．2．（2021·全国·高一专题练习）方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C3．（2022·江西·新余市第一中学模拟预测（理））设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要条件.【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，由甲是乙的充分不必要条件得，B，由乙是丙的充要条件得，，由丁是丙的必要不充分条件得，D，所以D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.二、填空题4．（2022·江苏·高一）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．【答案】0【分析】根据充要条件的定义即可求解.【详解】，则{x|}＝{x|}，即.故答案为：0.三、解答题5．（2021·全国·高一课时练习）已知，，求的充要条件.【答案】【分析】依题意方程至少有一个非负根，则，即可求出参数的取值范围，再求出方程有两个负根时参数的取值范围，从而求出方程至少有一个非负根的的取值范围，即可得解；【详解】解：的充要条件是方程组至少有一组实数解，即方程至少有一个非负根，方程有根则，解得.上述方程有两个负根的充要条件是且，即，∴.于是这个方程至少有一个非负根的的取值范围是.故的充要条件为.6．（2021·江苏·高一单元测试）已知（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，.【分析】（1）依题意，即可得到方程组，由方程组无解即可判断；（2）依题意可得，再对与分两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；【详解】解：，．（1）要使是的充要条件，则，即

此方程组无解，则不存在实数，使是的充要条件；（2）要使是的必要条件，则，当时，，解得；当时，，解得，要使，则有解得，所以，综上可得，当实数时，是的必要条件．巩固巩固提升一、单选题1．（2022·重庆南开中学高一阶段练习）“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】A【分析】易知充分性成立，取特殊值检验知必要性不成立，即可求解.【详解】当时，成立，即充分性成立，当时，满足，但不成立，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.2．（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析根据集合的关系判断即可.【详解】解：因为是的真子集，所以是的充分不必要条件.故选：A3．（2022·江苏·高一）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】讨论，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【详解】当时，方程即为，解得；当时，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”“”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条件.故选：B.4．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）已知：关于的方程的解集至多有个子集；：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】根据条件得到是的充分不必要条件，再求出命题中的范围，列出不等式求解即可.【详解】因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，对于，依题意，知，所以，设，，由题意知，所以，解得，经检验满足题意故选：A.5．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由，显然由推不出，比如推不出，又推不出，比如推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D．6．（2021·山西太原·高一阶段练习）设集合，若集合，，则的充要条件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先根据集合的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，可得，因为，所以，解得，反之亦成立，所以的充要条件是．故选：A．7．（2021·全国·高一专题练习）方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C二、多选题8．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）下列选项中，满足是的充分不必要条件的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AC【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得.【详解】对于A，∵，，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要条件，故A正确；对于B，∵即，即，∴是的充要条件，故B错误；对于C，∵，即或，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要条件，故C正确；对于D，∵，，取，则，由推不出；取，由推不出；故是的既不充分也不必要条件，故D错误.故选：AC.9．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（

）A．是的必要条件 B．是的充分条件C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件【答案】BC【分析】根据条件得到可判断每一个选项.【详解】由题意，，则.故选：BC.10．（2022·江苏·高一单元测试）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（）A． B．C． D．【答案】AB【详解】p：或，q：，q是p的充分不必要条件，故，范围对应集合是集合的子集即可，对比选项知AB满足条件.故选：AB.11．（2022·福建厦门·高一期末）已知a，，则的必要不充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若时，则，故必要性不成立，故A错误；对于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B错误；对于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之当时，可得，所以，故必要性成立，故C正确；对于D：由得不到，如，满足但，即充分性不成立，反之当时可得故必要性成立，即是的必要不充分条件，故D正确；故选：CD12．（2022·全国·高一专题练习）下列选项中p是q的必要不充分条件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝BC．p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0【答案】AD【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．【详解】解：A：∵a＜1⇒a≤1，而当a≤1时，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分条件，∴A正确，B：∵p：A∩B＝A，∴A⊆B，∵q：A∪B＝B，∴A⊆B，∴p是q的充要条件，∴B错误，C：∵两个三角形全等⇒两个三角形面积相等，但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，∴p是q的充分不必要条件，∴C错误，D：当x＝1，y＝0时，则x2+y2＝1，反之，当x2+y2＝1时，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分条件，∴D正确，故选：AD．三、填空题13．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列命题的真假：（1）是的必要条件；()（2）是的充分条件；()（3）两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件；()（4）是的充分而不必要条件．()【答案】

假

假

真

假【分析】（1）利用四种条件的定义，进行判断；（2）利用特例进行判断；（3）利用四种条件的定义，进行判断；（4）利用四种条件的定义，进行判断；【详解】（1）因为，所以，反之，不一定得出，所以是的充分不必要条件；故命题为假.（2）例如，但是；但是，所以是的既不充分也不必要条件；故命题为假.（3）两个三角形的两组对应角分别相等则这两个三角形相似，反之两个三角形相似则两个三角形的对应角均相等，所以两个三角形的两组对应角分别相等是两个三角形相似的充要条件；故命题为真.（4）因为，所以或，所以是的必要不充分条件，故命题为假.14．（2022·江苏·高一）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．【答案】0【分析】根据充要条件的定义即可求解.【详解】，则{x|}＝{x|}，即.故答案为：0.15．（2022·湖南·高一课时练习）从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”与“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“”是“”的______；（2）“，”是“”的______；（3）“两个角是对顶角”是“两个角相等”的______；（4）设，，都是实数，“”是“是方程的一个根”的______．【答案】

充要条件

既不充分又不必要条件

充分而不必要条件

必要而不充分条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一分析判断即可得出答案.【详解】解：（1）若，则，则充分性成立，若，则，必要性成立，所以“”是“”的充要条件；（2）当，则，所以充分性不成立，当，则，即推不出，，则必要性不成立，所以“，”是“”的既不充分又不必要条件；（3）两个角是对顶角，则两个角相等，则充分性成立，当两个角相等，两个角不一定是对顶角，如两角为同位角，则必要性不成立，所以“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分而不必要条件；（4）若，当时，方程有无数个根，则是方程的一个根不成立，则充分性不成立，当是方程的一个根时，则有，则必要性成立，所以“”是“是方程的一个根”的必要而不充分条件.故答案为：（1）充要条件；（2）既不充分又不必要条件；（3）充分而不必要条件；（4）必要而不充分条件.16．（2022·江苏·高一）已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．【答案】【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.【详解】记，，因为p是q的充分条件，所以.当时，，即，符合题意；当时，，由可得，所以，即.综上所述，实数的k的取值范围是．故答案为：．四、解答题17．（2022·全国·高一专题练习）设全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.(1)是的充分条件，，又，，，，实数的取值范围为.(2)命题“，则”是真命题，①当时，，，；②当时，，且是的子集.，，;综上所述：实数的取值范围.18．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；(1)解：当时，，或，∴．(2)解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要条件，∴是的真子集，∵，∴，∴，∴，故实数的取值范围为．19．（2022·全国·高一专题练习）设集合和或，若是的充分条件，求的取值范围．【答案】【分析】由是的充分条件，可得出AB，即可求出的取值范围.【详解】因为是的充分条件，所以AB，又，所以．故的取值范围为：.20．（2021·江苏·高一单元测试）已知（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，.【分析】（1）依题意