常用逻辑用语、推理与证明、复数

常用逻辑用语一、命题1、 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。命题由题设和结论两部分构成。命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等。命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。数学中的定义、公理、定理等都是真命题。命题“PF”的真假判定方式：①若要判断命题“PF”是一个真命题，需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。女如:P一定推出'：②若要判断命题“PF”是一个假命题，只需要找到一个反例即可。注意：“戸不一定等于3”不能判定真假，它不是命题。2、 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题。复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p(即命题p的否定)。复合命题的真假判断(利用真值表)：p0非芒戸或g真真假直真真假假直假假真真真假假假真假假当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。“非p”与p的真假相反。注意：对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解在集合部分中的学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切，对于理解逻辑联结词“或”“且”“非”很有用处：“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同，在日常生活用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念：在AB二｛xIxgA或xgB｝中的“或”是指“xeA”与“xeB”中至少有一个成立，可以是“xeA且x电B”，

也可以是“X电A且xeB”，也可以是“xeA且xeB”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是样的；对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念：在AB二｛xIxeA且xeB｝的“且”是指“xeA”、“xeB”都要满足的意思，即x既要属于集合A,又要属于集合B；对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：“非”有否定的意思，一个命题P经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非P”，当P为真时，非P为假，当P为假时，非P为真。若将命题P对应集合P，则命题非P就对应着集合P在全集U中的补集cup；对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0。5是非整数”是对命题“0。5是整数”进行否定而得出的新命题。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。二、四种命题1、四种命题的形式:用p和q分别表示原命题的条件和结论，用「p和「q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为:原命题：若p则q；逆命题：若q则P；否命题：若「p则「q；逆否命题：若「q则「p。2、四种命题的关系:逆命题若qWfs"1否逆否命题若-!叔Lp原命题o逆否命题。它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一。逆命题o否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径。除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系。注意：命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。三、充分条件与必要条件1、 定义：对于“若p则q”形式的命题：若p3q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p=q,但q^p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若既有p=q,又有q=p，记作pOq,则p是q的充分必要条件（充要条件）。2、 理解认知：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断。

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据。“当且仅当”。“有且仅有”。“必须且只须”。“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语。3、判断命题充要条件的三种方法：（1） 定义法：（2） 等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用山=月与衲二>7；月二与,0百与好o廿的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法。⑶利用集合间的包含关系判断：比如A匸B可判断为A=>B；A=B可判断为A=B，且B=>A，即AoB。如图:“xeHoxeE”<=>xe“且g*”O“XE川，且XEll书XEji”OXE貝是X如图:“xeHoxeE”<=>xe四、全称量词与存在量词1、 全称量词与存在量词全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“V”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x,有p（x）成立”可表示为“办，其中皿为给定的集合，pg是关于x的命题。存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”，“至少有一个”，“有点”，“有些”等，通常用符号“日”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x,使p（x）成立”可表示为“玉，其中皿为给定的集合，p（x）是关于x的命题。2、 对含有一个量词的命题进行否定（I） 对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：办訥卩㈤，他的否定予：全称命题的否定是特称命题。（II） 对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p：班胚戸⑴，他的否定卡：⑴特称命题的否定是全称命题。注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的。命题的否定只对命题的结论讲行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）—些常见的词的否定:

正面词语等于（=）大于（＞）小于（V）有是都是全是否定词语不等于（工）不大于（＜）不小于（＞）无不是不都是不全是正面词语任意的任意两个至少有一个至多有一个所有的至多有n个或否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些至少有n+1个且规律方法指导解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真假性一致。要注意区分命题的否定与否命题。要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照可加深认识和理解。处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件。特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。总结升华：（1） 判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题P和q的真假；③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假。（2） 条件“X已或”是“或”的关系，否定时要注意。推理与证明推理与证明一、推理•1、归纳推理1） 归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。2） 归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察A概括、推广实验、观察A概括、推广A猜测一般性结论3）归纳推理的特点：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。2、类比推理1） 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。2） 类比推理的思维过程是：观察、比较 —联想、类推 —推测新的结论3、演绎推理1） 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。2） 主要形式是三段论式推理。3） 三段论式常用的格式为：M—一P（M是P）①S——M（S是M）②S——P（S是P）③其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。二、证明1、直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”要注意叙述的形式：要证A,只要证B，B应是A成立的充分条件。分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。2、间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤是：反设一一推理一一矛盾一一原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词反议词原结论词反议词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意X不成立存在某个x成立至少有n个至多有n—1个p或q-P且-q至多有n个至少有n+1个p且q-P或-q“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般结论；小前提 所研究的特殊情况；结论 根据一般原理，对特殊情况得出的判断。一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

复数1、 复数的基本概念：形如a+bi的数叫做复数（其中a,bgR）;虚数的单位为i,它的平方等于一1,即i2=-1。其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。实数：当b=0时复数a+bi为实数虚数：当b丰0时的复数a+bi为虚数纯虚数：当a=0且b丰0时的复数a+bi为纯虚数2、 两个复数相等的定义：a+bi=c+dioa-c且b=d（其中，a,b,c,d,gR）特别地a+bi=0oa=b=03、 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面：z-a+bi，对应点坐标为p（a,b）4、复数的模：对于复数z-a+bi，把|z|-22+b2叫做复数z的模，复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。数数小数5、复数集数数小数复数a+bi(a,bgR)<复数a+bi(a,bgR)<无理数（无限不循环6、复数的基本运算：设z1-ai+bi数（b丰0）纯虚数（a丰0）

非纯虚数（a-0）加法：z+z -b)i1 2 1 2 1 2减法：z-z-(a一a)+(b-b)i\o"CurrentDocument"1 2 1 2 1 2（3）乘法:z-z=(aa-bb)+(ab+ab)i1212122112（4）除法:(aa+bb)+(ab一ab)i^2 ^2 ^41-^-a2+b222(5)幕运算：i1-ii2--1i3=-ii4-1