连续性方程伯努利方程及其应用

化工原理化学化工学院吴红军2016年3月目前一页\总数六十七页\编于九点

第一章流体流动1.1概述1.2静力学基本方程1.3流体流动的基本方程1.4流体流动现象1.5流体在管内的流动阻力1.6管路计算1.7流量测量2目前二页\总数六十七页\编于九点第一章流体流动概述研究流体流动过程中流速、压强和安装高度等能量损失和对流体提供能量化学工程重要问题流体在管内流动一维流动目前三页\总数六十七页\编于九点第一章流体流动1.3流体流动的基本方程1.3.1流量与流速1.3.2定态流动与非定态流动1.3.3连续性方程式1.3.4能量衡算方程式1.3.5伯努利方程式的应用目前四页\总数六十七页\编于九点一、流量与流速

1、流量

单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。

体积流量VS；单位为：m3/s。质量流量WS；单位：kg/s。

体积流量和质量流量的关系是：目前五页\总数六十七页\编于九点流量与流速的关系为：

质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量用G表示，单位为kg/(m2.s)。单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。单位为：m/s。

2、流速一、流量与流速

目前六页\总数六十七页\编于九点二、定态流动与非定态流动流动系统定态流动流动系统中流体的流速、压强、密度等有关物理量仅随位置而改变，而不随时间而改变非定态流动上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流动。示意图目前七页\总数六十七页\编于九点二、定态流动与非定态流动目前八页\总数六十七页\编于九点二、定态流动与非定态流动目前九页\总数六十七页\编于九点三、连续性方程依据：物料衡算条件：定态流动系统目前十页\总数六十七页\编于九点推导：衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。衡算基准：1s对于连续定态系统：

三、连续性方程目前十一页\总数六十七页\编于九点如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：若流体为不可压缩流体

——一维定态流动的连续性方程

表明：在定态流动系统中，流量一定时，管路各截面上流速的变化规律三、连续性方程目前十二页\总数六十七页\编于九点（1）对于圆形管道，管径计算式表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径的平方成反比。推论：——管道直径的计算式思考：生产实际中，管道直径应如何确定？目前十三页\总数六十七页\编于九点四、能量衡算方程式1、流体流动的总能量衡算

能量种类机械能、内能电能、核能等在流动体系中主要表现机械能内能（热）动能位能压力能(功)特点相互转变不能直接转变成输送流体的机械能要寻求一个过程中所发生各种形式能量之间的转化关系需要进行能量衡算相互转变特点遵循能量守恒定律目前十四页\总数六十七页\编于九点1、流体流动的总能量衡算

1）流体本身具有的能量单位质量流体的内能以U表示，单位J/kg。①内能：条件：定态流动物质内部能量的总和称为内能。目前十五页\总数六十七页\编于九点质量为m流体的位能单位质量流体的位能

流体因处于重力场内而具有的能量。

②位能：流体以一定的流速流动而具有的能量。

③动能：质量为m，流速为u的流体所具有的动能单位质量流体所具有的动能1、流体流动的总能量衡算

目前十六页\总数六十七页\编于九点④静压能（流动功）通过某截面的流体具有的用于克服压力功的能量1、流体流动的总能量衡算流体在截面处所具有的压力流体通过截面所走的距离为

目前十七页\总数六十七页\编于九点流体通过截面的静压能单位质量流体所具有的静压能单位质量流体本身所具有的总能量为：1、流体流动的总能量衡算

目前十八页\总数六十七页\编于九点单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为qe(J/kg)；质量为m的流体所吸的热=mqe[J]。当流体吸热时qe为正，流体放热时qe为负。①热：2）系统与外界交换的能量1、流体流动的总能量衡算

目前十九页\总数六十七页\编于九点单位质量流体通过划定体积的过程中接受的功为：We(J/kg)

质量为m的流体所接受的功=mWe(J)②功：流体接受外功时，We为正，向外界做功时,We为负。1、流体流动的总能量衡算

流体本身所具有能量以及热和功就是流动系统的总能量。目前二十页\总数六十七页\编于九点3）总能量衡算衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。衡算基准：1kg流体。

设1-1’截面的流体流速为u1，压强为P1，截面积为A1，比容为v1；

截面2-2’的流体流速为u2，压强为P2，截面积为A2，比容为v2。取o-o’为基准水平面，截面1-1’和截面2-2’中心与基准水平面的距离为Z1，Z2。1、流体流动的总能量衡算

目前二十一页\总数六十七页\编于九点对于定态流动系统：∑输入能量=∑输出能量——定态流动过程的总能量衡算式

1、流体流动的总能量衡算

目前二十二页\总数六十七页\编于九点2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程流体与环境所交换的热阻力损失：机械能转换成热能，不能用于流体输送条件：定态流动1）流动系统的机械能衡算式目前二十三页\总数六十七页\编于九点代入上式得：

——流体在定态流动过程中的机械能衡算式2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程目前二十四页\总数六十七页\编于九点2）柏努利方程（Bernalli）条件：定态流动不可压缩代入：2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程目前二十五页\总数六十七页\编于九点对于理想流体，当没有外功加入时We=0——柏努利方程

2、流动系统的机械能衡算式——柏努利方程目前二十六页\总数六十七页\编于九点3、柏努利方程式的讨论即：上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。

1）对理想流体无外功加入

即：1kg理想流体在没外功加入时，各截面上的总机械能相等，但各种形式的机械能却不一定相等，可以相互转换。2）实际流体无外功加入目前二十七页\总数六十七页\编于九点流体在管道流动时的压力变化规律3、柏努利方程式的讨论目前二十八页\总数六十七页\编于九点3）式中各项的物理意义We和Σhf：

We：输送设备对单位质量流体所做的有效功，

Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功，即功率截面上流体本身具有的能量截面间流体所获得或消耗的能量3、柏努利方程式的讨论目前二十九页\总数六十七页\编于九点4）流体静止时即：流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例5）柏努利方程的不同形式

a)若以单位重量的流体为衡算基准3、柏努利方程式的讨论目前三十页\总数六十七页\编于九点[m]位压头，动压头，静压头、压头损失

He：输送设备对流体所提供的有效压头3、柏努利方程式的讨论目前三十一页\总数六十七页\编于九点b)若以单位体积流体为衡算基准静压强项P可以用绝对压强值代入，也可以用表压强值代入[pa]3、柏努利方程式的讨论目前三十二页\总数六十七页\编于九点6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对压强变化小于原来压强的20%，仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体的平均密度ρm代替。3、柏努利方程式的讨论目前三十三页\总数六十七页\编于九点五、柏努利方程式的应用

1、应用柏努利方程的注意事项1）作图并确定衡算范围根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的衡算范围。目前三十四页\总数六十七页\编于九点2）截面的选取两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面的有关物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外，都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。1、应用柏努利方程的注意事项

目前三十五页\总数六十七页\编于九点3）基准水平面的选取

所以基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线，ΔZ=0。1、应用柏努利方程的注意事项

目前三十六页\总数六十七页\编于九点4）单位必须一致

在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。1、应用柏努利方程的注意事项

目前三十七页\总数六十七页\编于九点2、柏努利方程的应用例：20℃的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为多少m3/h?当地大气压强为101.33×103Pa。1）确定流体的流量目前三十八页\总数六十七页\编于九点分析：求流量Vh已知d求u直管任取一截面柏努利方程气体判断能否应用？1）确定流体的流量目前三十九页\总数六十七页\编于九点解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’截面1-1’处压强：截面2-2’处压强为：流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：1）确定流体的流量目前四十页\总数六十七页\编于九点在截面1-1’和2-2’之间列柏努利方程式。以管道中心线作基准水平面。由于两截面无外功加入，We=0。能量损失可忽略不计Σhf=0。柏努利方程式可写为：式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表压），P2=-4905Pa（表压）1）确定流体的流量目前四十一页\总数六十七页\编于九点化简得：由连续性方程有：1）确定流体的流量目前四十二页\总数六十七页\编于九点联立(a)、(b)两式1）确定流体的流量目前四十三页\总数六十七页\编于九点例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接管直径为φ38×2.5mm，料液在连接管内流动时的能量损失为30J/kg(不包括出口的能量损失)，试求高位槽内液面应为比塔内的进料口高出多少？

2）确定容器间的相对位置目前四十四页\总数六十七页\编于九点分析：解：取高位槽液面为截面1-1’，连接管出口内侧为截面2-2’,并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利方程式：高位槽、管道出口两截面u、p已知求△Z柏努利方程

2）确定容器间的相对位置目前四十五页\总数六十七页\编于九点式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表压)；P2=9.81×103Pa(表压）由连续性方程∵A1>>A2,We=0，∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：

2）确定容器间的相对位置目前四十六页\总数六十七页\编于九点例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋下来后流入下水道，已知管道内径均为0.1m，流量为84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至喷头进入管子的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较塔内压强高0.02MPa，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计，求泵所需的有效功率。

3）确定输送设备的有效功率

目前四十七页\总数六十七页\编于九点

3）确定输送设备的有效功率

目前四十八页\总数六十七页\编于九点分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔内压强整体流动非连续截面的选取？解：取塔内水面为截面3-3’，下水道截面为截面4-4’，取地平面为基准水平面，在3-3’和4-4’间列柏努利方程：

3）确定输送设备的有效功率

目前四十九页\总数六十七页\编于九点将已知数据代入柏努利方程式得：计算塔前管路，取河水表面为1-1’截面，喷头内侧为2-2’截面，在1-1’和2-2’截面间列柏努利方程。

3）确定输送设备的有效功率

目前五十页\总数六十七页\编于九点式中：

3）确定输送设备的有效功率

目前五十一页\总数六十七页\编于九点将已知数据代入柏努利方程式

3）确定输送设备的有效功率

目前五十二页\总数六十七页\编于九点

例2：水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，计算管内截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’处的压强，大气压强为760mmHg，图中所标注的尺寸均以mm计。分析：求P求u柏努利方程某截面的总机械能求各截面P理想流体4)确定管路中流体的压强目前五十三页\总数六十七页\编于九点解：在水槽水面1－1’及管出口内侧截面6－6’间列柏努利方程式，并以6－6’截面为基准水平面式中：P1=P6=0（表压）u1≈0代入柏努利方程式4)确定管路中流体的压强目前五十四页\总数六十七页\编于九点u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基准水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa对于各截面压强的计算，仍以2-2’为基准水平面，Z2=0，Z3=3m，Z4=3.5m，Z5=3m4)确定管路中流体的压强目前五十五页\总数六十七页\编于九点（1）截面2-2’压强（2）截面3-3’压强4)确定管路中流体的压强目前五十六页\总数六十七页\编于九点（3）截面4-4’压强（4）截面5-5’压强

从计算结果可见：P2>P3>P4，而P4<P5<P6，这是由于流体在管内流动时，位能和静压能相互转换的结果。4)确定管路中流体的压强目前五十七页\总数六十七页\编于九点在φ45×3mm的管路上装一文丘里管，文丘里管上游接一压强表，其读数为137.5kPa，管内水的流速u1=1.3m/s，文丘里管的喉径为10mm，文丘里管喉部一内径为15mm的玻璃管，玻璃管下端插入水池中，池内水面到管中心线的垂直距离为3m，若将水视为理想流体，试判断池中水能否被吸入管中？若能吸入，再求每小时吸入的水量为多少m3/h？5）流向的判断

目前五十八页\总数六十七页\编于九点分析：判断流向比较总势能求P？柏努利方程解：在管路上选1-1’和2-2’截面，并取3-3’截面为基准水平面设支管中水为静止状态。在1-1’截面和2-2’截面间列柏努利方程：5）流向的判断

目前五十九页\总数六十七页\编于九点式中：5）流向的判断

目前六十页\总数六十七页\编于九点∴2-2’截面的总势能为3-3’截面的总势能为

∴3-3’截面的总势能大于2-2’截面的总势能，水能被吸入管路中。求每小时从池中吸入的水量求管中流速u柏努利方程在池面与玻璃管出口内侧间列柏努利方程式：5）流