杆系结构的有限元原理

第4章杆系结构的有限元分析原理

杆梁单元概述讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统.从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件承受轴力或扭矩的杆件成为杆杆梁问题都有精确解承受横向力和弯矩的杆件称为梁平面桁架平面刚架连续梁空间刚架空间桁架等承受轴力或扭矩的杆件称为杆将承受横向力和弯矩的杆件称为梁变截面杆和弯曲杆件本章主要内容4.1有限元分析的完整过程4.2有限元分析的基本步骤及表达式4.3杆单元及其坐标变换4.4梁单元及其坐标变换4.1有限元分析的完整过程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3为10N作用下二杆结构的变形。问题的解题思路：1）用标准化的分段小单元来逼近原结构2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场3）基于位移场的最小势能原理来求解基本变量为：节点位移内部各点位移应变应力(1)(3)(2)完整的求解过程1）离散化该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出节点编号和单元编号。单元1：i=1，j=2单元2：i=2，j=32）单元分析单元位移模式：u(x)=a0+a1x单元节点条件：u(0)=u1，u(l)=u2

从而得回代得写成矩阵形式为其中Ni，Nj是形函数。形函数矩阵根据几何方程可得应变的表达写成矩阵形式为简记为几何函数矩阵或者是应变转换矩阵根据物理方程可得应力的表达写成矩阵形式为简记为应力矩阵或者是应力转换矩阵节点位移列阵势能的表达写成矩阵形式为刚度矩阵节点力列阵3）离散单元的装配

在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分4）边界条件的处理

处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入上式可以得到简化的势能表达式5）建立刚度方程

由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶导数）有6）求解节点位移

将结构参数和外载荷代入上式有求解得（单位m）7）计算单元应变8）计算单元应力9）计算支反力

对于单元势能的表达，对其取极值有具体地对于单元1，有其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动实现。讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为节点的位移和节点力之间的关系，也称为单元的平衡关系，由此可以求出每一个单元所受的节点力。讨论2：由前稻面的步脏骤，我唤们也可船以直接期将各个劣单元的案刚度矩疲阵按照峡节点编号巾的对应类位置来鄙进行装今配，即场在未处液理边界厚条件之钓前，先情形成整体刚度体矩阵。其物理华意义是忆，表示遭在未处袋理边界盯条件前胀的基于链节点描餐述的总包体平衡关系。积在对该辅方程进移行位移绍边界条绍件的处失理后就宗可以求碑解，这板样与先处理坦边界腿条件禽再求银系统王势能拿的最弊小值那所获删得的念方程烫完全翠相同胞。4.蹄2有限伤元分侦析的趁基本端步骤耕及表妖达式1、物体牺几何区经域的离摘散化2、单跳元的鞠研究逐（所科有力驱学信明息都仔用节惭点位耐移）僻来表歼达3、装寒配集肃成4、边鸡界条佩件的遭处理叔并求饶解节鸡点位厅移5、支反亚力的求叉取以及王其它力铁学量（怎应力、网应变及拌位移三婶大物理悬量）的选计算4.腐2有限哑元分秘析的坟基本软步骤事及表浸达式4.3杆单更元及插其坐贱标变困换局部闭坐标区系中盖的单咏元描滋述5.图25痰m3.狂75咐m24林mF6m3mF24mE=3E臂7paρ=0追.2绍83笛6k值g/郑m3F=10粥0N变截妻面杆哲单元历的推款导单元的哑位移模鉴式形状函夕数矩阵单元的栽几何矩表阵变截砖面杆陈单元扯的推扛导单元刚沫度矩阵今为4.防3杆单统元及呼其坐毙标变总换局部查坐标僻系中换的单驾元描盘述E=2屯E1抹0p族aF=60僚kNA=2话50m啦m215膝0m漆m150昼mmF1.娱2m滑m4.3杆单浸元及宵其坐微标变冻换-局部只坐标由于愤杆单蹦元只船有两剥个节爽点位锄移，晕故可援以设刻杆单沿元的掀位移神模式佩为之膝包含待两个公待定遣常数炸的形答式u(x)=a1+a2x根据有芒限元法岗的基本热思路，葵将弹性腔体离散牵成有限矿个单元负体的组跌合，以浑结点的稳位移作衬为未知质量。弹响性体内攻实际的包位移分逝布可以从用单元公内的位顶移分布通函数来霞分块近葛似地表糖示。在婆单元内榨的位移睛变化可兽以假定节一个函柳数来表四示，这划个函数馒称为单元喇位移系函数、或单元域位移局模式。回代得注写成矩姜阵形式滔为其中Ni，Nj是形函鼓数。根据住位移粥条件敏有u(0)怪=u0，u(l)=ul，从貌而得根据几为何方程呆得根据物句理方程尝得从而厅，根盼据单得元分筑析结婚果，纸进行俯整体房诚分析牵，求呢解整民体方钥程组年，进坊行结付果分梅析杆单兵元的脏坐标尼变换规定：杆端位摘移和杆桃端力取改在截面睁形心上殃，符号下以与单荣元系坐龙标正向枕相同为慎正，相抬反为负扎。下面重讨论整售体坐标暖系下与程局部坐涉标系下蔬的转换服关系式录。整体幸坐标系则单元杆皂端位移驰和杆端怠力仍定粒义在截汁面形心际上，符挪号以与添坐标正跳向同向绘为正反在之为负嫁。局部者坐标族系辣整源体坐罩标系杆单射元的仪坐标慕变换-平面昂问题其中刻是一军个单栽位正首交矩界阵，昂单位鲜正交胡矩阵货的逆法即等长于其巡寿转置阅。从上捷图可蔽以得羽出，丽整体贤坐标茶系逆毕针旋毒转α角后洋与单浩元系揪相重队合。写成矩胖阵形式纱为由于蔽单元钞的势诸能是忠一个孤标量(能量)，不河会因勤坐标找系的冠不同贪而改链变，克因此秆，可兄将节搏点位寨移的茄坐标辅变换带关系就代入狭原来即基于长局部惨坐标指系的艺势能驻表达匠式中愧，整体坐版标系下盈的刚度旺方程根据得其中单刚君的性质煎：是对称宁矩阵。是奇异骄矩阵。坐标测变换勤并不带改变捧矩阵忍的奇仇异性纵质。1结构决的离烂散化护与编迁号2各个单挂元的矩喉阵描述结构残包括俩有斜仗杆，功所以第必须去在总算体坐杏标下宁对节针点位泛移进啦行表万达，但所推误导的竹单元诊刚度鼠矩阵代也要绞进行延变换3建立归整体轧刚度膨方程1.将所得隐到的各碗个单元份刚度矩翻阵按节利点编号颗进行组雪装，可才以形成羽整体刚姿度矩阵;2历.同时下将所训有节称点载抚荷也境进行鞠组装辜。4边界砌条件文的处直理及元刚度舍方程心求解5各单元萍应力的志计算6支反力叮的计算将节点脉位移的量结果代酿入整体林刚度方蛮程中基于MAT鱼LAB平台敞求解遭该（1）结榆构的离未散化与白编号（2）计值算各晴单元牵的刚借度矩谋阵1.建立一摆个工作产目录，肯将所编石制的用企于平面安桁架单饿元分析们的四个MA航TL积AB函数（1.单元刚匙度；2.总刚矩伐阵的组高装；3.单元垒应力乳的求肿解；4.支反力术的求解毁）2.在MAT燥LAB环境芽中，慎输入坦弹性歪模量E、横截亭面积A，各牙点坐朽标、宝角度3.调用歇四次锈单元卧刚度现矩阵疲计算漫函数勇，得脑到各恋个单乘元的托刚度壶矩阵单元的竭刚度矩疏阵的计志算fu患nc多ti显on漠k纺=B四ar诱2D成2N拴od泊e_吨St光if替fn浇es狗s(姐E,祸A,株x1炎,y碰1,江x2昏,y贱2,乏al鸭ph窃a)%该函数窜计算单谊元的刚扮度矩阵%输入弹挽性模量E，横政截面苏积A%输入碌第一战个节声点坐撑标（x1,粗y1），疏第二耳个节椒点坐闲标（x2妄,y至2），角研度alp骗ha（单推位是慢度）%输出某单元球刚度案矩阵k(4涨X4)。%-矩--远--喂--堆--信--皱--墙--湖--施--叮--千--岸--应--勉--粘--振--娃--幸--自--违--琴--蜓--驰--叶--L=s衔qrt锤((x蚂2-x替1)*际(x2纺-x1蜂)+(芬y2-俱y1)筝*(y惭2-y阴1))浙;x=么al转ph体a*围pi案/1恭80仗;C=偷co拔s(吊x)偷;S=蜓si纸n(贿x)娇;k=E恒*A/箩L*[亮C*C勤C*村S-抛C*C代-C尺*S;匀C*沿SS厘*S亦-C*道S-汁S*S情;-C*斥C-亮C*S促C*佳CC罢*S;逐-C伍*S娃-S*冰SC喂*S香S*S桶];总刚断矩阵春的组躺装fun应cti市on礼z=赖Ba关r2D驻2No毯de_横Ass赞emb另ly(债KK,惑k,i也,j)%该函数疑进行单炭元刚度螺矩阵的箩组装%输入崭单元问刚度番矩阵k，单爆元的么节点拼编号i、j%输出整貌体刚度毯矩阵KK%-掠--欲--虫--耀--丑--假--需--长--活--底--棒--感--测--甘--上--凤--差--铺--辱--胜--筝--抄--蛮--糊--工--钓--疏--征-DO崖F(跨1)恰=2挖*i坟-1京;DO精F(竖2)含=2岂*i鼠;DOF恶(3)仗=2*沈j-1祖;DOF龟(4)诉=2*英j;for亦n1映=1:缺4for谨n2娇=1:笑4KK曾(D怒OF腹(n激1)奸,D集OF例(n伤2)耳)=咳K阔K(厚DO京F(断n1摄),情DO坑F(供n2痛))贩+k悬(n蒙1,售n2呆);enden娘dz=刺KK饱;（3）买建立考整体泥刚度鸦方程（4）边抖界条件根的处理糠及刚度好方程求袍解（高甲斯消去恼法）（5）支棒反力广的计瘦算（6）各单窗元的应侮力计算基于MAT凡LAB平台青求解蕉该基于AN尼SY且S求解该1.前处理2.求解股器的敬设定3.后处俊理对于盒单元2：取i=1，j=2，则，故对于因单元1：取i=3，j=1，则c=1，s=0，故对于单康元3：取i=2，j=3，则c=0，s=1，故整体们编号登，对搂号入颜座得牙总刚杆单补元的斜坐标其变换-空间整体迎和局呜部的抱坐标纺转换栋关系锅与平幕面问膝题一霜致。4.4梁单斗元及坊其坐栋标变畜换由于浆单元赔有四缠个位魔移分岛量，恰可设掀梁单飘元的孟位移壮模式v(x)为包含4个待定庭常数的址三次多批项式：根据边箱界条件嫌可以确箩定待定练系数，筋将其进盗一步回混代，可缴以得到订用节点盐位移表饥示的梁肃单元位土移。式中根据丹梁的语平面害假定杏可知就梁单搂元的任轴向案应变烘为：这里夸利用泉平面帖假设亿（变形贿后横陆截面椒仍保眨持平倚面，易与纵纱线正顾交）如图：从而可陆以由单锤向虎克迷定律得言出单元施的轴向辜应力：由虚此功原保理可洒以推拖得组装总假刚仍用肯后处理助法，“饱对号入论座，子片块搬家疯”的方摧法。如捐：对于桶单元1，我们重取i=1，j=2。故对于单悄元2，取i=2，j=3。故由于I1=2I2=2I，按照刻“整体劣编号，对号蜘入座蝴”的著原则模，得撒总刚坛为对于此速，列出赞总刚度鼻方程为考虑到兆边界条耀件，修配正后的男刚度方偶程为解之得4.5平面疮刚架信的有请限元负法小变形喊情况下渴，可以霞把平面汽刚架单巩元看成油是发生凤轴向位移的脖杆单卷元和击发生狼挠度抚和转娇角的保梁单血元的卡组合总。4.5平面但刚架辞的有丑限元揉法单元位它移模式（