2023年4月石景山区高三数学文科试题(一模)

新东方优能教育2023年北京市石景山区高三统一测试数学〔文科〕试卷2023.3本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷1至2页，第二卷3至9页，第10页为草稿纸，共150分．考试时间120分钟．题号第一卷第二卷总分一二151617181920分数第一卷〔选择题共40分〕得分评卷人一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．是三个集合，那么“〞是“〞成立的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．在中，，，，那么的值是A．B．C．D．3．正方体的内切球与外接球的半径之比为A．B．C．D．4．在等比数列中表示前项的积，假设，那么一定有A．B．C．D．5．设函数那么〔〕的值为A．B．C．D．6．从湖中打一网鱼，共条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n条，其中有k条有记号，那么能估计湖中有鱼A．条B．条C．条D．条7．函数〔〕满足，且当时，，那么与的图象的交点个数为A．B．C．D．8．对于平面直角坐标系内任意两点〔，〕、〔，〕，定义它们之间的一种“距离〞：‖‖=︱︱+︱︱．给出以下三个命题：=1\*GB3①假设点C在线段AB上，那么‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；=2\*GB3②在△ABC中，假设∠C=90°，那么‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；=3\*GB3③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．其中真命题的个数为A．B．C．D．第二卷〔非选择题共110分〕得分评卷人二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．从中任取四个数，使其和为偶数的取法共有_________种〔用数字作答〕.10．展开式中的系数是___________，所有项的系数和是___________．11．不等式的解集是________________________．12．在△中，，，分别是三个内角，，的对边．假设，，，那么边长=_________．13．实数满足那么目标函数的最小值为．14．在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如下图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是．图1图1图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分评卷人15．〔此题总分值12分〕函数〔，为常数〕．(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)假设在上的最大值为，求的值.得分评卷人16．〔此题总分值12分〕 某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一队胜四场，那么此队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是，乙队获胜的概率是，根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为万元，两队决出胜负后，问：〔Ⅰ〕组织者在总决赛中获门票收入为万元的概率是多少？〔Ⅱ〕组织者在总决赛中获门票收入不低于万元的概率是多少？得分评卷人17．〔此题总分值14分〕如图，在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形，，、分别是、的中点. 〔Ⅰ〕求证：； 〔Ⅱ〕求二面角的大小； 〔Ⅲ〕在平面内求一点，使⊥平面，并证明你的结论． 得分评卷人18．〔此题总分值14分〕如图，设是椭圆的左焦点，直线为左准线，直线与轴交于点，为椭圆的长轴，，且．〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕过点作直线与椭圆交于、两点，求△面积的最大值．得分评卷人19．〔此题总分值14分〕设数列的首项，前项和满足关系式〔，，〕．〔Ⅰ〕求证：数列是等比数列；〔Ⅱ〕设数列的公比为，作数列，使，〔，〕，求数列的通项公式；〔Ⅲ〕数列满足条件〔Ⅱ〕，求和：．得分评卷人20．〔此题总分值14分〕函数〔Ⅰ〕当时，求函数的极小值；〔Ⅱ〕当时，讨论曲线轴的公共点的个数.以下为草稿纸2023年石景山区高三统一测试数学〔文科〕参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．题号12345678答案ADCBDABB二、填空题：本大题共6个小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上．题号91011121314答案，〔-3，-2〕∪〔2，+∞〕注：第10题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔此题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵，……4分 ∴.……………6分〔Ⅱ〕∵，∴.∴.……………9分∴的最大值为.……………11分∴，解得.……………12分16．〔此题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕门票收入为万元的概率为： ．……………4分〔Ⅱ〕门票收入为万元的概率为：．……………7分门票收入为万元的概率为：．……………10分门票收入不低于万元的概率是：．……………12分17．〔此题总分值14分〕解法一：〔Ⅰ〕证明：∵、分别是、的中点,∴.∵是正方形，∴.又底面，∴是斜线在平面内的射影.∴.∴……………4分〔Ⅱ〕连结交于，过作于，连结、.∵分别为，中点，∴∥.∵底面，∴⊥底面.∴是斜线在平面内的射影.∴.∴是二面角的平面角.……………7分经计算得：，.∴.即二面角的大小为.……………9分〔Ⅲ〕取的中点，连结.∵，∴.又易证平面，∴.又，∴平面.……………11分取中点，连结、.∴，且.∴四边形为平行四边形.∴.∴⊥平面.即当是的中点时，⊥平面.……………14分解法二：以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系〔如图〕，那么、、、、、、.……………2分〔Ⅰ〕∵，，∴.∴……………5分〔Ⅱ〕∵⊥底面，∴平面的法向量为.……………6分设平面的法向量为由得即令，那么，．∴．……………9分∴.即二面角的大小为.……………11分〔Ⅲ〕设，那么平面．∴．由，得．由，得．∴点坐标为，即为中点时，⊥平面．…………14分18．〔此题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕由题意，得，∴．……………2分 又，∴．……………4分 ∴．∴椭圆的标准方程为．……………6分〔Ⅱ〕设过点的直线方程为，代入椭圆方程整理得，．，，．………8分而．………10分即．当且仅当，即时等号成立，且满足．∴△ABF面积的最大值是．……………14分19．〔此题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕∵， ① ， ② ①－②，得. ∴〔，〕.……………4分 又由， 得．又∵，∴．……………6分 所以是一个首项为1，公比为的等比数列.……………7分〔Ⅱ〕由，得〔． ∴是一个首项为1，公差为1的等差数列． 于是.……………10分〔Ⅲ〕由，可知和是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列， 于是. ∴ .……14分20．〔此题总分值14分〕解：〔I〕……2分 ∵∴当时，；当时，……………………5分〔II〕①当时，时，；时，．∴；．