线面角地求法的总结

1111111111111线角三求直法平面的斜与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角通常解由斜线段垂线段斜线在平内的射影所组成的直角三角形垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作。例（如图1四面体ABCS中SA,SB,SC两垂直SBA=45°∠SBC=60°M为AB的中点，求（）BC与平面SAB所的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解（）∵SC⊥SB,SC⊥CHS

BMA

图1∴SC⊥平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线与平面SAB所成的角为60。（）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴⊥平面SCM,∴面⊥面过S作SH⊥CM于H,则SH⊥平ABC∴CH即为SC在面ABC内的射影∠SCH为C与平面BC所成的角sin∠SCH=SH／∴SC与平面ABC所成的角的正值为／7垂线”是相对的，是面SAB的线，又是面ABC的线作面的垂线常根据面面垂直的性质定理其思路是先找与已知平面垂直的平面然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线利公sinθ／

ι其中θ是斜线与平面所成的角，是垂线段的长ι

是斜线段的长，其中求出垂线段的（即斜线上的点到面的距离既是关键又是难点为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例如图2）长方体ABCD-ABCDAB=3,BC=2,AA=，AB与ABD所成,的角。解：设点到ABD的距离为h,∵V

=V∴／3S·h=13·，易得h=125CC设AB与面ABCD所成的角为θ则inθ=h／／精彩文档

实用标准文案

3

2

4

1

1

11图∴AB与面ABCD所成的角为arcsin／5利公cosθ=cosθ·θ1

2（如图）若OA为平面的一条线为斜足OB为A在面α的射影OC为面α内的AO一条直线，其中θ为OA与C所成角，

α

C

图θ为OA与B所成的角，即线面，θ为O与OC成的角，那么cosθθ·θ（同学们可自己证明它揭示了斜和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角理）例3（如图4）已直线OA,OB,OC两所成的角为60°，求直线OA与面OBC成的角的余弦值。解：∵∠AOB=∠AOC∴在面OBC内射影在BOC的平线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角可知∠DOC=30°∠∠·cosDOC∴cos60°∠·cos30°∴cos∠√／∴OA与面OBC所成的角的余弦值为√3／。AB

αO

DC

图4（一）复习：1．直线和平面的位置关系行、相交和直线在平面内）2考直线a与平面的系是a

A

时何反映直线与平面的相对置关系呢？（可以用实物来演示，显然不能直线和平面的距离来衡量）（二）新课讲解：1．平面的斜线和平面所成的角精彩文档

221ARtBOAOBO1111111实用标准文案221ARtBOAOBO1111111已知，如图，AO是平面的斜，A是斜足，垂直于平面，B为垂足，则线是斜线在平面内的射影。设

是面内任意一条直线，且

，垂足为

，又设与AB所成角，AB与所角为，AC所成角为，则易知：1|ABAO|

，

|cos

cos

cos

又∵

||

，可以得到：cos，12注意：(0,)（，则由三垂线定理可知，2OAAC，；“是平面内的任意一条线，且2

A

B2C，垂足为

”不相符易得：

1

又

(0,1

2

)

即可得：

1则可以得到：（）平面的斜线和它在平面内射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；（）斜线和平面所成角：一个面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹说明：．若a，则规定a与所成的角是直角；2．若a或a则规定与所成的角为0；3．直线和平面所成角的范围为

；4．直线和平面所成角是直斜线与平面内直线所成角的最小值（

1

2

2．例题分析：例1．如图，已知是面的条斜线，为斜足，O为垂足，BC为内的一条直线，

ABCOBC45

，求斜线AB和面所角。

A解：∵AO，由斜线和平面所成角的定可知，为AB和所角，又∵

cos

1

2

，coscos60122∴coscosCBO4522∴BAO45，即斜线和平面所成角为45．

，

B

C

例2．如图，在正方体AC中求面对角线A与角面DD11〖解法一）连结AC与D交于，结OB，111∵DDAC，DAC，∴平面BBDD11111111∴是A与角面DD所的角，11111在中，，．2

所成的角。DO

B1

1（法二）由法一得BO是与对角面D所成的角，11112B6又∵cosBB45，，2BO3

A

D

B

C精彩文档

2P实用标准文案2P2∴

313

，∴

BO

．说明求直线与平面所成角的一方法是先找斜线在平面中的射影求斜线与其射影的夹角。另外，在条件允许的情况下用公式

cos

1

2

求线面角显得更加方便。例3．已知空间四边形ABCD的各边及对角线相等，求与平面BCD所成角的余弦值。解：过作平面BCD于点O，接,BO,∵ABAC，∴O是三角形BCD的外心，

，

设四面体的边长为

，则

33

a

，∵

AOC，∴ACO即为AC与平面BCD所成角，∴

cos

，所以，

与平面

所成角的余弦值为

33

．

C

O

D

五．课堂练习：课本第45页练第1，，3；第47习题的第1题。六．小结：1．线面角的概念；2．

cos

1

2

及应用步骤：

1

2

在图形中所表示的角。七．作业：课本第45页练习第题、47页习9.7的题。补充：如图，是平面的斜线