复变函数与积分变换第五章留数

复变函数与积分变换第五章留数第一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六第五章留数§5.2留数§5.1孤立奇点§5.3留数定理及其应用第二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六主要内容本章介绍孤立奇点的概念、分类及其判别；留数的概念；孤立奇点处留数的计算；并将其应用于实函数积分的计算.第三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六§5.1孤立奇点一、引言二、零点三、孤立奇点四、孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类第四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六回顾复积分的计算方法：（4）柯西-古萨基本定理：（5）Cauchy积分公式（6）Cauchy高阶导数公式一、引言第五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六问题：如何转化成含有的形式？一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

如图，考虑积分

DrCG(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点此时第六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

DrC如图，考虑积分

(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?

”得到。G第七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六则称为的零点；(1)若

所谓函数的零点就是方程的根。定义设函数在处解析，(2)若在

处解析且则称为的

m

阶零点。二、零点P81定义

5.3

第八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六二、零点

定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m阶零点。(2)其中，(3)在内的泰勒展开式为充要条件(如何判断零点的阶数?

)(进入证明?)第九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六其中，二、零点

充要条件(如何判断零点的阶数?

)定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m阶零点。(2)(3)在内的泰勒展开式为收敛且解析第十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六是的三阶零点。是的三阶零点。方法一

方法二

第十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六三、孤立奇点邻域内解析，则称

为

孤立奇点。使得在去心且存在定义设为的奇点，例为孤立奇点。例原点及负实轴上的点均为奇点，但不是孤立奇点。P79定义

5.1

第十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例(1)令为孤立奇点；(2)也是奇点，但不是孤立奇点。邻域内解析，则称

为

孤立奇点。使得在去心定义设为的奇点，且存在三、孤立奇点第十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六xyo这说明奇点未必是孤立的.函数的实部注:若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.第十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

将在内定义设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(1)若有则称为的可去奇点。(

即不含负幂次项

)P79

第十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：则称为的

N阶极点；(

即含有限个负幂次项

)(2)若有且有特别地，当时，称为的简单极点。第十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(

即含无限个负幂次项

)(3)若有则称为的本性奇点。第十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六四、孤立奇点的分类

根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类

定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：小结(1)可去奇点

不含负幂次项；(2)N阶极点

含有限多的负幂次项,且最高负幂次为

N；

(3)本性奇点

含有无穷多的负幂次项。可去奇点本性奇点N阶极点第十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六可去奇点本性奇点N阶极点五、如何进行孤立奇点的分类定理

若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：可去奇点的判定方法第十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六(不含负幂次项)解是的奇点，由是的可去奇点。可知，将在的去心邻域展成洛朗级数，有或如果约定在点的值为

1，则在点就解析了，因此称为的可去奇点。第二十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六定理若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（都是N阶极点的特征）：(iii)z0是的N阶零点.(可去奇点作为解析点看)N阶极点的判定方法第二十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六定理若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是与不存在极限的区别定理

若零点，则(1)当时，(2)当时，即为的可去奇点。为的

(n-m)

阶极点。且为的

n

阶零点，为

的

m阶第二十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六(含有限个负幂次项，且最高负幂次为

2

)解是的奇点，由是的极点。可知，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注可见，为的二阶极点。第二十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六本性奇点的判定方法定理

z0为f(z)的本性奇点第二十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六解是的奇点，考察极限是的本性奇点。因此，将在的去心邻域内展成洛朗级数，有注(含无穷多个负幂次项)由不存在且不为可知，第二十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六是的一阶极点。判断函数的奇点的类型。例是的二阶极点。解由于是的可去奇点，故解由于是的一阶极点，故第二十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六由于是的四阶零点，解故是的二阶极点。将在的去心邻域内展成洛朗级数，有因此，为的二阶极点。注直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握

且是的二阶零点，第二十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六总结:孤立奇点可去奇点N阶极点本性奇点Laurent级数的特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有有限个负幂项关于的最高幂为第二十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六小结第二十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六一、引言

本章重点解决闭路积分问题。

DrC如图，考虑积分

(1)若在

G

上连续，在

D

上解析，则(2)若在

D

上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?

”得到。G第三十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六§5.2留数一留数的概念二留数的计算方法第三十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)5.2留数第三十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六一、留数的概念将在的去心邻域设为函数的孤立奇点，定义称为在处的留数，记作：内展开成洛朗级数：(两边积分)其中，C是的去心邻域内绕的一条简单闭曲线。P83定义

5.6

(留数的产生)第三十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六而且在使用该方法时，并不需要知道奇点的类型。

二、留数的计算方法若为的可去奇点，方法1.可去奇点若为的本性奇点，方法2.本性奇点则“只好”

将在的去心邻域内展开成洛朗级数。(1)在具体展开的时候，并不需要写出

“完整”

的洛朗级数，

注只需将其中负一次幂的系数求出来就可以了。

(2)对于不是本性奇点的情况，该方法有时也是很有效的，

则第三十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六(1)若为的简单极点，特别则(2)若且

在

点解析，则

P84法则3二、留数的计算方法3.极点方法(法则)若为的

m

阶极点，P84法则2

第三十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六是的可去奇点，解(1)和均为的一阶极点，(2)第三十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六(罗比达法则)

是的三阶极点，解(1)为的二阶极点，(2)第三十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六是的本性奇点，解将在的去心邻域内洛朗展开，有第三十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六方法一

利用洛朗展式求留数

解将在的去心邻域展开，得第三十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六由于是三阶极点，解方法二

利用极点的留数计算法则求解

(罗比达法则)

因此有(好麻烦!)

第四十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六解方法二

利用极点的留数计算法则求解

若

“不幸”

将判断成了的六阶极点，

巧合?(非也!)第四十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六如果为的阶极点,取正整数法则4那么注(1)此类函数求留数，可考虑利用洛朗展式。

(2)若此类函数求闭路积分，则可考虑利用高阶导公式，而不一定非得使用后面即将介绍的留数定理。

第四十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六§5.3留数定理及其应用一留数定理二留数在定积分计算中的应用第四十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六DC…一、留数定理处处解析，且连续到边界

C

，定理设在区域D内除有限个孤立奇点外注意只需计算积分曲线

C

所围成的有限区域内奇点的留数。如图，将孤立奇点用含于

D

内且证明互不重叠的圆圈包围起来，根据复合闭路定理有则P86定理

5.7

第四十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六利用留数定理计算复围线积分的步骤：1明确积分曲线及内部奇点2确定奇点类型,计算留数3应用留数定理,求积分第四十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六解被积函数在内有两个奇点：可去奇点一阶极点第四十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六解被积函数在内有两个奇点：一阶极点二阶极点第四十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六解方法一

利用极点的留数计算法则求解

(罗比达法则)为被积函数的二阶极点，方法二利用高阶导数公式求解

第四十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六方法三

利用洛朗展式求解解将被积函数在的去心邻域展开，第四十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六极点z=3在的外部.分别是f(z)的3级和1级极点,都在的内部.而练习计算积分其中C是的正向.记显然z=0和z=1第五十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六于是，根据留数基本定理第五十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

在高等数学中，以及许多实际问题中，往往要求计算出一些定积分或反常积分的值，而这些积分中的被积函数的原函数，不能用初等函数表示出来；例如或者有时可以求出原函数，但计算也往往非常复杂，例如

二、留数在定积分计算中的应用第五十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。点，一般讲来，关系不大，因为被积函数常常是初等函数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。第五十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六二、留数在定积分计算中的应用1、形如的积分2、形如的积分3、形如的积分第五十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条第五十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1、形如的积分方法(1)令则要求是

u,

v

的有理函数，即是以

u,

v

为变量的二元多项式函数或者分式函数。第五十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六方法即是以

u,

v

为变量要求是

u,

v

的有理函数，1、形如的积分的二元多项式函数或者分式函数。其中，是在内的孤立奇点。(2)1.被积函数的转化2.积分区域的转化第五十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六例

计算积分解积分可以转化为在复平面内有两个零点:在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复变函数的方法求解该题.第五十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六由于因此从而被积函数1级极点z1.所以在单位圆周内只有一个第五十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六其中，P(x)

,Q(x)为多项式；(2)分母

Q(x)的次数比分子P

(x)的次数至少高二次；(3)分母Q(x)无实零点。推导(略)

其中，是在上半平面内的孤立奇点。要求(1)方法2、形如的积分(进入推导?)第六十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六2.积分区域的转化:在上半平面取一条分段光滑的曲线,使其与实轴的一部分构成一条简单闭曲线,包含f(z)在上半平面的所有有限孤立奇点，并使f(z)在其内部除去这种方法称为围道积分法.1.被积函数的转化:当z在实轴上时,f(z)=f(x).f(x)f(z)有限孤立奇点外处处解析.第六十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

(1)令解(2)(3)在上半平面内，i与3i为一阶极点。第六十二页，共七十八页，编辑于2023年，星期六3、形如的积分(2)分母

Q(x)的次数比分子P

(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。其中，是在上半平面内的孤立奇点。其中，P(x)

,Q(x)为多项式；要求(1)方法第六十三页，共七十八页，编辑于2023年，星期六即：第六十四页，共七十八页，编辑于2023年，星期六

在上半平面内，1+3

i为一阶极点。(1)令解(2)第六十五页，共七十八页，编辑于2023年，星期六(3)(2)第六十六页，共七十八页，编辑于2023年，星期六留数计算方法留数定理留数在定积分计算中的应用本章内容总结第六十七页，共七十八页，编辑于2023年，星期六1.留数的计算3.留数在定积分计算中的应用本章的重点2.留数定理及在复变函数积分中的应用第六十八页，共七十八页，编辑于2023年，星期六第四章完第六十九页，共七十八页，编辑于2023年，星期六KarlWeierstrass(1815.10.31-1897.2.19)德国数学家.曾在波恩大学学习法律,1838年转学数学.后来成为中学教师,不仅教数学、物理,还教写作和体育,在这期间刻苦进行数学研究.1856年到柏林大学任教,1864年成为教授.Weierstrass是将严格的论证引入分析学的一位大师,他发现了处处不可微的连续函数,与其他一些数学家一起共同结束了分析学的混乱局面.第七十页，共七十八页，编辑于2023年，星期六EugeneRouche(1832.8.18-1910.8.19)法国数学家.在分析学和代数学方面均有贡献.1862年发表了Rouche定理.1875年曾发表文章证明了线性方程组存在解的系数矩阵秩准则.第七十一页，共七十八页，编辑于2023年，星期六附：留数(Residu)的产生

柯西在“求沿着两条有相同起点与终点且包围着

函数极点的路径积分之差”时得到了这个概念。这也是使用该名称的缘故。1829年柯西创建了留数理论。1814年柯西第一个注意到了留数的概念。(即留数、残数、剩余)这个术语。1826年柯西在他的研究报告中首次使用了“residu”(返回)第七十二页，共七十八页，编辑于