人教A版必修第二册831棱柱棱锥棱台的表面积和体积作业

课时作业(二十一)棱柱、棱锥、棱台的外表积和体积一、选择题1.如图，高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，那么三棱锥B－AB1C的体积为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)答案：DABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，那么四棱锥P－ABCD的体积为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案：B3.(多项选择)以下结论中，正确的选项是()S等于底面周长乘侧棱长ABC－A′B′C中，VA′－ABC＝VB′－ABCP－ABC中，S侧＝eq\f(1,2)ch(其中c为底面周长，h为斜高)答案：BC解析：直棱柱的侧面积是底面周长乘侧棱长，选项A错误；依据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错误．应选BC.4.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，那么三棱锥A′－EFQ的体积()E，F的位置有关Q的位置有关E，F，Q的位置都有关E，F，Q的位置均无关，是定值答案：D5.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水假设干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，那么图甲中水面的高度为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(7,4)C.2 D.eq\f(9,4)答案：D6.(多项选择)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，那么以下推断中，正确的选项是()A.直三棱柱的侧面积是4＋2eq\r(2)eq\f(1,3)E－AA1O的体积为定值D.AE＋EC1的最小值为2eq\r(2)答案：ACD解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋eq\r(12＋12)×2＝4＋2eq\r(2)，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正确；由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，∴三棱锥E－AA1O的高为定值eq\f(\r(2),2)，S△AA1O＝eq\f(1,4)eq\r(2)×2＝eq\f(\r(2),2).∴VE－AA1O＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,6)，故C正确；将四边形BCC1B1沿BB1翻折，使四边形ABB1A1与四边形BCC1B1位于同一平面内，连接AC1与BB1相交于点E，此时AE＋EC1最小，即AE＋EC1＝AC1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1C\o\al(2,1))＝2eq\r(2)，故D正确.二、填空题S－ABC的棱长均为4，那么该三棱锥的体积是________.答案：eq\f(16\r(2),3)8．(2019·全国卷Ⅲ)同学到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案：9.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，那么该多面体的体积为________.答案：eq\f(\r(2),3)a，高为eq\f(\r(6),6)a，那么此棱锥的外表积为________.答案：eq\f(3＋\r(3),4)a2解析：如图，在三棱锥S－ABC中，AB＝a，SO＝eq\f(\r(6),6)a，于是OD＝eq\f(1,3)×AB×sin60°＝eq\f(\r(3),6)a，从而SD＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))2)＝eq\f(a,2)，故三棱锥的外表积S＝3×eq\f(1,2)×a×eq\f(a,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a×a＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.11.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，那么所需纸的最小面积是________.答案：8三、解答题12.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，求正四棱锥的侧面积和外表积.解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.由于OE＝2，∠OPE＝30°，所以PE＝2OE＝4.因此S侧＝4×eq\f(1,2)PE×BC＝4×eq\f(1,2)×4×4＝32，S表＝S侧＋S底＝32＋16＝48.13.如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.解：如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF，∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝eq\f(1,2)V三棱锥C－ABE＝eq\f(1,2)V三棱锥E－ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)V四棱锥E－ABCD＝4.∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.14.正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积.解：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，那么O1O为正四棱台的高，那么O1O＝12.连接OE，O1E1，那么OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.过E1作E1H⊥OE，垂足为H，那么E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，所以E1E＝3eq\r(17).所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积.解：如下图，连接AB1，AC1.设AA1＝h，由于B1E＝CF，所以梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又由于四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，所以VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝eq\f(1,2)VA－BB1C1C.又VA－A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h