必修二 立体几何复习经典例题

一判两平的法、平于同一直线两条直线互相平行、垂于同一平面两条直线互相平行、如一条直线和个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、如两个平行平同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行、在一平面内的条直线，可依据平面几何的定理证明二判线平的法、据义：如果一直线和一个平面没有公共点、如果平面外的一直这平一条直线平行，则这条直线和这个平面平行、两平行，则其一个平面内的直线必平行于另一个平面、平外的两条平直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面、平外的一条直和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三判面平的法、定义：没有公共点、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行垂于同一直线的两个平面平行、平行于同一平面的两个平面平行四面平的质、两平行平面没有公共点、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行、垂于两平行平中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五判线垂的法、定：如果一条线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直、如一条直线和个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直、如两条平行直中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面、一直线垂直于个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面、如两个平面垂，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面、如两个相交平都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六判两垂的法、定：成

90

角、直和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直、在面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条线垂直、在面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的影垂直、一直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七判面垂的法、定：两面成直二面则两面垂直、一平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八面垂的质、二角的平面角为

901

、在个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面、相平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九各角范、异面直线所成的角的取值范围是：

0

、直线与平面所成的角的取值范围是：、斜线与平面所成的角的取值范围是：

00

、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：

0

十三形心、、、、

内心：内切圆的圆心，角平分线的交点外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点重心：中线的交点垂心：高的交点【题析例2在棱锥P－中底面ABCD是行四边形，，N分是AB，PC的点，求证：∥面．【析要证明“线面平行通“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构(添加中位线辅助证明．证：法一，取PD中E，连接AENE．∵底面ABCD是行四边形，分是，的点，∴MA，

MA

12

.∵是PD的点，∴∥CD，

NE

12

∴MA，＝NE，∴是行四边形，∴∥．又平PAD，MN平，∴∥面．方法二取中点F连接MF．2

∵∥，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD∴∥面．【述关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：∥c，∥c，

∥，

β

∥

⊥，⊥α＝

∩＝，

∥

∥

∥

∥(2)证明线面平行：∩＝

∥

∥，

β

∥

aα

∥(3)证明面面平行：α＝

∥，∥aα∩b＝A

aα，⊥α∥

，∥

αβ

αβ

α∥

αβ例3在三棱柱－A中，AA＝AC，⊥，求证A⊥BC．111【析要证明“线线垂直通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明垂1于经过的面即可．1证：接AC．1∵ABC是直三棱柱，1∴AA⊥面ABC1∴ABAA．1又⊥，∴AB平面A，1∴CB①1又AC1∴侧面ACC是正方形，11∴C．1由①，②得C平面ABC，11∴C．1【述空间中直线平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及⊥”都要其向“线面垂直”进行转化．3

例4在棱锥P－面PAB⊥平面⊥AP⊥PB证面⊥平面．【析要证“面直“面垂直进转化“面垂直又以通过“线线垂直”进行转化．证：∵平面PAB平面，平面∩平面ABC＝AB，且⊥，∴⊥平面，∴AP．又⊥PB，∴AP平面PBC

可又

平面PAC，∴平面PAC平面PBC【述关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：⊥c，∥c，

⊥

α

⊥

a(1)证明线面垂直：⊥，a⊥m，n，∩n＝A

∥，b⊥∥，⊥α⊥，∩＝l，al

⊥

aα

⊥

⊥(1)证明面面垂直：⊥，

αβ例5如，在斜三棱柱ABC－C中，侧面是形，且垂直于底面ABC11∠＝°，，分是BC的点．1(Ⅰ)求证：直线∥面AACC；14

11(Ⅱ)在线段AB上定一点，使平面EFG平面ABC，并给出证明．证：Ⅰ)连接A，A．1∵侧面是形，E是的中点，111∴也AB的点，1又F是BC的点，∴EFAC．1∵C平面AACC面AACC，111∴直线∥面．1BG1(2)解：当时平面EFG⊥平面ABC，证明如下：GA连接EG，FG∵侧面是形，且A＝°，∴eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)AB是边三角形．1111BG1∵是A的中点，，EG．GA3∵平面⊥面，平面A∩面＝AB1111∴EG⊥平面ABC．又EG平面EFG∴平面EFG平面ABC．例6如，正三棱柱ABC－BC中，E是AC的点11(Ⅰ)求证：平面BEC⊥面ACC；(Ⅱ求证AB∥面．1111【析本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图种况下对空间想象力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．证：Ⅰ)∵ABCAB是正三棱柱，AA⊥面，11∴BEAA．1∵△正三角形，是的点，∴⊥，∴BE平面ACCA，1面，1

平∴平面⊥平面ACC．1(Ⅱ)证明：连接C设BCCD．11∵BCC是形，D是BC的点，∴DE．1又DE面BEC，面BEC，111∴AB∥面BEC．11例7在棱锥P－中平面⊥面，∥，△PAD等边三角形，已知BD＝，

2DC

．5

222222(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面；(Ⅱ)求四棱锥－的积．【析本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M是上的动点分析知，，随M的变动而运动，因此可考虑平面MBD“不动”的直线BD是垂直平面PAD．证：Ⅰ)在△中由于AD＝，＝，

5

，所以AD

＋＝AB

．故AD．又平面PAD平面，面PAD∩平面＝ADBD所以BD⊥平面PAD，又BD面MBD，故平面MBD平面PAD(Ⅱ)解：过作POAD，由于平面PAD平面ABCD，所以⊥平面ABCD因此四棱锥P－的，

平面，又△是长为4的边三角形．因此

PO

32

23.在底面四边形中∥，AB＝2DC，所以四边形是形，在eq\o\ac(△,Rt)ADB中斜边AB边的为梯形ABCD的，

8

，即为所以四边形的积为

S

2525

故

P

133如图4,边长为的等边三角形ABC中DE分别是AB上的,AD,F是的点,AF与DE于点G,将沿AF折,得到图5所的三棱锥A

,其中

22

.(1)证:DE//面;6

ABCF也成立,平面,平面,平面;A,ABCF也成立,平面,平面,平面;A,(2)证:

平面

;(3)当

时求棱锥

FDEG

的体积

V

FDEG

.

AG

D

G

E

F

B

F图

C

图

【答案(1)在边三角

形

ABC

中

ADAEADDB

,在折叠后的三棱锥中DE//DEBCFBCBCF//(2)在等边三角形中F是BC的点所以AFBC,

CF

12

.

在三棱锥中

22

BF

CF

BF

②BF平面ABF

;(3)由(1)可知

GE//

,结合2)可

面

.VDEG

EDFG

11323如，四棱锥P—中ABCD为形，△PAD为等腰直角三角形，°面⊥面ABCD且AD=2，、分为和BD中点．（1证明EF∥面PAD（2证明：面PDC面；（3求四棱锥—的积．如，连接AC∵为矩形且F是BD的点，∴经过1分7

又是PC的点，所以，∥2分∵EF在PAD外面内，EF∥面PAD（2∵面PAD面ABCD，，面PAD

面ABCD=AD，⊥面PAD，又

面，∴⊥又∵⊥PD，CD相交直线⊥面又面，以面PDC⊥面PAD（3取AD中为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD及PAD为腰角三角形，所以PO⊥ABCD即为棱锥—高∵，PO=1所以四棱锥P—ABCD的积

12PO33如，三棱柱ABCABC中，侧棱垂直底面，ACB=90°，AC=BC=AAD是112AA的中点1(Ｉ证明：平面⊥平面BDC1（Ⅱ）平面BDC分棱柱为两部分，求这两部分体积的1【析题设知BC⊥

,BC⊥ACCCAC1

,∴

面

1