知识讲解-简单的三角恒等变换-基础

2简的角等换2【习标1．能用二倍角公式推导出半角正弦、余弦、正切公式；2．掌握公式应用的常规思路和本技巧；3．了解积化和差、和差化积公的推导过程，能初步运用公式进行互化；4．通过运用公式进行简单的恒变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【点理要一升降幂（）公升幂公式：

1cos

，2sin

降幂公式：

2

121，2要诠：利用二倍角公式的等价变形：1cos

2

，

1cos

2cos2

2

进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要二辅角式．形

sinxx

的角数的形sin=

2

22

xcosx2

令

cos

，则sin=a

2

2

xsin

=

a

（其中

角所在象限由

,b

的符号确定，

角的值由

t

ba

确定，或由

和cos

2

共同确定．辅角式解中应通过应用公式

sinx

=

a

（或

sinx

a

2

将形如sin

（

b

不同时为零）收缩为一个三角函数

ax（a22

种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数做有于函数式的化简、求值等．【型题

类一利公对角数进证例1．求证：

tan

2

sin11sin

【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中与【证明】

之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明．方法一：

cos

sin

tan

2sincossin2sin

sin

方法二：

tan

sin22coscos2

sintan

sin

sin

【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函式不仅会有结构形式方面的差异而还会有包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异此角等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系以此为依据选择可以联系它们的适当公式是角恒等变换的重要特点．举反：【变式1】求证：

sin

tan

tan22【证明】sin

2sin2

sin

tantan

tan

2sin22cos212

．

例．

求证1

12

(2)

xy2cos

xy22【思路点拨）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后【证明】

即可得证．（1

cos(cos

①又

cos(

cos

sin

②

①②得

12结论得证．（2

cos(

cos

sin

①又

cos(

cos

sin

②

①②得

12令

，则

x,2xcosxy2

xycoscosy2cos22结论得证．【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．举反：【变式】求证：

sin

22【证明】

cos

sin

sin(

cos

上面两式相加得：

sin(sin(2sin

cos

令

，则

2

,

2

2结论得证．【变式】求证：

tan

3xtan22

．

sincosx2tan2coscossincosx2tan2coscos【思路点拨】从除恒等式左右两边的差异入手，将右边的角

x，凑

3x，的式，注意到22x

3xxx，x22

，于是【证明】右边

x2sin2sinxxxx

3x3xx3xxx

左边．∴等式成立．【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．类二利公对角数进化例．已

32

简1sin

1sin

．【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等sin

sin

cos2

，于是利用此公式先化简．【解析】原式

sin

2

cos

2

sin

2

cos

2

，∵

322sin，242

，从而

sin

2

2

，

2

2

，∴原式

cos2222

2

．【总结升华局部（每个式子本身述解法是唯一解法但整体看两个根号里面的式子相加得，相乘得cos，此可以“先平方暂时掉根号”．意到

32

0，cos

，设x

，则x＜，则

2

1sin

2

，又

342

，故

sin

2

，从而

x2cos

2

．举反：【变式】化简

111cos2222

．

【解析】∵

2

,2

，∴cos＞，由二倍角公得

11cos2cos22

，∴原式

12

，又

2

4

,

，∴

2

，从而

11cos2

2

．即原式

sin

2

．类三利公进三函式求例2015湖南阳期末）已知的值；（1求

s

14

，（2求

cos(cos

的值．15【答案））16【解析】由已知

14

，所以

sin

14

，（1

cos2

11616

；（2

cos(cos(cos(

oc1)

cs

cs1cos

1o

21

．16举反：【变式】已知sin－siny＝－

23

2，cos－cos＝，，为角，则sin(＋)的值(3

)A．1．1C.

13

D.

12【答案】【解析】∵sin－sin＝－

23

2，－cos＝，式相加得：sin＋cos＝y＋y3∴sin2＝sin2.又∵、均锐角，∴2＝－，∴＋＝

2

，＋＝

【变式江模拟角α终边逆时针旋转

6

与单位圆交于点

(

3,)．10105（1求

sin(2

6

)

的值，（2求

3

)

的值．33【答案））10【解析）α终边逆时针旋转与位圆交于点6

310(,)1010

，可得

sin(

6

)

10,cos()106310)2sin()361010

，3104))23105

．)sin(2)sin(2cos(2)6333341335510（2∵

25

，∴

tan(

)

．si

4)23353

)tan(2tan(2))]33

(tan)tan(2)

解得

)3144

．类四三恒变的合用【清目简的角等换401793例2例．求函数

yxxsinxcosx

；

x

3,4

]

的值域

【思路点拨

sinxcos则

x

t

然把y转为关于t的次函数用配方法求y的最值．【解析】设

sincos,

,42t2(xcos)2x)24又

x42

，t2又

2sincos

，xcosx

t2则

y

t

2

1t2=

12

t

当t时，y

min

12当

t

时，

y

,1【总结升华】本题给出了

in

三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了

in

2

这个隐含条件．举反：【变式1安徽模拟）已知函数

f()cos

2

xxxx)

的图象经过点

M(

1,)8

，其中常数∈．（1求a的及函数（）的最小正周期；（2当

x

3,84

]

时，求函数f）的最值及相应的．【思路点拨】首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求期及最值．【答案）

2x

4

，即

x

8

时，

f(x)min

122

；当

2x

7，4

时，

f(x)【解析

f()

xa2cossin由数（x的象经过M()2222知道