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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色
字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.根据下面表格中的对应值:
X3.243.253.26
ax2+bx+c-0.020.010.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(aWO)的一个解x的范围是()
A.x<3.24B.3.24<x<3.25C.3.25<x<3.26D.x>3.26
2.如图,在AABC中,DE〃FG〃BC,且AD:AFsAB=1:2:4,则SAADESS四边形DFGE:S四边形FBCG等于(
A.1:2:4B.1:4:16C.1:3:12D.1:3:7
3.方程(x+1)2=4的解是()
====
A.Xi=-3,X2=3B.XI=-3,x2=lC,Xj-1,X2lXil,X23
4.如图,重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮,号称“重庆之限”.摩天轮是一个圆形,直径AB垂直水平地
面于点C,最低点B离地面的距离BC为1.6米.某天,妈妈带着洋洋来坐摩天轮,当她站在点D仰着头看见摩天轮
的圆心时,仰角为37。,为了选择更佳角度为洋洋拍照,妈妈后退了49米到达点D,,当洋洋坐的桥厢F与圆心O在
同一水平线时,他俯头看见妈妈的眼睛,此时俯角为4Z1,已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米,妈妈两次所处的位
置与摩天轮在同一平面上,则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是()
(参考数据:sin37no.60,tan37no.75,sin42"M.67,tan42°«0.90)
A.118.8米B.127.6米C.134.4米D.140.2米
5.如图,AB〃CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是()
A.4B.3C.2D.1
6.如图,将AA5C放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上,贝!11
43
A.2B.-C.1D.-
34
7.已知RtAABC中,NC=90。,AC=2,BC=3,则下列各式中,正确的是()
222
A.sinB=—;B.cosB=-;C.tan8=-;D.以上都不对;
333
8.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a和)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=L点B坐
标为(-1,0),则下面的四个结论,其中正确的个数为()
①2a+b=0②4a-2b+c<0③ac>0④当y>0时,-l〈x<4
A.1个B.2个C,3个D.4个
9.如果两个相似三角形对应边之比是1:3,那么它们的对应中线之比是()
A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9
10.如图,PA、PB是。O的切线,切点分别为A、B,若OA=2,NP=60。,则AB的长为()
a
245
A-“c*一江D.-7T
33
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图,圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面圆心的截面)是边长为4cm的等边三角形JBC,点D是母线的中点,
一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处,则这只蚂蚁爬行的最短距离是,
12.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20000元,到2018
年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为.(用百分数表示)
13.m、n分别为的一元二次方程Y一4无一1=()的两个不同实数根,则代数式加?一4m+〃7〃的值为
14.已知,",〃是一元二次方程Y一2x-3=()的两根,则〃2+〃+7加=.
15.如图,直线y=x+l与抛物线y=V-4x+5交于A,B两点,点P是)'轴上的一个动点,当AR4B的周长最小
16.二次函数y=ax2+bx+cb,c为常数,且a*0)中x与y的部分对应值如下表
X-1013
y-1353
那么当x=4时,J的值为.
17.在AABC中,NAC8=9(T,点。、E分别在边BC、AC上,4C=3A£,NCDE=45°(如图),ADCE沿
直线。石翻折,翻折后的点。落在AABC内部的点尸,直线AE与边8c相交于点G,如果5G=AE,那么
tanB-.
18.如图,RtAABC中,ZC=90°,若AC=4,BC=3,则△ABC的内切圆半径r=
三、解答题(共66分)
19.(10分)已知:二次函数y=x2+bx+c经过原点,且当x=2时函数有最小值;直线AC解析式为y=kx-4,且与抛物
线相交于B、C.
(1)求二次函数解析式;
(2)若SAAOB:SABOC=1:3,求直线AC的解析式;
(3)在(2)的条件下,点E为线段BC上一动点(不与B、C重合),过E作x轴的垂线交抛物线于F、交x轴于G,
是否存在点E,使△BEF和4CGE相似?若存在,请求出所有点E的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(6分)已知:如图,在A43C中,AB=AC,点E分别在边BC、OC上,AB2=BEDC,DE:EC=3:l,尸是
边AC上的一点,DF与AE交于点G.
(1)找出图中与△4。相似的三角形,并说明理由;
(2)当O/平分NAZJC时,求。G:O尸的值;
(3)如图,当/A4c=90。,且。尸,AE时,求Z)G:OF的值.
A
21.(6分)受益于国家支持新能源汽车发展和,一带一路”发展战略等多重利好因素,我市某汽车零部件生产企业的利
润逐年提高,据统计,2014年利润为2亿元,2016年利润为2.88亿元.
(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率;
(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2017年的利润能否超过3.4亿元?
22.(8分)已知抛物线y=o?+--4经过点A(2,0),8(-4,0),与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图,点/,是第三象限内抛物线上的一个动点,求四边形4BPC面积的最大值.
23.(8分)如图,在边长为2的正方形ABC。中,点。是射线BC上一动点(点P不与点B重合),连接AP、DP,
点E是线段AP上一点,且NADE=NAPD,连接BE.
(1)求证:AD?=AE.AP;
(2)求证:BEtAP;
(3)直接写出笔的最小值.
3o
24.(8分)如图,已知直线了=一片+3与x轴交于点B,与)'轴交于点C,抛物线.丫=G:2+笈+3经过3、C两点
并与x轴的另一个交点为4,且OC=3OA.
(1)求抛物线的解析式;
9
(2)点火为直线8。上方对称轴右侧抛物线上一点,当△/SC的面积为二时,求R点的坐标;
2
(3)在(2)的条件下,连接CR,作MLt轴于“,连接C〃、AC,点尸为线段CR上一点,点。为线段CH上
一点,满足QH=OCP,过点P作交x轴于点E,连接EQ,当NPEQ=45。时,求CP的长.
25.(10分)为了“城市更美好、人民更幸福”,我市开展“三城联创,祖动,环卫部门要求垃圾按AB,C三类分别装
袋、投放,其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料、废纸等可回收垃圾,
甲、乙两人各投放一袋垃圾.
(1)甲投放的垃圾恰好是C1类的概率是;
(2)用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率.
26.(10分)如图,已知一次函数'=一%+3分别交队y轴于4、B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过^两点,与
图2
(1)求。、c的值及点C的坐标;
(2)动点尸从点。出发,以每秒1个单位长度的速度向点A运动,过尸作x轴的垂线交抛物线于点。,交线段A8
于点E.设运动时间为f(Z>0)秒.
①当f为何值时,线段OE长度最大,最大值是多少?(如图1)
②过点。作0尸,48,垂足为F,连结80,若△80C与△8。尸相似,求f的值.(如图2)
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据表中数据可得出ax2+bx+c=0的值在-0.02和0.01之间,再看对应的x的值即可得.
【详解】•.,*=3.24时,ax2+hx+c=-0.02;x=3.1时,ax2+/>x+c=0.01,
关于X的方程4*2+以+c=o(分0)的一个解X的范围是3.24<XV3.L
故选:B.
【点睛】
本题考查了估算一元二次方程的近似解:用列举法估算一元二次方程的近似解,具体方法是:给出一些未知数的值,
计算方程两边结果,当两边结果愈接近时,说明未知数的值愈接近方程的根.
2、C
【分析】由于DE〃FG〃BC,那么△ADE-ZiAFG~ABC,根据AD:AF:AB=1:2:4,可得出三个相似三角形的
面积比,进而得出△的£、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.
DE//FG//BC
【详解】.,.△AOE〜ZWG〜4ABC
AD:AF:AB=1:2:4
•,SAADE:S“FG:SNBC=1:4:16
设△ADE的面积为a,则4AFG和△ABC的面积分别是4a、16a;
贝!IS四边形.GE和S四边形FBCG分另U是3a、12a;
则SAADE:S四边监DFGE:SHa»FBCG=Is3:12
故选C.
【点睛】
本题主要考察相似三角形,解题突破口是根据平行性质推出△ADE~4AFG~ABC.
3、B
【解析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案.
【详解】(x+1)占4
则x+l=±2,
解得:xi=-l-2=-3,X2=-1+2=1.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了直接开平方法解方程,正确开平方是解题关键.
4、B
【分析】连接EB,根据已知条件得到E',E,B在同一条直线上,且E'B±AC,过F做FH_LBE于H,则四边形
BOFH是正方形,求得BH=FH=OB,设AO=OB=r,解直角三角形即可得到结论.
【详解】解:连接EB,
VDE,=DE=BC=1.6
AESE,B在同一条直线上,且E,BJ_AC,
过F做FH_LBE于H,
则四边形BOFH是正方形,
,BH=FH=OB,
设AO=OB=r,
AFH=BH=r,
VZOEB=37°,
tan37°=-----=0.75,
BE
4
,BE=-r,
3
1
/.EH=BD-BH=-r,
,:EE,=DD,=49»
1
•,.E,H=49+-r,
;NFE'H=42°,
FH=―^--=0.9
tan42°=E'H
49+-r
3
解得r=63,
:,AC=2x63+1.6=127.6米,
故选:B.
【点睛】
本题考查了解直角三角形一仰角与俯角问题,正方形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
5^D
【详解】连接DE并延长交AB于H,
:CD〃AB,AZC=ZA,ZCDE=ZAHE.
TE是AC中点,.,.DE=EH./.△DCE^AHAE(AAS).
.•.DE^HE,DC=AH.
;F是BD中点,.♦.EF是△DHB的中位线..\EF=^BH.
BH=AB-AH=AB-DC=2.AEF=2.故选D.
6、B
【分析】在直角三角形ACD中,根据正切的意义可求解.
【详解】如图:
一-AD4
在RtACD中,tanC=5石=~.
故选B.
【点睛】
本题考查了锐角三角比的意义.将角转化到直角三角形中是解答的关键.
7、C
【分析】根据勾股定理求出AB,根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值,即可得出答案.
【详解】如图:
由勾股定理得:AB=VAC2+BC2=>/22+32=Vi3,
所以cosB=gg=MI,sinB=4G=&叵,tanB=-=-,所以只有选项C正确;
AB12AB13BC3
故选:C.
【点睛】
此题考查锐角三角函数的定义的应用,能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键.
8、B
【分析】①函数对称轴为:x=-丁=1,解得:b=_2a(即可求解;②x=-2时,y=4a-2b+c<0,即可求解;③a
2a
<0,c>0,故ac〈O,即可求解;④当y>0时,-l〈x<3,即可求解.
【详解】点B坐标为(-1,0),对称轴为x=l,则点A(3,0),
b
①函数对称轴为:x=-丁=1,解得:b=-2a,故①正确,符合题意;
2a
②x=-2时,y=4a-2b+c<0,故②正确,符合题意;
③a<0,c>0.故ac〈O,故③错误,不符合题意;
④当y>0时,-lVx<3,故④错误,不符合题意;
故选:B.
【点睛】
本题考查二次函数图像问题,熟悉二次函数图形利用数形结合解题是本题关键.
9、A
【解析】•••两个相似三角形对应边之比是1:3,
...它们的对应中线之比为1:3.
故选A.
点睛:本题考查相似三角形的性质,相似三角形的对应边、对应周长,对应高、中线、角平分线的比,都等于相似比,
掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.
10、C
【解析】试题解析:•••,%、P5是。。的切线,
/.NOBP=NOAP=90。,
在四边形APBO中,NP=60。,
:.NAO8=120°,
,/0A=2,
,,〜120万x24
..AB的长/=----------71.
1803
故选C.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2v5
【详解】解:•.•圆锥的底面周长是4?r,贝!14k,
ISO
n=180。即圆锥侧面展开图的圆心角是180。,
,在圆锥侧面展开图中AD=2,AB=4,NBAD=90。,
在圆锥侧面展开图中BD=V20=2v51
,这只蚂蚁爬行的最短距离是2%5«n.
故答案为:2、,弓.
12、40%
【解析】设该地区居民年人均收入平均增长率为%,根据到2018年人均年收入达到39200元列方程求解即可.
【详解】设该地区居民年人均收入平均增长率为X,
20000(1+%)2=39200,
解得,玉=0.4,々=-2.4(舍去),
:.该地区居民年人均收入平均增长率为40%,
故答案为:40%.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用一增长率问题;本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为。(1+©"=6,其中〃为
共增长了几年,a为第一年的原始数据,%是增长后的数据,x是增长率.
13、1
【分析】由一元二次方程的解的定义可得则m2-4m=L再由根于系数的关系可得mn=-l,最后整体代入即
可解答.
【详解】解:•••!《、n分别为的一元二次方程/一41一1=0
/•m+n=4,mn=-l,m2-4m-l=l,
:.m2-4m=l
:.nr-4m+mn=1-1=1
故答案为1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系,其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键.
14、-1
【分析】根据根与系数的关系求出m+n与mn的值,然后代入%+〃+加〃计算即可.
【详解】•••机,〃是一元二次方程/一2%-3=0的两根,
m+n=2»mn=-3.
:.m+n4-mn=2-3=-l.
故答案为:-1.
【点睛】
本题考查了一元二次方程如2+必+0=0(时0)根与系数的关系,若©,必为方程的两个根,则xi,应与系数的关系式:
【分析】根据轴对称,可以求得使得的周长最小时点尸的坐标,然后求出点尸到直线AB的距离和的长度,
即可求得AR48的面积,本题得以解决.
y-x+\
【详解】联立得.
——4x+5
x=1fx=4
或1
解得,J=21y=5
.•.点A的坐标为(L2),点8的坐标为(4,5),
/.AB='(5-2)2+(4_1『二台五,
作点A关于)'轴的对称点A',连接A3与)'轴的交于P,则此时APAB的周长最小,
点A'的坐标为(一1,2),点8的坐标为(4,5),
设直线A'B的函数解析式为>=丘+。,
[k+b=2,得5,
4Z+8=5,13
'b=—
5
313
二直线A'B的函数解析式为y=《*+',
13
当x=0时,y=—»
即点P的坐标为(0,葭}
将x=0代入直线y=x+l中,得y=l,
•.♦直线y=x+l与丁轴的夹角是45。,
.•.点P到直线A8的距离是:(2―11•45。=§*也=逑,
L5)525
FT4及
...的面积是:V5_12(
2
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的
思想解答.
16、—1
【分析】将表中数值选其中三组代入解析式得方程组,解方程组得到函数解析式,再把x=4代入求值即可.
【详解】解:将表中数值选其中三组代入解析式得:
a-h+c=-1
c=3
a+〃+c=5
a=-\
解得:卜=3
c=3
所以解析式为:y=—/+3尤+3
当x=4时,y=—42+3x4+3=—1
故答案为:・1
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.
3
17、-
7
【分析】设AE=3G=k,AG=3k(kwO),可得EC=2k,由折叠的性质可得防=EC=2k,
AEEF1
/FED=/DEC=45。,根据相似三角形的性质可得F===:,即GC=3防=6k,即可求tanB的值.
ACGC3
【详解】根据题意,标记下图
ZACB=90°,NCDE=45。
:."EC=45。
VAC=3AE
.•.设AE=BG=k,AG=3k(krO)
:.£C=2k
•••ADEF由△COE折叠得到
:.EF=EC=2k,/FED=/DEC=45。
:.NFEC=90。,且ZAC3=90°
/.EF//BC
:.△AEF^/\ACG
._A__E___E_F__—1
"AC~GC~3
:.GC=3M=6k
BC=BG+GC=7k
3
故答案为I.
【点睛】
本题考查了三角形的折叠问题,理解折叠后的等量关系,利用代数式求出tanB的值即可.
18、1
【解析】如图,设△ABC的内切圆与各边相切于D,E,F,连接OD,OE,OF,
则OE±BC,OF±AB,OD±AC,
设半径为r,CD=r,
VZC=90",ACM,BC=3,
,AB=5,
.,.BE=BF=3-r,AF=AD=4-r,
.*.4-r+3-r=5,
r=l.
AAABC的内切圆的半径为1,
故答案为1.
三、解答题(共66分)
19-.(1)y=x2_4x;(2)直线AC的解析式为y=x14;(1)存在,E点坐标为E(LT)或E(2,~2).
【分析】(1)根据二次函数y=x2+bx+c经过原点可知c=0,当x=2时函数有最小值可知对称轴是x=2,故可求出b,即
可求解;
(2)连接OB,OC,过点C作CDJ_y轴于D,过点B作BE_Ly轴于E,根据=J得到段=:,警=:,
,ACOB33AC4
BEAB1
由EB〃DC,对应线段成比例得到="再联立y二kx-4与y=x2・4x得到方程kx-4=x2-4x,即x2-(k+4)x+4=0>
求出XI,X2,根据XI,X2之间的关系得到关于k的方程即可求解;
(1)根据(1)(2)求出A,B,C的坐标,设E(m,m-4)(l〈m<4)则G(m,0)、F(m,m2-4m),根据题意分NEFB=90。
和NEBF=90。,分别找到图形特点进行列式求解.
【详解】解:(1)•.•二次函数y=x2+bx+c经过原点,
:•c=0
•.•当x=2时函数有最小值
b
----=2,
2x1
;・b=4c=0,
:.y=x2-4x;
(2)如图,连接OB,OC,过点C作CD_Ly轴于D,过点B作BE_Ly轴于E,
q3
AB
~BC~3
AB_1
~AC~4
EB/7DC
BE_AB
ZB-AC-4
y=kx-4交y=x2-4x于B、C
kx-4=x2-4x,BPx2-(k+4)x+4=0
Z+4+J&2+8:k+4-yJk2+8k
X=---------------,或X=-------------
22
XB<XC
.m&+4—VP+8&〜、&+4+VF+8&
..EB=XB=-------------------,DC=xc=------------------------
22
.k+47k2+8k1+4+5/42+8%
••4e-----------------------=------------------------
22
解得k=9(不符题意,舍去)或k=l
:.k=l
,直线AC的解析式为y=x4
(1)存在.理由如下:
由题意得NEGC=90。,
V直线AC的解析式为y=x-4
,A(0,-4),C(4,0)
y=x2-4xfx=4fx=l
联立两函数得厂,,解得八或c
y=x-4[y=°[y=-3
AB(1,-1)
设E(m>m-4)(l<m<4)
则G(m,0)、F(m,m2-4m)
①如图,当/EFB=90。,即CG〃BF时,ABFEs/^CGE.
此时F点纵坐标与B点纵坐标相等.
AF(m,-1)
2
即m-4m=-l
解得m=l(舍去)或m=l
AF(1,-1)
故此时E(11-1)
②如图当NEBF=90。,△FBE^ACGE
VC(4,0),A(0,4)
/.OA=OC
:.NGCE=45°=ZBEF=ZBFE
过B点做BH±EF,
则H
又VNGCE=45°=ZBEF=ZBFE
BEF是等腰直角三角形,又BH_LEF
/.EH=HF,EF=2BH
(m-4)-(m2-4m)=2(m-l)
解得mi=l(舍去)m2=2
•••E(2,-2)
综上,E点坐标为E(L-1)或E(2,-2).
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像及几何综合,解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例、相似三
角形及等腰三角形的性质.
20、(1)AABE、AADC,理由见解析;(2)—;(3)2亚
24
【分析】(1)根据相似三角形的判定方法,即可找出与△4。相似的三角形;
(2)由相似三角形的性质,得当="=要,由DE>3CE,先求出AD的长度,然后计算得到名;
DFADCDDG
ADAE
()由等腰直角三角形的性质,得至然后证明△得到一=不;,求出
3IJ/DAG=NADF=45°,ADEsaDFA,DFADDF
DF
的长度,即可得到
DG
【详解】解:(1)与△ACD相似的三角形有:AABE、△ADC,理由如下:
":AB2=BE-DC,
BEAB
~AB~~DC
VAB=AC,
BEAC
NB=NC,-----=—->
ABDC
/.△ABE^ADCA.
:.ZAED=ZDAC.
VZAED=ZC+ZEAC,ZDAC=ZDAE+ZEAC,
AZDAE=ZC.
/.△ADE^ACDA.
(2)VAADE^△CDA,Z)尸平分ZADC,
DGDEAD
♦•而一茄一而,
设CE=a,则DE=3CE=3a,CD=4a,
=——<解得A£>=20a(负值已舍)
AD4a
.DFAD2氐6
'*DG~CD~4a2
(3)VZBAC=90°,AB=AC,
/.ZB=ZC=45°,
,NDAE=NC=45。,
TDGJLAE,
:.NDAG=NADF=45。,
/.AG=DG=-----AD=------2s/3ci=y/6ci>
22
:.EG=^DE2-DG2=Ca,
VZAED=ZDAC,
/.△ADE^ADFA,
.ADAE
•・而一耘’
Ar\2
;.DF=---=4(76-73)a,
AE
.DG_2+V2
••=•
DF4
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理,解题的关键是熟练掌握相似三角形
的判定和性质,正确找出证明三角形相似的条件.
21、(1)20%;(2)能.
【分析】(1)设年平均增长率为x,则2015年利润为2(l+x)亿元,则2016年的年利润为2(l+x)(l+x),根据2016年
利润为2.88亿元列方程即可.
(2)2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x),据此计算即可.
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意,得2(1+X)2=2.88,
解得XI=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意,舍去).
答:该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率,那么2017年该企业年利润为2.88x(l+20%)=3.456(亿元),因为
3.456>3.4,
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用--增长率问题,根据题意寻找相等关系列方程是关键,难度不大.
1,
22>(1)y=—x-+x-4t(2)1
【分析】(1)将A(2,0),8(T,0)代入抛物线中求解即可;
(2)利用分割法将四边形面积分成5MOC+S&0CP+S&OBP,假设P点坐标,四边形面积可表示为二次函数解析式,再
利用二次函数的图像和性质求得最值.
【详解】解:⑴•••抛物线了=加+公一4经过点A(2,0),B(-4,0),
rf1
4。+2力-4=0a=—
,《,解得)29
16。-4人-4二0.
i[7b=1
1、
2
・•・抛物线的解析式为y=-x^x-4f
(2)如图,连接OP,设点「卜,;/+%一41,
-4<x<(),四边形43PC的面积为S,
由题意得点C(0,T),
S=S.oc+S^OCP+SdOBP
1…14/、1/
=—x2x4+—x4x(-x)+—x4xl--X2-X+4
2
—4—2x—一2x+8
--X2-4x+12
=-U+2)2+16,
.•.开口向下,S有最大值,
...当%=-2时,四边形4BPC的面积最大,最大值为1.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、分割法求面积、二次函数的图象及性质的应用,比较综合,是中考中的常
考题型.
23、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)与的最小值为叵口
AP2
Ar)Ap
【分析】(1)由/"/>=/丛。,24£比=//花。得出丫4)「:NAED,进而得出一=—,即可得出
AEAD
AD2=AEAPi
AHAP
(2)首先由正方形的性质得出,AB=AD,ZABC=90°,然后由Q)中结论得出丁二不,进而即可判定
AEAB
NABP:NAEB,进而得出BE_LAP.
DpDE
(3)首先由(1)中VAOP:VAED得出二=然后构建圆,找出DE的最小值即可得解.
APAD
【详解】(1)QNZMP=ZEAT>,ZA£>£=ZAPO
:.^ADP~^AED
.ADAP
"~AE~~AD
:.AD2^AEAP
(2)•.•四边形ABC。是正方形
AB=AD,ZABC=90°
2
由(1)知AD^AEAP
,2ABAP
AB^AEAP>■—~AB
又Q4BAP=ZEAB,
.NABP-.NAEB
:.ZAEB^ZABP=90°
:.BE工AP.
(3)由(1)中V4)P:NAED,得
DPDE
~AP~~AD
若使彳有最小值,则DE最小,由(2)中BELAP,点E在以AB为直径的圆上,如图所示
,DE最小值为DO-OE=y/o^+AD2-OE=712+22-1=石一1
••—T的最小值为------
AP2
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质,以及动点综合问题,解题关键是找出最小值.
398
24、(3)y=X2H—X+3;(3)R(3,3);(3)3或彳.
-443
【分析】(3)求出4、B、C的坐标,把4、8的坐标代入抛物线解析式,解方程组即可得出结论;
39
(3)设R(f,—/+—f+3).作RK_Ly轴于K,RWJLx轴于W,连接。R.
44
根据S△期c=S四边形RCO5—=S&RCO+SAROB—SdcoB计算即可;
(3)在R"上截取RM=OA,连接CM、AM,AM交PE于G,作QF_L08于H.分两种情况讨论:①点E在尸的左
边;②点E在尸的右边.
【详解】(3)当x=0时产3,
:.C(0,3),
,OC=3.
•:OC=3OA,
:.OA=3,
:.A(-3,0).
当j=0时x=4,
:.B(4,0).
3
0=。一8+3-4
把4、B坐标代入得解得:<
0=16。+48+39
b
4
39
抛物线的解析式为丁一丁、丁+3.
39
⑶设RG丁+产).
作RK_Ly轴于K,RW_Lx轴于W,连接OR.
1c139>1…
=—x3r+—x4xz(——12~+T+3)——x3x4
22442
=~t2+6t
2
・・s,
・VROB-2,
39
:•—产+6,=—,4=1(舍去),q=3,
22-
:・R(3,3).
(3)在RH上截取RM=OAf连接CM、AM94M交PE于G,作0口LOB于
分两种情况讨论:①当点E在尸的左边时,如图3.
:.ACRM乌ACOA,
:.CM=CA,NRCM=NOCA,
:・NACM=N0CR=9。。,
AZCAM=ZCMA=450.
9
:AC//PE9
:.ZCAM=ZAGE=45°.
•・・NPE0=45°,
・•・NAGE=NPEQ,
:.AM//EQ,
:.ZMAH=ZQEF.
9:ZQFE=ZMHA=9Q",
:.AQEF^AMAH9
.QF_EF
••丽一
:。4=3,0〃=3,MH=KH-RM=3-3=3,
:.AH=AO+OH=4,
:.EF=3QF.
设CP=m,
:.QH=42CP=y/2m,
VOC=OH,
:.ZOHC=45°,
,QF-FH-m,
:.EF=3m9
EH=3m.
VACPE为平行四边形,
:.AE=CP=m.
♦:EH=AH・AE=4.m,
:・31〃=4"〃,
m=3,
:.CP=3.
②当点E在尸的右边时,设AM交。E于N.如图3.
:.Z\CRM^ACOA,
:.CM=CA,NRCM=NOCA,
工NACM=NOCR=90°,
ZCAM=ZCMA=45°.
':AC//PE,
.•.ZC4Af=ZAGE=45°.
VZPEQ=45°,
/.ZAGE=ZPEQ=45°,
:.ZENG=ZENA=90°.
VZE2F+ZeEF=90°,NEAN+NQEF=90°,
:.NEQF=NMAB.
9:ZQFE=ZAHM=90°,
:.AQEF^AAMH9
.QF_EF
:.QF=3EF.
设CP=m,
:.QH=y/2CP=y/2m.
VOC=OH,
,NOHC=45°,
:.QF=FH=m,
1
:.EF=m,
2
1
:.EH=m・
2
•.•ACPE为平行四边形,
:•AE=CP=m.
";EH=AH-AE=4・m,
1
:.4-/w=-mf
0
综上所述:CP的值为3或,
【点睛】
本题是二次函数的综合题目,涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质,解答本题需要我们熟练各个知识
点的内容,注意要分类讨论.
12
25、(1)—;(2)三.
33
【分析】(1)一共有3种等可能的结果,恰为。类的概率是§
(2)根据题意列出所有等可能的结果数,然后根据概率公式求解.
【详解】(1)1
(2)
甲
ABc
乙
A(A,A)
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