广东省深圳某中学2022年数学九上期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.根据下面表格中的对应值：

X3.243.253.26

ax2+bx+c-0.020.010.03

判断关于x的方程ax2+bx+c=0（aWO）的一个解x的范围是（）

A.x<3.24B.3.24<x<3.25C.3.25<x<3.26D.x>3.26

2.如图，在AABC中，DE〃FG〃BC,且AD：AFsAB=1：2：4,则SAADESS四边形DFGE：S四边形FBCG等于（

A.1：2：4B.1：4：16C.1：3：12D.1：3：7

3.方程（x+1）2=4的解是（）

====

A.Xi=-3,X2=3B.XI=-3,x2=lC,Xj-1,X2lXil,X23

4.如图，重庆欢乐谷的摩天轮是西南地区最高的摩天轮，号称“重庆之限”.摩天轮是一个圆形，直径AB垂直水平地

面于点C,最低点B离地面的距离BC为1.6米.某天，妈妈带着洋洋来坐摩天轮，当她站在点D仰着头看见摩天轮

的圆心时，仰角为37。，为了选择更佳角度为洋洋拍照，妈妈后退了49米到达点D，，当洋洋坐的桥厢F与圆心O在

同一水平线时，他俯头看见妈妈的眼睛，此时俯角为4Z1,已知妈妈的眼睛到地面的距离为1.6米，妈妈两次所处的位

置与摩天轮在同一平面上，则该摩天轮最高点A离地面的距离AC约是（）

（参考数据：sin37no.60,tan37no.75,sin42"M.67,tan42°«0.90）

A.118.8米B.127.6米C.134.4米D.140.2米

5.如图，AB〃CD,E,F分别为AC,BD的中点，若AB=5,CD=3,则EF的长是()

A.4B.3C.2D.1

6.如图，将AA5C放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上，贝！11

43

A.2B.-C.1D.-

34

7.已知RtAABC中，NC=90。，AC=2,BC=3,则下列各式中，正确的是（）

222

A.sinB=—;B.cosB=-；C.tan8=-；D.以上都不对；

333

8.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a和）的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=L点B坐

标为（-1,0）,则下面的四个结论，其中正确的个数为（）

①2a+b=0②4a-2b+c<0③ac>0④当y>0时，-l〈x<4

A.1个B.2个C,3个D.4个

9.如果两个相似三角形对应边之比是1:3,那么它们的对应中线之比是（）

A.1:3B.1:4C.1:6D.1:9

10.如图，PA、PB是。O的切线，切点分别为A、B,若OA=2,NP=60。，则AB的长为（）

a

245

A-“c*一江D.-7T

33

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形JBC，点D是母线的中点，

一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是,

12.中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018

年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为.（用百分数表示）

13.m、n分别为的一元二次方程Y一4无一1=（）的两个不同实数根，则代数式加？一4m+〃7〃的值为

14.已知，"，〃是一元二次方程Y一2x-3=（）的两根，则〃2+〃+7加=.

15.如图，直线y=x+l与抛物线y=V-4x+5交于A，B两点,点P是）'轴上的一个动点，当AR4B的周长最小

16.二次函数y=ax2+bx+cb,c为常数，且a*0）中x与y的部分对应值如下表

X-1013

y-1353

那么当x=4时，J的值为.

17.在AABC中，NAC8=9（T,点。、E分别在边BC、AC上，4C=3A£,NCDE=45°（如图），ADCE沿

直线。石翻折，翻折后的点。落在AABC内部的点尸，直线AE与边8c相交于点G,如果5G=AE,那么

tanB-.

18.如图，RtAABC中，ZC=90°,若AC=4,BC=3,则△ABC的内切圆半径r=

三、解答题（共66分）

19.（10分）已知：二次函数y=x2+bx+c经过原点，且当x=2时函数有最小值；直线AC解析式为y=kx-4,且与抛物

线相交于B、C.

（1）求二次函数解析式；

（2）若SAAOB：SABOC=1：3,求直线AC的解析式；

（3）在（2）的条件下，点E为线段BC上一动点（不与B、C重合），过E作x轴的垂线交抛物线于F、交x轴于G,

是否存在点E,使△BEF和4CGE相似？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.

20.（6分）已知：如图，在A43C中，AB=AC,点E分别在边BC、OC上，AB2=BEDC,DE：EC=3：l,尸是

边AC上的一点，DF与AE交于点G.

（1）找出图中与△4。相似的三角形，并说明理由；

（2）当O/平分NAZJC时，求。G：O尸的值；

（3）如图，当/A4c=90。，且。尸，AE时，求Z）G：OF的值.

A

21.（6分）受益于国家支持新能源汽车发展和，一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利

润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元.

（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；

（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？

22.（8分）已知抛物线y=o?+--4经过点A（2,0）,8（-4,0）,与y轴交于点C.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，点/，是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形4BPC面积的最大值.

23.（8分）如图，在边长为2的正方形ABC。中，点。是射线BC上一动点（点P不与点B重合），连接AP、DP,

点E是线段AP上一点，且NADE=NAPD,连接BE.

（1）求证：AD?=AE.AP；

（2）求证：BEtAP；

（3）直接写出笔的最小值.

3o

24.（8分）如图，已知直线了=一片+3与x轴交于点B,与）'轴交于点C,抛物线.丫=G：2+笈+3经过3、C两点

并与x轴的另一个交点为4,且OC=3OA.

（1）求抛物线的解析式；

9

（2）点火为直线8。上方对称轴右侧抛物线上一点，当△/SC的面积为二时，求R点的坐标;

2

（3）在（2）的条件下，连接CR,作MLt轴于“，连接C〃、AC,点尸为线段CR上一点，点。为线段CH上

一点，满足QH=OCP,过点P作交x轴于点E,连接EQ,当NPEQ=45。时，求CP的长.

25.（10分）为了“城市更美好、人民更幸福”，我市开展“三城联创，祖动，环卫部门要求垃圾按AB,C三类分别装

袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收垃圾,

甲、乙两人各投放一袋垃圾.

（1）甲投放的垃圾恰好是C1类的概率是；

（2）用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率.

26.（10分）如图，已知一次函数'=一%+3分别交队y轴于4、B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过^两点，与

图2

（1）求。、c的值及点C的坐标;

（2）动点尸从点。出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，过尸作x轴的垂线交抛物线于点。，交线段A8

于点E.设运动时间为f（Z>0）秒.

①当f为何值时，线段OE长度最大，最大值是多少？（如图1）

②过点。作0尸，48,垂足为F,连结80,若△80C与△8。尸相似，求f的值.（如图2）

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、B

【解析】根据表中数据可得出ax2+bx+c=0的值在-0.02和0.01之间，再看对应的x的值即可得.

【详解】•.,*=3.24时，ax2+hx+c=-0.02;x=3.1时，ax2+/>x+c=0.01,

关于X的方程4*2+以+c=o（分0）的一个解X的范围是3.24<XV3.L

故选：B.

【点睛】

本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，

计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根.

2、C

【分析】由于DE〃FG〃BC,那么△ADE-ZiAFG~ABC,根据AD:AF:AB=1:2：4,可得出三个相似三角形的

面积比，进而得出△的£、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.

DE//FG//BC

【详解】.,.△AOE〜ZWG〜4ABC

AD:AF:AB=1：2：4

•,SAADE：S“FG：SNBC=1：4：16

设△ADE的面积为a,则4AFG和△ABC的面积分别是4a、16a;

贝！IS四边形.GE和S四边形FBCG分另U是3a、12a;

则SAADE：S四边监DFGE：SHa»FBCG=Is3:12

故选C.

【点睛】

本题主要考察相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出△ADE~4AFG~ABC.

3、B

【解析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案.

【详解】（x+1）占4

则x+l=±2,

解得：xi=-l-2=-3,X2=-1+2=1.

故选B.

【点睛】

此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键.

4、B

【分析】连接EB,根据已知条件得到E',E,B在同一条直线上，且E'B±AC,过F做FH_LBE于H,则四边形

BOFH是正方形，求得BH=FH=OB,设AO=OB=r,解直角三角形即可得到结论.

【详解】解：连接EB,

VDE,=DE=BC=1.6

AESE,B在同一条直线上，且E，BJ_AC,

过F做FH_LBE于H,

则四边形BOFH是正方形，

，BH=FH=OB,

设AO=OB=r,

AFH=BH=r,

VZOEB=37°,

tan37°=-----=0.75,

BE

4

，BE=-r,

3

1

/.EH=BD-BH=-r,

,:EE,=DD,=49»

1

•，.E,H=49+-r,

；NFE'H=42°,

FH=―^--=0.9

tan42°=E'H

49+-r

3

解得r=63,

:，AC=2x63+1.6=127.6米,

故选：B.

【点睛】

本题考查了解直角三角形一仰角与俯角问题，正方形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

5^D

【详解】连接DE并延长交AB于H,

：CD〃AB,AZC=ZA,ZCDE=ZAHE.

TE是AC中点，.,.DE=EH./.△DCE^AHAE（AAS）.

.•.DE^HE,DC=AH.

；F是BD中点，.♦.EF是△DHB的中位线..\EF=^BH.

BH=AB-AH=AB-DC=2.AEF=2.故选D.

6、B

【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解.

【详解】如图：

一-AD4

在RtACD中,tanC=5石=~.

故选B.

【点睛】

本题考查了锐角三角比的意义.将角转化到直角三角形中是解答的关键.

7、C

【分析】根据勾股定理求出AB,根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案.

【详解】如图：

由勾股定理得：AB=VAC2+BC2=>/22+32=Vi3，

所以cosB=gg=MI,sinB=4G=&叵，tanB=-=-,所以只有选项C正确；

AB12AB13BC3

故选：C.

【点睛】

此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键.

8、B

【分析】①函数对称轴为：x=-丁=1,解得：b=_2a（即可求解；②x=-2时，y=4a-2b+c<0,即可求解；③a

2a

<0,c>0,故ac〈O,即可求解；④当y>0时，-l〈x<3,即可求解.

【详解】点B坐标为（-1,0）,对称轴为x=l,则点A（3,0）,

b

①函数对称轴为：x=-丁=1,解得：b=-2a,故①正确，符合题意；

2a

②x=-2时，y=4a-2b+c<0,故②正确，符合题意；

③a<0,c>0.故ac〈O,故③错误，不符合题意；

④当y>0时，-lVx<3,故④错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数图像问题，熟悉二次函数图形利用数形结合解题是本题关键.

9、A

【解析】•••两个相似三角形对应边之比是1:3,

...它们的对应中线之比为1:3.

故选A.

点睛：本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,

掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.

10、C

【解析】试题解析：•••，％、P5是。。的切线，

/.NOBP=NOAP=90。,

在四边形APBO中，NP=60。，

:.NAO8=120°,

,/0A=2,

,,〜120万x24

..AB的长/=----------71.

1803

故选C.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、2v5

【详解】解：•.•圆锥的底面周长是4?r,贝！14k,

ISO

n=180。即圆锥侧面展开图的圆心角是180。，

，在圆锥侧面展开图中AD=2,AB=4,NBAD=90。，

在圆锥侧面展开图中BD=V20=2v51

,这只蚂蚁爬行的最短距离是2%5«n.

故答案为：2、,弓.

12、40%

【解析】设该地区居民年人均收入平均增长率为％,根据到2018年人均年收入达到39200元列方程求解即可.

【详解】设该地区居民年人均收入平均增长率为X,

20000（1+%）2=39200,

解得，玉=0.4,々=-2.4（舍去），

:.该地区居民年人均收入平均增长率为40%,

故答案为：40%.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用一增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为。（1+©"=6,其中〃为

共增长了几年，a为第一年的原始数据，%是增长后的数据，x是增长率.

13、1

【分析】由一元二次方程的解的定义可得则m2-4m=L再由根于系数的关系可得mn=-l,最后整体代入即

可解答.

【详解】解：•••!《、n分别为的一元二次方程/一41一1=0

/•m+n=4,mn=-l,m2-4m-l=l,

:.m2-4m=l

:.nr-4m+mn=1-1=1

故答案为1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键.

14、-1

【分析】根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，然后代入％+〃+加〃计算即可.

【详解】•••机，〃是一元二次方程/一2%-3=0的两根，

m+n=2»mn=-3.

:.m+n4-mn=2-3=-l.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程如2+必+0=0（时0）根与系数的关系，若©,必为方程的两个根，则xi，应与系数的关系式:

【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点尸的坐标，然后求出点尸到直线AB的距离和的长度,

即可求得AR48的面积，本题得以解决.

y-x+\

【详解】联立得.

——4x+5

x=1fx=4

或1

解得,J=21y=5

.•.点A的坐标为（L2）,点8的坐标为（4,5）,

/.AB='（5-2）2+（4_1『二台五,

作点A关于）'轴的对称点A',连接A3与）'轴的交于P,则此时APAB的周长最小,

点A'的坐标为（一1,2）,点8的坐标为（4,5）,

设直线A'B的函数解析式为>=丘+。，

[k+b=2,得5,

4Z+8=5,13

'b=—

5

313

二直线A'B的函数解析式为y=《*+'，

13

当x=0时，y=—»

即点P的坐标为（0,葭｝

将x=0代入直线y=x+l中，得y=l,

•.♦直线y=x+l与丁轴的夹角是45。,

.•.点P到直线A8的距离是：（2―11•45。=§*也=逑,

L5）525

FT4及

...的面积是：V5_12(

2

本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称-最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

16、—1

【分析】将表中数值选其中三组代入解析式得方程组，解方程组得到函数解析式，再把x=4代入求值即可.

【详解】解：将表中数值选其中三组代入解析式得：

a-h+c=-1

c=3

a+〃+c=5

a=-\

解得：卜=3

c=3

所以解析式为：y=—/+3尤+3

当x=4时，y=—42+3x4+3=—1

故答案为：・1

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.

3

17、-

7

【分析】设AE=3G=k,AG=3k(kwO),可得EC=2k,由折叠的性质可得防=EC=2k,

AEEF1

/FED=/DEC=45。,根据相似三角形的性质可得F===：，即GC=3防=6k,即可求tanB的值.

ACGC3

【详解】根据题意，标记下图

ZACB=90°,NCDE=45。

:."EC=45。

VAC=3AE

.•.设AE=BG=k,AG=3k(krO)

:.£C=2k

•••ADEF由△COE折叠得到

:.EF=EC=2k,/FED=/DEC=45。

:.NFEC=90。,且ZAC3=90°

/.EF//BC

：.△AEF^/\ACG

._A__E___E_F__—1

"AC~GC~3

:.GC=3M=6k

BC=BG+GC=7k

3

故答案为I.

【点睛】

本题考查了三角形的折叠问题，理解折叠后的等量关系，利用代数式求出tanB的值即可.

18、1

【解析】如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D,E,F,连接OD,OE,OF,

则OE±BC,OF±AB,OD±AC,

设半径为r,CD=r,

VZC=90",ACM,BC=3,

，AB=5,

.,.BE=BF=3-r,AF=AD=4-r,

.*.4-r+3-r=5,

r=l.

AAABC的内切圆的半径为1,

故答案为1.

三、解答题（共66分）

19-.（1）y=x2_4x;（2）直线AC的解析式为y=x14;（1）存在，E点坐标为E（LT）或E（2,~2）.

【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c经过原点可知c=0,当x=2时函数有最小值可知对称轴是x=2,故可求出b,即

可求解；

（2）连接OB,OC，过点C作CDJ_y轴于D,过点B作BE_Ly轴于E,根据=J得到段=:，警=:，

,ACOB33AC4

BEAB1

由EB〃DC,对应线段成比例得到="再联立y二kx-4与y=x2・4x得到方程kx-4=x2-4x,即x2-（k+4）x+4=0>

求出XI,X2,根据XI,X2之间的关系得到关于k的方程即可求解；

（1）根据（1）（2）求出A,B,C的坐标，设E（m,m-4）（l〈m<4）则G（m,0）、F（m,m2-4m）,根据题意分NEFB=90。

和NEBF=90。，分别找到图形特点进行列式求解.

【详解】解：（1）•.•二次函数y=x2+bx+c经过原点，

：•c=0

•.•当x=2时函数有最小值

b

----=2,

2x1

；・b=4c=0,

:.y=x2-4x;

（2）如图，连接OB,OC,过点C作CD_Ly轴于D,过点B作BE_Ly轴于E,

q3

AB

~BC~3

AB_1

~AC~4

EB/7DC

BE_AB

ZB-AC-4

y=kx-4交y=x2-4x于B、C

kx-4=x2-4x,BPx2-(k+4)x+4=0

Z+4+J&2+8：k+4-yJk2+8k

X=---------------，或X=-------------

22

XB<XC

.m&+4—VP+8&〜、&+4+VF+8&

..EB=XB=-------------------，DC=xc=------------------------

22

.k+47k2+8k1+4+5/42+8%

••4e-----------------------=------------------------

22

解得k=9(不符题意，舍去)或k=l

:.k=l

，直线AC的解析式为y=x4

(1)存在.理由如下：

由题意得NEGC=90。，

V直线AC的解析式为y=x-4

，A(0,-4),C(4,0)

y=x2-4xfx=4fx=l

联立两函数得厂，，解得八或c

y=x-4[y=°[y=-3

AB(1,-1)

设E(m>m-4)(l<m<4)

则G(m,0)、F(m,m2-4m)

①如图，当/EFB=90。，即CG〃BF时，ABFEs/^CGE.

此时F点纵坐标与B点纵坐标相等.

AF(m,-1)

2

即m-4m=-l

解得m=l(舍去)或m=l

AF(1,-1)

故此时E(11-1)

②如图当NEBF=90。，△FBE^ACGE

VC(4,0),A(0,4)

/.OA=OC

:.NGCE=45°=ZBEF=ZBFE

过B点做BH±EF,

则H

又VNGCE=45°=ZBEF=ZBFE

BEF是等腰直角三角形，又BH_LEF

/.EH=HF,EF=2BH

(m-4)-(m2-4m)=2(m-l)

解得mi=l(舍去)m2=2

•••E(2,-2)

综上，E点坐标为E(L-1)或E(2,-2).

【点睛】

此题主要考查二次函数的图像及几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例、相似三

角形及等腰三角形的性质.

20、（1）AABE、AADC,理由见解析；（2）—;（3）2亚

24

【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，即可找出与△4。相似的三角形；

（2）由相似三角形的性质，得当="=要，由DE>3CE,先求出AD的长度，然后计算得到名；

DFADCDDG

ADAE

（）由等腰直角三角形的性质，得至然后证明△得到一=不；，求出

3IJ/DAG=NADF=45°,ADEsaDFA,DFADDF

DF

的长度，即可得到

DG

【详解】解：（1）与△ACD相似的三角形有：AABE、△ADC,理由如下:

"：AB2=BE-DC,

BEAB

~AB~~DC

VAB=AC,

BEAC

NB=NC，-----=—->

ABDC

/.△ABE^ADCA.

:.ZAED=ZDAC.

VZAED=ZC+ZEAC,ZDAC=ZDAE+ZEAC,

AZDAE=ZC.

/.△ADE^ACDA.

（2）VAADE^△CDA,Z）尸平分ZADC,

DGDEAD

♦•而一茄一而，

设CE=a,则DE=3CE=3a,CD=4a,

=——<解得A£>=20a（负值已舍）

AD4a

.DFAD2氐6

'*DG~CD~4a2

（3）VZBAC=90°,AB=AC，

/.ZB=ZC=45°,

，NDAE=NC=45。，

TDGJLAE，

:.NDAG=NADF=45。，

/.AG=DG=-----AD=------2s/3ci=y/6ci>

22

:.EG=^DE2-DG2=Ca，

VZAED=ZDAC,

/.△ADE^ADFA,

.ADAE

•・而一耘’

Ar\2

；.DF=---=4（76-73）a,

AE

.DG_2+V2

••=•

DF4

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形

的判定和性质，正确找出证明三角形相似的条件.

21、(1)20%；(2)能.

【分析】(1)设年平均增长率为x,则2015年利润为2(l+x)亿元，则2016年的年利润为2(l+x)(l+x),根据2016年

利润为2.88亿元列方程即可.

(2)2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x),据此计算即可.

【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1+X)2=2.88,

解得XI=0.2=20%,X2=-2.2(不合题意，舍去).

答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.

(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88x(l+20%)=3.456(亿元)，因为

3.456>3.4,

所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元.

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用--增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大.

1,

22>(1)y=—x-+x-4t(2)1

【分析】(1)将A(2,0),8(T,0)代入抛物线中求解即可；

(2)利用分割法将四边形面积分成5MOC+S&0CP+S&OBP,假设P点坐标,四边形面积可表示为二次函数解析式，再

利用二次函数的图像和性质求得最值.

【详解】解:⑴•••抛物线了=加+公一4经过点A(2,0),B(-4,0),

rf1

4。+2力-4=0a=—

,《，解得)29

16。-4人-4二0.

i[7b=1

1、

2

・•・抛物线的解析式为y=-x^x-4f

(2)如图，连接OP,设点「卜，；/+%一41，

-4<x<(),四边形43PC的面积为S,

由题意得点C(0,T),

S=S.oc+S^OCP+SdOBP

1…14/、1/

=—x2x4+—x4x(-x)+—x4xl--X2-X+4

2

—4—2x—一2x+8

--X2-4x+12

=-U+2)2+16,

.•.开口向下，S有最大值，

...当％=-2时，四边形4BPC的面积最大，最大值为1.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、分割法求面积、二次函数的图象及性质的应用，比较综合，是中考中的常

考题型.

23、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）与的最小值为叵口

AP2

Ar）Ap

【分析】（1）由/"/>=/丛。,24£比=//花。得出丫4）「：NAED,进而得出一=—,即可得出

AEAD

AD2=AEAPi

AHAP

（2）首先由正方形的性质得出，AB=AD,ZABC=90°,然后由Q）中结论得出丁二不，进而即可判定

AEAB

NABP:NAEB,进而得出BE_LAP.

DpDE

（3）首先由（1）中VAOP:VAED得出二=然后构建圆，找出DE的最小值即可得解.

APAD

【详解】（1）QNZMP=ZEAT>,ZA£>£=ZAPO

:.^ADP~^AED

.ADAP

"~AE~~AD

：.AD2^AEAP

(2)•.•四边形ABC。是正方形

AB=AD,ZABC=90°

2

由(1)知AD^AEAP

,2ABAP

AB^AEAP>■­—~AB

又Q4BAP=ZEAB,

.NABP-.NAEB

:.ZAEB^ZABP=90°

:.BE工AP.

（3）由（1）中V4）P:NAED,得

DPDE

~AP~~AD

若使彳有最小值，则DE最小，由（2）中BELAP,点E在以AB为直径的圆上，如图所示

，DE最小值为DO-OE=y/o^+AD2-OE=712+22-1=石一1

••—T的最小值为------

AP2

【点睛】

此题主要考查相似三角形的性质，以及动点综合问题，解题关键是找出最小值.

398

24、（3）y=X2H—X+3；（3）R（3,3）;（3）3或彳.

-443

【分析】（3）求出4、B、C的坐标，把4、8的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得出结论;

39

(3)设R(f,—/+—f+3).作RK_Ly轴于K,RWJLx轴于W,连接。R.

44

根据S△期c=S四边形RCO5—=S&RCO+SAROB—SdcoB计算即可;

（3）在R"上截取RM=OA,连接CM、AM,AM交PE于G,作QF_L08于H.分两种情况讨论：①点E在尸的左

边；②点E在尸的右边.

【详解】（3）当x=0时产3,

：.C（0,3）,

，OC=3.

•：OC=3OA,

:.OA=3,

：.A(-3,0).

当j=0时x=4,

：.B（4,0）.

3

0=。一8+3-4

把4、B坐标代入得解得：<

0=16。+48+39

b

4

39

抛物线的解析式为丁一丁、丁+3.

39

⑶设RG丁+产).

作RK_Ly轴于K,RW_Lx轴于W,连接OR.

1c139>1…

=—x3r+—x4xz(——12~+T+3)——x3x4

22442

=~t2+6t

2

・・s，

・VROB-2，

39

：•—产+6，=—,4=1（舍去），q=3,

22-

:・R（3,3）.

（3）在RH上截取RM=OAf连接CM、AM94M交PE于G,作0口LOB于

分两种情况讨论：①当点E在尸的左边时，如图3.

:.ACRM乌ACOA,

：.CM=CA,NRCM=NOCA,

：・NACM=N0CR=9。。,

AZCAM=ZCMA=450.

9

：AC//PE9

：.ZCAM=ZAGE=45°.

•・・NPE0=45°,

・•・NAGE=NPEQ,

：.AM//EQ,

：.ZMAH=ZQEF.

9：ZQFE=ZMHA=9Q"，

：.AQEF^AMAH9

.QF_EF

••丽一

:。4=3,0〃=3,MH=KH-RM=3-3=3,

：.AH=AO+OH=4,

：.EF=3QF.

设CP=m,

：.QH=42CP=y/2m,

VOC=OH,

：.ZOHC=45°,

，QF-FH-m,

:.EF=3m9

EH=3m.

VACPE为平行四边形，

:.AE=CP=m.

♦：EH=AH・AE=4.m,

：・31〃=4"〃，

m=3,

:.CP=3.

②当点E在尸的右边时，设AM交。E于N.如图3.

：.Z\CRM^ACOA,

：.CM=CA,NRCM=NOCA,

工NACM=NOCR=90°,

ZCAM=ZCMA=45°.

'：AC//PE,

.•.ZC4Af=ZAGE=45°.

VZPEQ=45°,

/.ZAGE=ZPEQ=45°，

：.ZENG=ZENA=90°.

VZE2F+ZeEF=90°，NEAN+NQEF=90°，

：.NEQF=NMAB.

9：ZQFE=ZAHM=90°,

：.AQEF^AAMH9

.QF_EF

:.QF=3EF.

设CP=m,

:.QH=y/2CP=y/2m.

VOC=OH,

，NOHC=45°，

：.QF=FH=m,

1

:.EF=­m，

2

1

:.EH=­m・

2

•.•ACPE为平行四边形，

：•AE=CP=m.

";EH=AH-AE=4・m,

1

:.4-/w=-mf

0

综上所述：CP的值为3或，

【点睛】

本题是二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识

点的内容，注意要分类讨论.

12

25、(1)—；(2)三.

33

【分析】（1）一共有3种等可能的结果，恰为。类的概率是§

（2）根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】（1）1

（2）

甲

ABc

乙

A(A,A)