2023年3月北京市东城区示范校联考高三数学理科试题

PAGEPAGE1东城区普通高中示范校高三综合练习〔二〕高三数学 〔理科〕2023.3学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第一卷和第二卷两局部，第一卷1至2页，第二卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一卷〔选择题共40分〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．()A. B.C. D.2．()3.直线，与平面，，以下命题正确的选项是〔〕A．且，那么B．且，那么C．且，那么D．且，那么4．甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，那么所得的两条直线相互垂直的概率是〔〕A.B.C.D.5.执行如下图的程序框图，假设输出的结果是8，那么判断框内的取值范围是〔〕A.〔30，42］ B.〔42，56］C.〔56，72］D.〔30，72〕6.一个几何体的三视图如下图，那么此几何体的体积是〔〕A．B.C.D.44俯视图正视图侧视图443〔第5题图〕〔第6题图〕7.约束条件假设目标函数恰好在点(2,2)处取得最大值，那么的取值范围为()A. B. C. D.8.如图，半径为2的⊙与直线相切于点，射线从出发绕点逆时针方向旋转到，旋转过程中，交⊙于点，设为，弓形的面积为，那么的图象大致是〔〕44x224SOx224SOx22SOx224SOABCD第二卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。9.假设复数，那么实数的值为.10.如图，是⊙的切线，是切点，直线交⊙于两点，是的中点，连结并延长交⊙于点，假设，那么=QUOTE1077.11．在中,角所对的边分别为，假设，，，那么边.12.在平面直角坐标系下，曲线〔为参数〕和曲线假设曲线，有公共点，那么实数的取值范围为.13.双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，那么双曲线的离心率的取值范围是_______.14.把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原那么写成如右图所示的数表，第k行有个数，第k行的第s个数〔从左数起〕记为，那么这个数可记为A(______)三、解答题：本大题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。15．〔本小题总分值13分〕函数的最小正周期是，〔1〕求函数的单调递增区间和对称中心；〔2〕假设为锐角的内角，求的取值范围.16．〔本小题总分值13分〕某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520〔1〕从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；〔2〕从40人中任选两名学生，用表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.17．〔本小题总分值13分〕如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，，，是线段的中点．〔1〕求证：；〔2〕求四棱锥的体积；〔3〕试问线段上是否存在点，使二面角的余弦值为?假设存在，确定点的位置；假设不存在，说明理由.18.〔本小题总分值13分〕函数：,〔1〕当时，求的最小值；〔2〕时，假设存在,使得对任意的恒成立，求的取值范围.19.〔本小题总分值14分〕顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴的抛物线上有一点，点到抛物线焦点的距离为1.〔1〕求该抛物线的方程；〔2〕设为抛物线上的一个定点，过作抛物线的两条互相垂直的弦,,求证：恒过定点.〔3〕直线与抛物线交于,两点，在抛物线上是否存在点，使得△为以为斜边的直角三角形.20.〔本小题总分值14分〕直线相交于点.直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，…，点的横坐标构成数列〔1〕当时，求点的坐标并猜出点的坐标；〔2〕证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；〔3〕比拟的大小.东城区普通高中示范校高三综合练习〔二〕高三数学参考答案及评分标准 〔理科〕2023.3一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕1.B2.A3.D4.A5.B6.B7.C8.D二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕9.10.11.212.13.14.A(10,495)三、解答题〔本大题共6小题，共80分〕15〔本小题总分值13分〕解：〔1〕函数的单调增区间为，………………7分〔2〕所以的取值范围为…13分16.〔本小题总分值13分〕解：〔1〕这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为.……5分(2)由题意知=0,1,2那么随机变量的分布列：012……13分17．〔本小题总分值13分〕证明：〔1〕因为侧面，平面，所以．又因为△是等边三角形，是线段的中点，所以．因为，所以平面．而平面，所以．……4分〔2〕由〔1〕知平面，所以是四棱锥的高．由，，可得．因为△是等边三角形，可求得．所以．……8分〔3〕以为原点，建立如下图的空间直角坐标系．设,那么.设为平面的法向量,.设平面的法向量为．.化简得.解得.所以存在点，且.……13分18.〔本小题总分值13分〕解：〔1〕的定义域为, 当时，为增函数，当时，为减函数，为增函数，当时，为减函数，综上当时，当时，当时，………………6分(2)假设存在,使得对任意的恒成立，即时，由〔1〕可知，,为增函数，，,时为减函数，……13分19.〔本小题总分值14分〕解：〔1〕由题意可设抛物线的方程为，那么由抛物线的定义可得，即，所以抛物线的方程为.………………4分〔2〕由题意知直线与轴不平行，设所在直线方程为得其中即所以所以直线的方程为即……9分〔3〕假设〔上，