2012考研导航高数讲义、解答

1第一章函数极限连续性考试要求3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本的初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.数左、右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间关系.性质及四则运算法则7、掌握极限存在的两个法则，利用两个重要极限求极限的方法.比较方法，会用等价无穷小求极限.9、理解函数连续性概念(左连续与右连续)，会判断间断点类型.10、了解连续函数性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性，最值定理，介值定理)，并会用这些性质.f(x+T)=f(x),当x<x时,f(x)<(>)f(x),则f(x)单调增加(减少)；判别的有界性的方法有两个：一是利用闭区间上连续函数一定有界；二是f(x)在开区间(a,b)上连续，且方法有两个：一是利用闭区间上连续函数一定有界；二是f(x)在开区间(a,b)上连续，且[解]f[f(x)]=12例2讨论下例函数的奇偶性：f(x)为奇函数.奇偶性.4•有关积分上限函数F(x)=jxf(t)dt的奇偶性，若f(x)是连续的奇(偶)函数，则F(x)0是偶(奇)函数.证明F(一x)=j一xf(t)dt一t=ujxf(一u)d(一u)=〈|(jx0f(u)du=F(x),当f(x)为奇函数.000|l一jxf(u)du=一F(x),当f(x)为偶函数0例4设f(x)连续，则下列函数必为偶函数的为(A)jxf2(t)dt(B)jxf(t2)dt00 (C)jxt[f(t)一f(一t)]dt(D)jxt[f(t)+f(一t)]dt005•利用可导函数的奇偶性：若当f(x)为奇(偶)函数，则当f,(x)是偶(奇)函数，f,(x)是奇(偶)函数.例6f(x)例6f(x)=在哪个区间上有界[解]limf(x)与limf(x)均存在x)一1+x)0一选(A).3考点2求未定型函数极限考点解析主要考查：求函数极限的几种方法—利用两个重要极限，有理化，洛比达法则，等价无穷小代换，变量替换，提取因子等常用方法。考试中常以填空和解答题出现002•等价无穷小代换：limf(x)lim(x).其中f(x)~(x),g(x)~(x).(xx).00xxg(x)xx(x)0003•洛比达法则:limf(x)(0)或()limf(x),f(x)与g(x)在U0(x)内存在.00xxg(x)0xxg(x)0004•limf(x)Alimf(x)limf(x)Axx0xx0xx02(4)ex1~x;(5)ax1~xlna;(6)ln(1x)~x;(7)log(1x)~x;alna(8)axnaxn1…ax~ax(x0)(9)(1x)1~x(为实数)nn111利用等价无穷小代换时，注意：只能在极限的乘除运算中使用等价无穷小代换，不能在极限的加减运算中使用，但在极限加减运算中可以略去高阶无穷小.0典型例题0..利用等价无穷小代换时，注意：只能在极限的乘除运算中使用等价无穷小代换，不能在极限的加减运算中使用，但在极限加减运算中可以略去高阶无穷小.0典型例题0..xxxxx例3求极限lim例3求极限limtann().x4n1n4[解]limf(x)=a,limf(x)=ax)0一x)0+1x)01+1例6求极限lim(几).x)wex+x[解]lim几=1,lim几=1,x)wex+xx)一wex+xx)0x2x)wx2(1+cosxcos2x)2.例8求极限limln(cosx)x)02x24.例9求极限lim例9求极限limx)0xsinx.x)0xsinxx)0xsinx50000[解]求极限lim求极限lim(arcsinx)2.cosx131+sin2x7+=[解]原式=limx+x21+ex=3xx22.例12例12求极限lim[xx2ln(1+)].xx[解]原式(令1=t)=limtln(1+t)=lim1=1xt0t2t02(1+t)2.1212nxx11tx+3xx[解]xxxx3txtx[考点3]已知极限，确定参数或求另一函数极限[考点分析]已知某函数极限值，确定函数中的数，主要考查极限的运算法则及洛比达法则，多以选择题形式出现[内容方法提要].1•确定函数中的参数.常利用结论：设limf(x)=A.且limf(x)=0(或limg(x)=0)xxg(x)xxxx6xxx)xx)x00如果有多个参数，用洛比达法则(要验证洛比达法则的条件)，得到参数满足的多个方x)nx)n.将其代入所求极限中即可.例1已知lim(x2-ax-b)=0,则x)wx+1 [答案](D)x)w113x)0x3x)0x)0x7l2l2xx)+w0002•将数列f(x)中x换为x，即变量连续化，用洛比达法则求之.极限，关键是对数列进行放大与缩小.夹逼准则：设(1)x共z共y(3)4•单调有界准则：单(减)且有上(下)界的数列，证明单调与有界时，例1例1(98年数四)求lim(ntan)n2.n)wn 1=tlimtant-t=1xn)0+t33.n2n)wn|1|1,[解]lima=〈x,n)wn|x2,例3(02年数二)设0<x<3,x=x(3-x),证明{x}极限存在，并求此极限.n2x故可令limx=An)wnn32[考点5]无穷小量阶的比较[考点解析]主要考查无穷小量阶的比较定义，考试以小题为主，有时也渗透到其他综合题1•若limf(x)=C丰0,则f(x)与g(x)是同阶无穷小.x)xg(x)若limf(x)=1,则f(x)与g(x)是等价无穷小，记f(x)~g(x).x)xg(x)若limf(x)=0,则f(x)o是比g(x)是高价无穷小，记f(x)~o(g(x)).x)xg(x)8若limf(x)c0,则f(x)是g(x)的k阶无穷小.(其中f(x)0，g(x)0，xx或x)xx[g(x)]k002.无穷小量的比较，本质上就是一个极限问题，有时也利用到等价无穷小代替等求极限方3.无穷小量的性质：有限个无穷小之积仍是无穷小；有限个无穷小之和仍是无穷小；题~o();若~，~，则~.例1(1)设x0时etanxex与xn是同阶无穷小，求n，求n.x0xnx0xn(2)2n14,得n2.1例2(03年数二)若x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无穷小，则a4.、二、三)当x0时,f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，11例4(02年数一)设f(x)在x0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)0,f(0)0，若ab考点6判别函数的连续性考点解析主要考查：会用连续性定义，连续的充要条件及连续函数的运算法则，判别函1.若limf(x)f(x),称f(x)在x点连续.xx00092•f(x)在x处连续一f(x)在x=x左连续又右连续.03•连续函数的和，差，积，商(分母不为零)是连续函数.00连续.yfxIxQyxI={yy=f(x),x=I}上的连续，且有相同的单调性.yx6•一切初等函数在其定义区间上连续.0(1)f(x)在x没有定义.0(2)f(x)在x有定义，但limf(x)不存在.0x)x(3)f(x)在x有定义,limf(x)存在,但limf(x)士f(x).0x)xx)x000(1)g(x)f(x).(2)g[f(x)].(3)(g[f(x)])2.(4)f[g(x)].[答案](1)一定有断点；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定.11上连续.冗冗x)1一[考点7]讨论函数间断点[考点解析]1.若x是f(x)的间断点，且limf(x)与limf(x)都存在，则称x点为f(x)的第一类间断点.0x)x_x)x+00x)x_x)x+000断点.3.若f(x)以极限形式给出，先求出极限再讨论间断点类型，分段函数主要考查分界点处情形..4.ll2,(A)不连续.(B)连续但不可导.(1(1(D)可导，且导数连续.间断点，并指出其类型.x)0+limfxlimfx=0,x=2是第一类间断点.x)2x)x)2+例3讨论f(x)=limxn+2_x_n的连续性.n)wxn+x_n是第一类间断点(A)1(B)2(C)3(D)无穷多个.([解]limf(x)=-6a,limf(x)=2a2+4x)0-x)0+[考点8]闭区间上连续函数的性质[考点解析]主要考查：闭区间上连续函数的有界性，最值，介值定理，零点定理的简单应用.理在讨论方程f(x)=0的根时常用到.4•由介值定理知，闭区间上的连续函数必能取到它的最大值与最小值之间的一切值.3[解]由已知mM.例3设f(x)在[a,b]上连续，f(a)=f(b),证明存在x[a,b]。使f(x)=f(x+ba).0002[证]令F(x)=f(x)f(x+ba)2则F(x)在[a,a+b]上连续.22222002.002.2由已知F(a)与f(a+b)异号.2由零点定理，存在x(a，a+b)020第二章一元函数微分学考试要求1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数.4、会求分段函数的一阶、二阶导数.5、会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.6、理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理和泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.8、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平，铅直和斜渐近线，会描述函数的图形.9、掌握用洛比达法则求未定式极限的方法.10、了解曲率和曲率半径的概念，会求曲率和曲率半径.[考点1]导数的定义[考点解析]正确理解导数的概念，可导的充要条件以及含绝对值函数的可导性，分段函数的导是主要考查内容.imlimfxfx0编x)0编xx)xx一xf,(xf,(x)=A一f,(x)=f,(x)=A2•f,(x)存在不得出f,(x)在一U0(x)存0在，,(x)存在可得出f,(x)在U(x)内存在3•设曲0线y=f(x),在x=x点可导，0则过(x,f(x))切线方程为y一f(x)=,(x)(xx),000000法线为y一f(x)=1(x一x).(f,(x)丰0)0f,(x)0004•当函数f(x)在点x处是否可导，事先不知道时，一般用定义求导.例如，分段函数在分界点0导数.x)1x一1.x0x[答案]9f,(1)1•f,(x)=A一f,(x)=f,(x)=A.00+0f(x)在点x处是否可导，事先不知道；只知道f(x)在x一点可导；分段函数在分界点00处导数；函数f(x)具体表达式未给出，求f(x).典型例题例1设F(x)sin(xa)2(x),其中(x)在xa处有定义且在a的某邻域内有界，求F(a).[解]F(a)limsinx2(x(ax))0x0(x)2例2设yf(x)关于直线xa(a0)对称，且f(a)存在，求f(a).[解]f(a)limf(ax)f(a)f(a)x0xf(a)0f(x)kf(x2),其中k为常数 (1)写出f(x)在[2，0)上表达；(2)问k为何值时,f(x)在x0处可导[解](1)当2x0时,f(x)kx(x2)(x4).2.2.(A)处(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有一个不可导点.(D)至少有三个不可导点[答案](C)考点3有关可导性的几个常用结论考点解析可导性的几个常用结论是指：可导与不可导函数的乘积的可导性；f(x)可导性与f(x)可导性的关系；可导函数的极限值等.考试多以选择题出现.内容与方法提要1•设yf(x)在x处可导，yg(x)在x处连续但不可导，则F(x)f(x)g(x)在x处可导000000000x=x000x=x00000000000x)x++00存在，且f,(x)=limf,(x)=A.[典型例题0x)x0+x(A)充分必要条件(B)充分但非必要条件(C)必要但非充分条件(D)既非充分又非必要条件答案](A)fxxafxxa的充分条件是()答案](B)[考点4]导数计算[考点解析]复合函数，隐函数，参数方程确定函数，反函数求导是基本计算，大纲要求熟练dydydudxdudx4•设y=f(x)的反函数x=Q(y)，则dy=1.(dx士0)dxdxdyyffdydx2[解]dy=1dxx(1一f,(y))=一d2x+(y+sinx)(dx)3=0变换为y=y(x)满足的微分方程.dy2dy[解]dxdx[解]=一=一dyy,,dy2(y,)3大题出现，解题的关键是辅助函数.出发，去寻找辅助函数；二是原函数法，即利用积分去求辅助函数。(见例题)2222冗冗2fFxfxxk即可.010nn_1n)n)w22x)+wn)w0nnn)w导数的关系，是利用导数解决函数问题的桥梁，是考试中的难点之一.2.有关拉格朗日中值定理的证明题，关键是设适当的辅助函数.设辅助函数的方法与罗尔定理相似，有分析法和原函数法(见例题)[典型例题].[证]xf(x)在[a,b]上应用LagrangeTH即可(2)存在两个不同的点n与G仁(0,1)，使f,(n).f,(G)=1[证](1)令g(x)=f(x)+x一1,g(0)<0,g(1)>1,由零定理得证[考点7]柯西中值定理应用[考点解析]柯西中值定理应用较少在考试中出现，与罗尔定理或拉格朗日中值定理的综合应用是难点[内容与方法提要].柯西中值定理：设F(x),G(x)满足:(1)F(x),G(x)在[a,b)上连续，(2)在(a,b)可导，且 xa[证](1)由f,(x)>0得f(x)>f(a)=0a[考点8]泰勒公式的应用[考点解析]泰勒公式是微积分中一个重要公式，在证明含中值飞的等式和不等式中经常应用，其应用关键在适当点x处展开，即有n阶导数的函数f(x)可用n次多项式函数表示，0度不大.0n!0(n+1)!0n!0(n+1)!00公式，一般要记住ex的公式.fxLagrange公式.00ff飞)6(2)将x=士a代入(1)式相减得12=.2a2再由介值定理得证.[证]在x点应用Taylor公式及已知条件.例3(02年数一，二)设f(x)在x=0某邻域内有一阶连续导数，且f(0)士0,f,(0)士0,[解]将f(h)与f(2h)在x=0展开，代入已知等式得式[考点解析]用单调性证明不等式是一种常见题型，考试中经常出现，一般难度中等。证明含两个参数的不等式较多，应熟练掌握.1•设f(x)在区间I可导，f,(x)>0(<0)亭f(x)在I上单调增加(减少)，反之不一定成立，如2•证明f(x)之g(x),x=I,设辅助函数F(x)=f(x)一g(x);求导数F,(x),判别F,(x)符号，从而证结论.3、含两个参数的不等式，可视其中一个参数为变量，另一个视为常量.1ln2ln(1+x)x2.(2)令F(x)=一ln(1+x)x,2求f,(x),f,(x)，由单调性可证.应力求计算准确000002•极值：(1)求f,(x)=0的点x及f,(x)不存在，(2)利用充分条件判别极值，当f,(x)xxxfx)<0,f(x)为极大值，当f,(x)>0,f(x)为极小值.0000003•注意极值点和拐点都不能在区间端点取得。(由其定义知)4•最值：求出f(x)的所有可能的极值点，与区间端点比较之，便得最值.3k0x)x(3)若lim0f(x)=a,b=lim[f(x)_ax],则y=ax+b为斜渐近线.x)wxx)w注意讨论左、右极限.fxfx单调区间，凹凸区间，极值和拐点及渐近线方程.[解]f,(x)=,f,(x)=f(x)单增，(_6，_2)单减，f(_6)为极大值，(0,f(0))为拐点，几例2(00年数三，四)求函数y=(x_1)e2+arctanx的单调区间和极值，并求渐近线几[解](_w，_1)，(0，+w)单增，(_1，0)单减..几几例3设f,(x)=f,(x)=0,f,(x)>0则正确的是000(A)x是f(x)的驻点.(B)f(x)是f(x)的极大值.00(C)f(x)是f(x)的极小值.(D)(x，f(x))是f(x)的拐点.000[答案](C)例4设f(x)有二阶连续导数，且f,(0)=0,limf,(x)=1,则x0x(A)f(0)是f(x)的极大值.(B)f(0)是f(x)的极小值.(C)(0,f(0))是f(x)的拐点.x[答案](B)(A)x=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是y=f(x)的拐点.(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是y=f(x)的拐点.(C)x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是y=f(x)的拐点.(D)x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是y=f(x)的拐点.[答案](C)yfxf,(x)的图形[考点解析]根据y=f(x)的图形确定其导函数y=f,(x)的图形；根据f,(x)的图形，确定f(x)的1•已知f(x)的图形，先分析f(x)的单调性，凹凸性，与坐标轴的交点，极值点等性态，再根据这些性态在导函数上的反映，确定f,(x)的图形.2•已知导函数f,(x)的图形，先分析f,(x)的符号，为零的点，从而确定f(x)的单调性，极值点等性态 例1设y=f(x)在定义域可导，y=f(x)的图形如图所示，则y,=f,(x)的图形为_____.例2(03年数一、二)设f(x)在(，+)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[考点解析]方程的实根，一般利用介值定理(零点定理)与微分中值定理进行讨论，分两类问题，不含参数和含参数方程的实根问题，是综合题型.1•讨论f(x)或f,(x)=0实根，先找出定义域(或所设区间)内使f(x)变号的点，再讨论单调性,从而确定实根个数.(1)先求出f(x,k)的极值(最值)m=m(k)，M=M(k).实根的个数.(3)注意讨论函数的变化趋势，如limf(x,k)=士,以便确定曲线是否与x轴相交.xlnx[][]1•原函数：若F(x)=f(x),称F(x)是f(x)的一个原函数.(1)积分上限函数：F(x)=jxf(t)dt.x[a,b]a(2)若f(x)在[a,b]上连续，则F(x)=jxf(t)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函数.且aF(x)=djxf(t)dt=f(x)dxafxaba可积的必要条件：若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界.可积的充分条件：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积；若f(x)在[a,b]上只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积.例1(05年数一，二)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，则(A)F(x)是偶函数一f(x)是奇函数.(B)F(x)是奇函数一f(x)偶奇函数.(C)F(x)是周期函数一f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数一f(x)是单调函数.[答案](A)00(A)无界.(B)可导.(C)不连续.(D)连续.[答案](D)[考点2]积分变限函数求导问题[考点解析]作为函数的一种形式，积分变限函数在考试中经常出现，应熟练掌握.[内容与方法提要]Q(x)221111例1设f(x)=j1-cosxsint2dt,g(x)=x5+x6,则当x)0时,f(x)是g(x)的()056j1-cosxsint2dt[解]由lim0=0,选(B)56x)0560并求limnf().n)wn[解]f,(0)=e-(arctanx)2=1切线为y=x.n)wn例4设f(x)连续，且limf(x)=2,F(x)=〈求F,(0).[考点3]对称区间上的积分[考点分析]对称区间上积分，考虑被积函数的奇偶性可以简化积分计算.[内容与方法提要]1.设f(x)在积分区间上连续，则[考点3]对称区间上的积分[考点分析]对称区间上积分，考虑被积函数的奇偶性可以简化积分计算.[内容与方法提要]1.设f(x)在积分区间上连续，则jafxdxjafxfxdx(|2ja0f(x)dx,当f(x)为偶函数时一a2一a|l0,当f(x)为奇函数时2.当非奇非偶时，可考虑用ja[f(x)+f(一x)]dx计算.[典型例题]0222一[考点4]分部积分法中的“移项”与“消项”[考点解析]分部积分中有两种特殊的情形：“移项”与“消项”.[内容与方法提要]所谓“移项”是指分部积分后“还原”再“移项”.从而求出积分；例3[解]I=jxdearctanx=xearctanx-jearctanxdx可得I=+可得I=+C[考点5]利用恒等变分[考点解析]在积分计算中，对某些积分利用恒等变形达到简化积分计算目的.[内容与方法提要例1求j1dxsin2xcos2x.[考点6]分部分2中的“先拆后分”[考点解析]有些积分，直接用分部积分法较繁，可考虑先将被积函数进行恒等变形，[考点7]分段函数和含对值函数积[考点解析]这两类积分需要分区间积分或讨论被积函数大小，去绝对值再积分[典型例题].x0[解]去绝对值后，分段积分可得0[考点8]周期函数的积分考]积函数具有周期性，可以利用周期:函数周期积分的性质简化计算.3.设f(x+T)=f(x),T为f(x)的周期则[典型例题],ja+Tf(x)dx=jTf(x)dx.jf(x)dx=nj0Tf(x)dx.00n为正整数.爪24.4.[考点9]有理函数与三角有理式的积分[考点解析]有理分式的积分，先将有理分式部分分式化为简单分式积分；三角有理式一[典]“万能代换”化为有理函数积分，或用“凑微分法”I=limj一e1e)0+令由故[考点解析]无穷区间上积分与无界函数的积分，均是化为定积分的极限求之[典型例题].例1设lim(1+x)ax=jatetdt,则a=_____.x)wx一w22解]12解]124222[考点11]积分不等式与等式的证明[考点解析]利用积分的性质，函数单调性等证明有关积分不等式与等式，是考试难点[证]0000例2设f(x)在[0,2]内有二阶连续导数，且f(1)=0,证明j2f(x)dx共M,其中M=maxf,(x).3x仁[0,2][证]应用Taylor公式可得002020300012]定积分的应用[考点解析]按大纲要求，应会求平面图形面积，旋转体体积，弧长，函数平均值，功等adxxayca侧aa侧ay=f(x)在x仁[a,b]的平均值为y=1jbf(x)dx.D(1)求D的面积A.[解](1)切线为1e0206nn_1例2nn_1一周所得旋转体的体积和表面积.[解]切线为12041604160026012.[解]A=j0(_y)dx+j2(012.(1)讨论L的凹凸性.(2)过点(_1，0)引L的切线，求切点(x,y),并写出切线的方程.0(3)求此切线与L(对应x共x部分)及x轴所围的平面图形面积.0[解](1)d2y=_1<0故L是向上凸(2)切点为(2，3)，切线为y=x+13例5用铁锤将一铁钉钉入木版，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板深度成正比，在第一次打击时，铁钉被击入1cm,如果铁锤每次打击做功相同，问第n次打击铁钉被击入多少厘米？[解]设第n次打击被击到xcm，则x=1n1102W=jx2kxdx=k(x2_x2)20221…W=jxnkxdx=k(x2_x2)nx2nn_1n1由W=W=…=W可得x2=n12nn故x=nn第四章空间解析几何(数二、三不要求)xyzxyzxyzyaaa2xyyaaa2xyzaaa2xyzzaaa2xyzaaxxyyzzijkxyzbbbxyzbbbxyzaaaxyzxyzcccxyz0000pp」n亭pp•n=0亭A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=00000000022222222n1n2000Ax+By+Cz+D1、点到平面距离：d=000pp12(f(x,y)=0准线L：〈(f(y,z)=0a2b2c2a2b2a2b2c2九、投影方程柱面，旋转曲面，锥面(圆锥)椭圆抛物面(旋转抛物面)，球面(椭球面)ijk1111212122341111101111112将它们代入(2)式，并由点p的任意性，得所求旋转曲面的方程为：4LLy周所成曲面方程。011011111110pyyQYyyL10pxyzppxyzpyc径r=1111111.求)求简，1.二重极限limf(x,y)=A.当(x,y)以不同路径趋于(x,y)时，f(x,y)趋于不同值，或极限不x)xx)xy)y00存在,则limf(x,y)不存在.0x)xy)y002.若limf(x,y)=f(x,y),称f(x,y)在(x,y)点连续；若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则0x)xy)y00x)xy)y00f(x,y)在D上有界，取得最值，且有介值性.0fxy)=limx00编x)0编xf,(x,y)=limy00编y)0编y0000?x?y0000?x?y00?x?y5.偏导数连续———)可微———)偏导存在.不可逆不可逆J不可逆偏导数连续———)连续一——)偏导存在.不可逆不可逆6.判别z=f(x,y)在(x,y)可微，按定义，只要证00)0？(是否趋于零)例1f(x,y)在(x,y)处f,(x,y),f,(x,y)存在，是f(x,y)在该点连续的00x00y00(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件[答案](D)(xy(xyff(0,0)=0xy但limf(x,y)=limxy,取y=kx可得x)0x)0x2+y2y)0y)0y例4(02年数一)考虑f(x,y)在(x,y)处四条性质：(1)连续；(2)两个偏导数连续;0(3)可微；(4)两个偏导数存在.则(A)(2))(3))(1)(B)(3))(2))()1(C)(3))(4))(1)(D)(3))(1))()4[答案](A)=.+.(1)=.+.(2)?x?y?u?v如如[答案].=(f1,+yf2,)(x+y)g,设z=f(x2一y2,exy)，f有二阶连续偏导数，求?z,?z,?2z.?x?y?x?yzxfyexyfzyf+xexyf,?x12?y12f?x?y1112222?x(1,1)?y(1,1)dxx=1dxx=11212例4设u=f(x,y),f有二阶连续偏导，求du,?2u.yz?y?zdz?x?y?zyy21z2z22yxyz12z322z22[考点解析]利用复合函数的求导法，解决隐函数的求导问题，是一个重要考点.1•由一个方程确定的隐函数：设F(x,y,z)确定z=z(x,y),则F,+F,.?z=0,F,+F,.?z=0,xz?xyz?yz?xF,?yF,zzGGxxdxdyzzy?x(dydz(dydzF,xGxG,dxdxyxz?z?zyy?x?yyy?x?y=?x?y?x?y方程组两端对z求导=又故[考点4]函数极值与条件极值又故[考点解析]二元函数极值与条件极值，是考试的重要内容.[内容与方法提要](f,(x,y)=0AfxyBfxyC=f,(x,y).xx00xy00yy000000002.求二元函数f(x,y)在有界