过程控制习题答案

d第一章图1-1所示。试简述系统工作原理，指出主要变量和各环节的构成，进水阀门进水Q11BA浮子减速器A浮子实际水位+放Q+2水池Q+2解在这个水位控制系统中，水池的进水量Q来自由电机控制开度的进水阀门，出水量Q随意变化的情况12下，保持水箱水位在希望的高度上不变。希望水位高度由电位器触头A设定，浮子测出实际水位高度。由浮子带动的电位计触头B的位置反映ABUU过放ABAB1QAB12。这个系统是个典型的镇定系统，在该系统中：控制量被控制量扰动量被控对象测量元件放大元件执行元件希望水位的设定值实际水位2放大器电动机、减速器、进水阀门其功能和运动规律即可。QQ进水浮子希望水位设定位+实际水位放大器减速器Q+1水池2b由于u与u的极性一致，因而发电机的激磁电压上升，使输出电压增大。这种由扰动产生附加控制作用的bi系统是扰动控制系统(本系统是将负载变化作为扰动输入的。图1-3所示的电压调节方式只能克服负载变++一i电uid+压大功功u率bu率b+放+大测测量元件测量控制作用ub给定值u+i放大功率放大输出电压u发电机io【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为f(t)TAl0T想t所以，f(t)可以看作两个函数的叠加OTtOTt12s或直接运用拉氏变换定义式求取求系数k、k122由等式相等，所以可知2d解得123则F(s)的拉氏反变换为【解】运用部分分式展开法，有求得待定系数ssssssss21Fs的拉氏反变换为4482432324【解】将方程两边取拉氏变换，得s以2【解】根据式(2-3)，线性化后的方程应为000d而 (?x)x=00 (?x)x=00 02分析：本题方程中只有x2是非线性项，只要将x2在原点线性化就可以了。x2在原点线性化的结果是0所以，线性化后原方程式右边只剩下前三项线性项。U(s)ioU(s)U(s)ioU(s)iR1R2ioiC(a)CRR1i(b)【解】根据基尔霍夫定律，采用运算阻抗的方法，所以传递函数为U(s)i2Cs=2=212(b)U(s)oRRLLsCCsssxIs过简单的代数运算，就可求解I(s)、U(s)及相应的传递函数。采用运算阻抗的方法又称为运算法，相应的称为运算电路。【例2-8】求图2-3所示有源电网络的传递函数，图中u(t)、u(t)分别是输入和输出电压。1211u(t)R332C2222C2u(t)1u(t)1u(t)2-+u(t)2-+-2+2(a)(b)d【解】(a)由图(1)求得，根据理想运算放大器反相输入时的特性，有(b)设电压u(t)如图所示。3由3+3+32=0RR3 3+3+32=0RR312得得2121最后联立上述方程，解得它只是在一定的限制条件下才成立。tioff9(t)oJfaemiaaiTioaa感，i(t)是流过电枢绕组的电流，e(t)是电动机感应电势，T(t)是电动机转矩，J是电动机及负载折合到am电动机轴上的转动惯量，f是电动机及负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。et=Ri(t)+Ldi(t)a+e(t)iaaadtm根据磁场对载流线圈的作用定律，有T(t)=Ki(t)Ta其中，K是电动机转矩常数。TAx1BAx1BxBCy2kkfd根据电磁感应定律，有e(t)=Kd9(t)0medte根据牛顿第二定律，有得i(t)=Jd290(t)+fd90(t)aKdt2KdtTT得LJd39(t)0+(Lf+RJ)d29(t)0+(Rf+KK)d9(t)0=Ke(t)adt3aadt2aTedtTi电枢电感L通常较小，若忽略不计，系统微分方程可简化为aRJd29(t)0+(Rf+KK)d9(t)0=Ke(t)adt2aTedtTi当电枢电感L，电阻R均较小，都忽略时，系统微分方程可进一步简化为KdKdt)0=e(t)edti k1myk2f(a)(b)【解】(a)根据牛顿第二定律，列写动力学微分方程tdt即d2t2dt1进行拉氏变换并整理21得 2(b)设B点位移为x，根据B、C点力平衡关系列写方程BBdtfB=kydt2TTd上面两个方程两边同时进行拉氏变换(初始条件为0)，有k[X(s)-X(s)]=sf[X(s)-Y上面两个方程两边同时进行拉氏变换(初始条件为0)，有B2解上述方程组，得 Y(s)fskXsXskk+fs(k+k)212【提示】机械系统的建模可根据牛顿第二定律或达朗伯原理推导。牛顿第二定律：一物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，而且加速度与合外力同方向。达朗伯原理：作用在物体上的合外力Fii对于机械系统的建模，取质量、弹簧、阻尼之间相关的连接点进行受力分析，并根据牛顿第二定律建立该点处的力平衡方程；当有些连接点处的运动未知时，可认为是中间参考点，联立方程后即可消去。设有如图2-6a所示的齿轮传动链，由电动机M输入的扭矩为T，L为输出端负载，TL为负载扭矩。ii1T1M9M3MJ93MTT22TT323JL3TT42L9L3TT42L3z4JfLTJm111122222343333L式中f、f、f传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；3T——齿轮z对T的反转矩；1mT——z对T的反转矩；221T——z对T的反转矩；332T——z对T的反转矩；443T——输出端负载对T的反转矩，即负载转矩。L4由齿轮传动的基本关系可知2z12z124z33z2zz13424于是可得32L32LdLeq(zz)LLeq(zz)L将上式改为meqeq1LeqbRuuouii【解】利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得uujidtiio，u=Roc对其进行拉氏变换得RU(s)=I(s)osCRiI(s)sCoUiI(s)sCoU(s)＋1I(si11Uo(Us)i-RsCiooo(a)(b(a)(b)2ii2Cii2r2cr2【解】(1)首先根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接将上图转化成运算电路图的形式，如下图R2U(s)2I(s)21I(s)211U(s)r1U(s)rcCc2iid(2)根据列出的4个式子作出对应的框图。(U(s)U(s)|1(3)根据信号的流向将各方框依次连接起来。根据上述公式，画出方框图U(s)cI(s)1UU(s)cI(s)1U(s)＋r-R1211CII(s)2＋2--2-U(s)U(s)cC1所以传递函数为1UsRRs2CC1 c=1212=21221212221111c1响，这就是负载效应。如果在这两极RC网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，R12隔121离i12rC放2C2r大器11K1U(s)＋r-12U(s)c1R2＋-1RGG23A－R(sGG23A－1G5G716464GG23－－G5G/G64－－G1G1－＋GGGG45G7GGG341+GGG+G34345236G7GGGG4==1234=12dG663－G5G7G/G641－G5G7G/G64GGGG45－G7GGGGGG341+G1+GGG+GGG3452361G7GGG1+GGG+1+GGG+GGG+GGGGG34523612347所以，传递函数为23534612347【提示】：等效变换时，应将分支点(相加点)向另外的分支点(相加点)移动，一般不宜向另外的相加点(分支点)移动。GG(s)C(s)s＋Gs22＋【解】Cs2(E(s)=R(s)C(s)|C(s)=C(s)+C(s)1212C(s)G(s)+G(s)12方法二：采样梅逊公式，有4条前向通道和5个回环。4条前向通道s1121232412对应的余因子G1＋－G2＋G2G1－＋＋－12212G2＋d12345个回环xL=-G(s)-G(s)-G(s)G(s)+G(s)G(s)-G(s)G(s)121212特征式s1212由此可得系统的传递函数为Gs=1212可见，结果与方法一相同。方法三：用方框图等效变换方法化简如下：＋－G2＋GG2G1－－＋＋GG－2＋－22＋－1212121212可得系统的传递函数为Gs=1212结果与方法一、二均相同。梅逊公式的作用，可以校验方框图化简的结果是否正确。ss2+R(s)+Ks-ss+++--第6条前向通路很容易被漏掉，需特别注意。有3个现用梅逊公式求取对应于同一个源节点A现用梅逊公式求取对应于同一个源节点A和不同阱节点的两路传递函数。值得指出，对于给不变的，只是对于不同的源节点和阱节点，其前向通路和余因子式是不同的。d11KP=s2=3ssss4ssP=-s=-5sss123456(s)ss6TssBR(s)编s3+s2+Ks+KTs+Kdeafafghi1两个互不接触的回环有3种组合，即afbg，afch及bgch，所以2三个互不接触的回环只有1种组合，即afbgchxL=afbgch3由此可求特征式编=1-xL+xL-xL23道与所有的回环均有接触，因此12345将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数12345AA--fdebc-gaABd1L=fbg2=1L+L=1+f+bg+deg+fbg2P=a=1+f1将以上结果代入公式，可得系统的传递函数BA111+f+bg+deg+fbgP=abc1P=abc12将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数1=12A11221+f+bg+deg+fbg1012320123X(s)=iX(s)+jX(s)+kX(s)+lX(s)30123试求传递函数G(s)=X3(s)bX(s)b0j所示，然后由梅逊公式就可求解。jXX0ld此系统有8X0ldifXL=b+g+l+cf+dj+hk+dfk+cjhifX313hkX2hkX2L=bg+bl+gl+bhk+gdj+cfl2只有1种组合，即bfggg123P=aj1P=afk2P=i3P=ek4P=ecj51=1234=15将以上结果代入梅逊公式，可得系统的传递函数0231023(1)由方框图设置状态变量，直接确定状态空间表达式；(2)求出系统的传递函数，建立规范型状态空间表达式。12s-1312s-13-1-1-1-14d111【解】(1)由方框图设置状态变量直接确定状态空间表达式，需要将方框图进行适当变换，从而得到系22＋＋2－s态图1--11122s-1xx3-1-1-1C323221x1所示的状态变量，可以得到系统的状态空间表达式为||＝|y=[0010]1-.5|||+||u-5」Lx4」L0」xxx]T234000b=(b-ab)a=111100b=(b-ab-ab)a=-52211200d均可以求出系统的传递函数。由此可以得到该系统的能控规范型状态空间表达式「0120]「0]x.＝||x+||u和能观规范型状态空间表达式「000-50]「12](1)若选状态变量为x=x，x=x.，试建立系统状态方程；2(2)若重选一组状态变量x和x，使得x=x+x，x=-x-2x，试建立系统在x坐标系中的状态12112212【解】(1)由系统微分方程可知12矩形形式为系统矩阵A为友矩阵。(2)两组状态变量之间的关系为因此非奇异变换矩阵此时状态方程为对角线标准型。提示：该例说明了状态变量和动态方程的非唯一性。试写出系统的状态空间表达式。b=(b-ab-ab=(b-ab-ab-ab)a=41231221300因此，可得到系统的状态空间表达式100]0|100]0|d「010]「1]00]x其中「-5试求系统的传递函数矩阵。-42]3-22-2」0]【解】根据式(2-27)即可求出系统的传递函数矩阵。(1)求(sI-A)-1s-2](sI-A)＝|ssIAIAA(2)求系统的传递函数矩阵G(s)「1第三章-4](1)该温度计的指示从实际水温的10%变化到90%所需的时间是多少？解：(1)温度计是一个一阶环节，指示实际水温的10%变化到90%所需的时间就是温度计指示值的上升时rrjos1jos1ssjod2_飞o*3*1*22391dsss)0s)0Ts+1某控制系统的微分方程为(1)系统单位脉冲响应g(t)以及g(t)=1时的t；11(2)与时间t对应的系统单位阶跃响应和单位斜坡响应的值。1解：(1)由于初始条件为0，对微分方程取拉氏变换可得系统的传递函数G(s)=Y(s)=KR(s)Ts+1T1(2)系统的单位阶跃响应为y(t)=10(1_e_2t)，所以1t1例【3.3】三个二阶系统的闭环传递函数的形式都是C(s)=C(s)=o2nR(s)s2+2飞os+o2nn它们的单位阶跃响应曲线如图3-7中的1、2、3。其中tt是系统1、2的调整时间，ttt是峰值时间。s1s2p1p2p3112233pp12s、s在同一阻尼比线上。因t<t，故有s1s2o1n12n22212121③②h(t)③②①t0tttttt图3-7二阶系统的p响3应曲线图t图3-7二阶系统的p响3应曲线图因t=t，故有pp3o=o23p2p332(3-18)2几几n20t/sd3解依题意，系统闭环传递函数形式为nn由图3-9可见，系统单位阶跃响应稳态值为2，所以nnp2所以(几解得〈l n所以C(s)=5.9注：需要特别注意的是最大超调量的求取，另外二阶系统最大超调量(%只与阻尼比飞有关，利用最大超pn例【3.5】系统方框图如图3-10所示，要求超调量(%=16.3%，峰值时间t=1s，求K与T。ppn系统的开环传递函数G(s)为系统的闭环传递函数为K=故可以求得例【3.6】设某控制系统方框图如图++Knn3-11所示，欲保证阻尼比飞=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差解由图解由图3-11求得系统的开环传递函数G(s)为KRRs+K统的稳态误差为C(s)K=d==s2KKKC(s)根据图3-11及式(3-19)求得给定系统的闭环传递函数为O=KnRR(s)+(1)当T=0时，求系统的脉冲响应函数；r时间t和稳态误差e[定义误差e(t)=r(t)-c(t)]。sss解：(1)当T=0时，控制系统的闭环传递函数为 其脉冲响应函数为(2)当T丰0时，控制系统的闭环传递函数为其特征方程为nnnnnn在单位阶跃输入下，系统输出响应的超调量为上升时间为dn3n系统的单位阶跃响应为稳态误差为sst)wt)w997.89例【3.8】单位反馈系统的开环传递函数为若系统单位阶跃响应以o=2rad/s的频率振荡，试确定振荡时的K和a值。n对应在劳斯表中必然出现某一行的第一列元素或该行全部元素为零的情况。系统闭环特征方程为列劳斯表a飞RR(s)+E(s)KC(s)示出特征根在值范围。C(s)=C(s)=K=K/Tn1=2KTK0K闭环稳定时，应有T-2d特征根的实部是-1，令-1<-2，得2T2T4mK-2oReOT4例【3.10】单位负反馈系统得开环传递函数为要求系统闭环稳定时稳定，试确定K和T的范围，并在T-K的直角坐标图上标出稳定区域。解系统闭环特征方程为列劳斯表KKO2Tsss个极点保持系统的稳态值不变；(2)瞬态性能变化不大。根据这个原则，原开环传递函数近似为近似后的闭环传递函数为d(s)s2(s)s25s40s22ns2nn2406.3252406.325则ttn提示：该例为高阶系统近似为二阶系统的方法，请注意近似原则。解分析系统特征根有3个。首先用劳斯判据判断有几个根不在s左半平面，然后再作代换ss1，判列劳斯表210列劳斯表s(1)问当K1时，系统对r(t)是几型的？22解系统是非单位反馈的，在结构图上误差不能直接得到。因此需要构造一个与原系统等价的单位反馈系系统闭环传递函数为1212K设等价的单位反馈系统的开环传递函数为G(s)，则K1TTd1+KKK=01212K1K01KK01K21Cs)Cs)R(s)+Cs)Cs)R(s)+112K2Gs=(1)闭环系统稳定时k值的范围；(2)若要闭环特征方程的根的实部均小于－1，问k的取值范围。解：闭环特征方程为D(s)=s(1+1s)(1+1s)+k=036即(1)列劳斯阵如下欲使系统稳定，只需82k>0<k<9(2)若要求特征根实部均小于1，可令s=s1，将s平面映射为s平面，只要特征根全部位于s平面的11D(s)=(s1)3+9(s1)2+18(s1)+18k=01111整理得Dss3+6s2+3s+18k10=01列劳斯表13s3s618k10s2s 欲使D(s)的根全处于s的左半平面，则要求11(|149k>0〈3|18k10>0解得99即k值处于这个范围，可使D(s)=0的根实部全小于－1。此时可以认为系统具有1的稳定裕度。提示：该例显示了利用劳斯判据确定系统相对稳定性的方法。d11R(s)+解：闭环系统的传递函数为1 ==可见：闭环系统有一个极点在s右半平面，系统是不稳定的。注意：本题若用下式求特征多项式 (s-1)(s+1)s+1那么特征多项式只有一个s左半平面的根(s=-1)可判得闭环系统是稳定的。但这是错误的因为这断闭环稳定性时，碰到有零点、极点抵消的情况，不要抵消，否则，就会出现错误的结果。的条件：(1)G(s)=k，k为开环放大系数；(2)由单位阶跃函数输入引起的稳态误差为零；(3)闭环A(s)RR(s)+E(s)C(s)解：由单位阶跃引起的误差为由题意知稳态误差为所以limG(s)=0s)0s)0设G(s)=则闭环系统传递函数为特征方程式为11e=lims=0sss)01+G(s)k即d(2)当输入量r(t)为单位阶跃函数时，求系统的自然振荡角频率，阻尼比和系统的动态性能指标t，spnRR(s)E(s)KC(s)r(1)开环极点为2令解得闭环极点为(2)将闭环传递函数写成标准形式 (s)s22ns2 nnnnnn系统的动态指标为arccost0.094dn33t0.094dn33tns44tns44提示：该例显示了典型二阶系统极点、系统参数和动态性能指标的计算方法。出响应为持续振荡时的K值及响应的振荡频率。列出劳斯表169200Ks4s323252.5(2)求振荡频率。振荡角频率可由辅助方程d.19】已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。试求其静态位置、速度和加速度误差系数，并求当输入信号为(a)r(t)1(t)；(b)r(t)4t；(c)r(t)t2；(d)r(t)14tt2时系统的稳态误差。(1)G(s)10s(0.1s1)(0.5s1)解：首先判断系统的稳定性。系统的闭环特征方程为KlimG(s)limKKlimsG(s)limK10vs0s0ass0所以给定输入信号下的稳态误差计算如下：(a)e1p (b)e40.4；ssvKv(c)e4；a (d)eeee。ssdsspssvssa(2)判断系统的稳定性。系统的闭环特征方程为由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系数，也谈不上求稳态误差。说明：可以利用终值定理计算(1)中的稳态误差。在第一个系统中，误差信号可以表示为EsRss(0.1s4Rs，所以42elimsE(s)limss(0.1s1)(0.5s1)40.4sss0s0s(0.1s1)(0.5s1)10s2第四章例4-1设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)K1(s1)s2(s10)试绘制该系统的根轨迹图。解渐近线与实轴的交点1014.5a31分离点与会合点由ds2(s10)s(2s213s20)0dss1(s1)2得s2.51s42可以验证这两个点均为根轨迹上的点。O(O(0(jjjjdOO0(Ks+1)11(2)求分离点、会合点的存在条件。特征方程可以改写为B(s)s+11解得4(5)a=8的情形。此时没有分离点和会合点。根轨迹如图4-3©所示。(6)a=1的情形。此时极点和零点相消，开环传递函数化简为G(s)H(s)=K1。如图4-3(d)所示，根轨迹意味着系统已经失去这些极点和零点。开环系统中可以相消的极点和零点永远是闭环系统的极点和零点。所以根轨迹的第3条分OO0(a(b)2jjjd00(c)(d)(1)在可变参数的某些变化区间，参数微小的变化可能导致根轨迹很大的变化。本例参数在a=9附近变化时，根轨迹就有根本的不同。所以在徒手画根轨迹而又无十分把握时，不要想当然，最好代入几个a有3支根o/r。G(s)=1G(s)=1试以K为变量证明部分根轨迹为圆，并求分离点和会合点。1解分析：该题主要是考察根轨迹的幅值条件和相角条件，只有满足以上条件的点才是根轨迹上的点。G(s)=1=1G(s)=1=1按相角条件+2+3+1即+2+1+3+2+1+3=(+2)(+1)化简上式，得+3)3=整理后得23322由以上圆的方程得分离点为1222会合点为333+32222试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定得开环增益范围。s绘制非最小相位系统根轨迹的法则不变d此题也可按式求根轨迹方程sG(s)==K(3+)(2+)一2+j(5+2)(+j)(+1+j)1(+1)一2+j(2+1)(2+5+6一2)(2+一2)+2(2+1)(2+5)=K+1(2+一2)2+2(2+1)2jK1(2+一2)2+2(2+1)2化简上式得32+2+3+=02即22与按相角条件求得的结果相同。123,4(3)渐近线a33a33a3(4)分离点1111+++=jd较小，可以忽略，则分离点方程经整理可得12d6和d=一2.22，误差为10%在工程上是允许的。2(5)起始角p3由对称性得9=54.5。p4 (6)与虚轴交点用劳斯判据求解，系统特征方程为jp3jp3d112K12K11313K59K832 1K1601K11pppp21121界稳定时的K0界稳定时的K0值，即pp4411以求得根轨迹以求得根轨迹的交点值。辅助方程为52K1s2+K=31j1.56(对应K=23.3时)13,41又KK=1所以使系统稳定的开环增益范围是.335.7<K<16评注(1)若要正确绘制根轨迹图，只要按照基本法则计算即可。再上图中，p,p出发的两条根轨迹，状可由起始角9,9和分离点d决定；由p,p出发的两条根轨迹，其形状可由与虚轴的交点和渐p3p4212近线决定(2)凡开环增益K或K在某一范围稳定的系统称为条件稳定系统。1(1)绘制系统的根轨迹图；(2)为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定K值范围。解分析绘制系统根轨迹图不难，可以利用绘制规则进行绘制，本题中需要注意的是，绘制根轨迹图的开环传递函数是利用写成零极点形式的开环传递函数，所以本题首先需要进行变换，然后利用绘制规则进行绘制；系统的阶跃响应出现衰减振荡的形式也就是说，系统的根轨迹处于复平面时对应的K值范围。(1)绘制系统的根轨迹系统的开环传递函数为11)开环极点(n=3)：p=0，p=1，p=4；无开环零点m=0；因此3条根轨迹分支将趋于无234K4d1,233315)根轨迹与虚轴交点，利用劳斯判据系统特征方程式为1列劳斯表315 5K14K1KKKK41求交点也可用如下方法1(2)系统具有衰减振荡时的K值即为根轨迹在复平面内范围Kjjoj2-j25-1-43-解得轴相交时围为解从图求得系统的开环传递函数为化成标准形式，得1从而可以利用根轨迹绘制规则，绘制根轨迹(1)系统有两个开环极点p=0,p=-2；以及一个开环零点z-4。因为n=2,m=1，系统具有两条根轨1迹其中一条趋于无穷远处。(2)渐近线与实轴正方向的夹角Qan-mk=0 (3)计算根轨迹在实轴上的分离点和会合点坐标。由计算根轨迹在实轴上的分离点与会合点坐标的关系式i=1ij=1jjd得121式中d为分离点或会合点坐标。因为分离点与会合点均位于实轴，所以d为实数。212分是一个以零点2分是一个以零点1z=一4为圆心、以零点到分离点(或会合点)的1 ( (2一 (4)确定给定系统无超调响应的K值范围。数。为此，首先系统无超调响应意味着系统的特征根全部为实数。为此，首先写出系统特征方程式121212解出1212试求：(1)绘制根轨迹并证明复平面上根轨迹部分为圆；(2)系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围；(3)系统最小阻尼比时的闭环极点。解(1)绘制根轨迹123)分离点会合点1B(s)ds121圆心坐标为(一3,j0)，半径为3。(2)求系统欠阻尼时K的范围。先由特征方程求出分离点处的K111122122解得12因为K=3K所以对应的开环增益分别为33即欠阻尼状态时的开环增益范围为djjoABC2-1.260装 (3)求最小阻尼比时的闭环极点。在根轨迹图上作圆的切线OA于A点(A点即为所求极点位置)，由相似三角形关系ABBC=BOAB得AB3BO3又故对应最小阻尼状态时得闭环极点为KGsHsK111根据阻尼比要求jojoj2yj2yx0-1装-2-j2x0-1装-2-j221根据根轨迹的根之和规则可得另一极点为图4-10系统根轨迹图可以认为s是系统的主导极点。系统的闭环传递函数可近似的表示为C(s)=可以近似地运用典型二阶系统估算系统的时域性能指标3KKd超调量调节时间3t10.6ssn例4-9一具有单位反馈的电液伺服系统，其开环传递函数为K11s(s1)(s2s1)32(1)试绘制K从0变化到时的根轨迹1(2)求阻尼比0.5时，系统的主导极点及其对应的开环增益为何值解(1)绘制根轨迹根轨迹对称实轴：n4，有四条根轨迹分支，分别起始于p0,p3,p1j1；终止于无穷远，因23,4渐近线：有四条渐近线与实轴交点为i1ij1j3111.25anm4分离点：系统特征方程可改写为KA(s)s(s3)(s22s2)1B(s)112,3j2,3故不是分离点分离点对应的K值为Kss3s11j1s1j12.30.71.681.684.54s2.3离开复数极点的起始角：离开复数极点s1j1的起始角为pp1p1故s1j1的起始角71.6。s1j1的两条轨迹是否与虚轴相交。已知系统特征方程为11列劳斯表86K86K40.85Ks6.8j0.5j0.51可见，根轨迹分支在K值为40.85K01110303得sj1.122,32,3d。1(2)求飞=0.5时系统的主导极点及系统开环增益作与负实轴成9角的阻尼线(飞线)，与根轨迹相交于s点，处于根轨迹线上的点亦满足幅角条件。所以该dd该主导极点对应的参变量，即根轨迹增益K值：1K=各极点到该点距离的乘积1所以对应主导极点处的系统开环增益K为K=K==0.433试绘制以a为参变量的参量根轨迹的大致图形。解(1)可以求得给定系统的特征方程式为4进一步整理，用不含a的多项式除方程的两边，得4上式已经具有常规根轨迹的标准形式，可以利用常规根轨迹的绘制法则，绘制系统根轨迹。(3)根据方程式dd+1d+1jO22计算根轨迹与实轴相交处(分离点)的坐标d，得d=一116j0一1G0-j2-j214可以解出根轨迹与虚轴相交处的O值为11d从而解得给定系统参量根轨迹的大致图形如图4-12所示。从图可见，参量a1时的系统是不稳定的。例4-11(华中科技大学出版社)设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)10(1s)(0.5s1)(Ts1)(1)画出T变化时闭环系统的根轨迹；(2)求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T值；(3)求出当T20时，闭环系统的单位阶跃响应。解(1)系统的特征方程为该方程可进一步改写成0式中TT129.5系统得等效开环传递函数为由此可画出T为变量的广义根轨迹。由方程10可知，该广义根轨迹满足0。相角条件。(j)(2j)(11/9.5j)2k两边取正切，得2两边取正切，得j0202 用同样的方法可以证明：由两个极点(或零点)和一个实数零点(或极点)构成的开环系统，只要零点(或极点)不在这两个极点(或零点)之间，则复平面上的根轨迹是一个以零点(或极点)为圆心，零点(或极点)到分离点的距离为半径的圆或圆弧。(2)由劳斯判据可求出系统临界稳定时的两个根sj1.5，相应的T9.5。方程求出，此题也可在圆方程中，令0，得到jpj42jpj42zpj41系统根轨迹图4d12(3)T20时，系统的闭环传递函数为C(s)(s)R(s)110(1s)11ss(0.5s1)(20s1)10(1s)ss21.05s1.1单位阶跃响应为已知单位负反馈系统的闭环传递函数为(1)绘出闭环系统的根轨迹(0a)(2)判断(3,j)点是否在根轨迹上；(3)由根轨迹求出使闭环系统阻尼比