北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》第2课时示范公开课教学设计

第一章特殊的平行四边形2矩形的性质与判定第2课时一、教学目标 1.理解并掌握矩形的判定定理，并会用矩形的判定定理进行证明和计算；2.经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.3.能够用综合法证明矩形的判定定理，进一步发展演绎推理能力.4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.二、教学重难点重点：理解并掌握矩形的判定定理，会用矩形的判定定理进行证明和计算.难点：探究证明矩形的判定定理.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【复习回顾】教师活动：先提出问题让学生观察，然后再动画演示.问题：观察下列实物中的矩形，说一说什么是矩形？预设答案：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.追问：矩形具有哪些性质呢？预设答案：矩形的性质：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线互相平分且相等.观察实物图形，回顾矩形的概念回顾矩形的性质通过对实物中的矩形的直观观察及动画演示复习回顾矩形的概念和性质，为本节课要学习的内容作准备.环节二探究新知【合作探究】教师活动：研究矩形的判定方法，先是从矩形的定义出发，接着从对角线的角度，最后从角的角度，从而得出判定矩形的三种方法.思考：矩形是特殊的平行四边形，当平行四边形满足什么条件时，会变成矩形吗？预设答案：定义法判断一个平行四边形是矩形，可以认为是矩形的判定方法一.【归纳】矩形的判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.几何语言∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°∴四边形ABCD是矩形.【做一做】教师活动：播放视频，演示变化过程，当两个对角线长度相等时，用量角器量下∠α，通过量一量及矩形的定义猜测出对角线相等的情况下的平行四边形是矩形.如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.观看右边动画演示回答下列问题：(1)随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？预设答案：(1)随着∠α的变化两条对角线的长度一条变长，另一条变短.(2)当两条对角线长度相等时，平行四边形内的∠α是直角.得出猜想“对角线相等的平行四边形是矩形.”追问：你能证明这个猜想吗？教师可以考虑让学生分组尝试证明，并交流反馈.【证明】已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC，AB∥DC.又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.∴□ABCD是矩形（矩形的定义）.【归纳】矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.符号语言：∵在□ABCD中，AC=BD，∴□ABCD是矩形.【想一想】我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？动画演示四边形的内角是直角的个数，学生观察后得出猜想.预设答案：得出猜想“三个角是直角的四边形是矩形.”追问：你能证明这个猜想吗？教师可以考虑让学生分组尝试证明，并交流反馈.【证明】已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.【归纳】矩形的判定定理3：三个角是直角的四边形是矩形.符号语言：∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.想一想：现在你知道如何判定一个四边形为矩形了吗？预设答案：从平行四边形的角度：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.从四边形的角度：有三个角是直角的四边形是矩形.【议一议】教师活动：课件出示检查方法，引导学生思考回答.如果仅有一根较长的绳子，你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？预设答案:①先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.②再用绳子测量对角线是否相等，相等则是矩形.思考：说一说这样检查的理由？预设答案：对角线相等的平行四边形是矩形.学生理解观看视频或有条件的同学动手操作说出猜想熟悉证明过程熟悉矩形的判定定理及其几何语言观察思考熟悉证明过程熟悉矩形的判定定理及其几何语言自由说一说思考回答思考回答明确矩形的定义可以作为判定矩形的方法之一，并学会用几何语言描述.观看视频，动态演示变化过程，让学生直观感知对角线的变化带来平行四边形的改变，体会对角线相等的平行四边形是矩形，自然引出矩形的判定定理2.通过证明让学生明确矩形的判定定理2，培养学生的逻辑推理能力.通过归纳进一步熟悉矩形的判定定理，培养归纳概括能力.鼓励学生根据自己的实际情况，进行实际操作与探究，引导学生探索出矩形的另一种判定方法.通过证明让学生明确矩形的判定定理3，培养学生的逻辑推理能力.通过归纳进一步熟悉矩形的判定定理，培养归纳概括能力.通过归纳总结从图形所属的范围考虑矩形的判定方法，培养归纳概括能力.鼓励学生利用矩形的判定定理解决问题，让学生体会数学与生活的联系.环节三应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例2如图，在£ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.求£ABCD的面积.分析：由平行四边形的性质可得，OA=OC，OB=OD.由△ABO是等边三角形，得OA=OB=AB=4，从而有AC=BD=2OA=8，所以□ABCD是矩形.再由矩形的性质得∠ABC=90°，从而由勾股定理求出BC的长，即可求出□ABCD的面积.解:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴£ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴S£ABCD=AB·BC=.明确例题的做法让学生在探究过程中进一步加深对矩形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.已知：如图，在£ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC.求证：四边形ABCD是矩形.2.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE.(1)试判断四边形ABEC的形状；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？3.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论.答案：1.证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，M是AD边的中点，∴MA=MD，且MB=MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A=∠D.又∵∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.2.解:(1)四边形ABEC是平行四边形．证明：∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD，∵AD=DE，∴四边形ABEC的对角线互相平分，∴四边形ABEC是平行四边形.(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边ABEC是矩形．理由如下：有一个角是角的平行四边形是矩形.3.证明:∵CD∥MN，BC，BD分别为∠MBA，∠ABN的平分线，∴∠ABD＝∠DBN＝∠CDB，∠ABC＝∠CBM＝∠DCB，且∠CBD＝90°，∴OC＝OB＝OD＝OA．∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，则∠DAO＝∠OBC，AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ACBD为平行四边形．又∵AB＝CD，∴四边形ACBD为矩形．自主完成练习，然后集体交流评价.通过课堂