北师大版九年级数学上册《应用一元二次方程》第1课时示范公开课教学设计

第二章一元二次方程6应用一元二次方程第1课时一、教学目标 1.利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.2.经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程.3.在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的般步骤.4.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，增强数学应用意识和能力.二、教学重难点重点：利用一元二次方程解决简单的行程问题和几何问题.难点：分析具体问题中的数量关系、建立方程模型解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一知识回顾【复习回顾】教师活动：学生已学过列一元一次方程解应用题，通过想一想环节让学生说出列方程解应用题的一般步骤，再选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入新课的学习.想一想：列方程解应用题的一般步骤是什么？预设：①审：审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；②设：设未知数，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种；③列：根据题中的等量关系列方程；④解：求出所列方程的解；⑤验：“检验”，即验证是否符合题意；⑥答：回答题目中要解决的问题.【情境导入】你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？原题：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？(1)在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？预设：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.(8-x)2+(6+x)2=102.x2-2x=0.x1=0(舍)，x2=2.因此，梯子底端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等.(2)如果梯子长度是13m，梯子顶端与地面的垂直距离为12m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？预设：设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米.(12-x)2+(5+x)2=132.x2-7x=0.x1=0(舍)，x2=7.因此，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离相等为7m.思考并举手回答.尝试列方程，独立解决复习回顾已学知识，并为新课的学习做准备.选用“梯子下滑”的问题作为情境，引入用一元二次方程解决实际问题的内容.环节二典例探究【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200nmile处有一重要目标B，在B的正东方向200nmile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于点E，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1nmile）分析：(1)要求DE的长，需要如何设未知数？预设：一般求什么设什么，可设DE的长为xnmile.(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？预设：根据已知条件，可考虑利用勾股定理建立等量关系.(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？预设：连接DF，由三角形中位线得AB∥DF，从而DF⊥EF，构造出Rt△DEF.(4)构造出Rt△DEF后，三条边长DE，DF，EF分别是多少？预设：DF=100nmile，DE=xnmile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.解：连接DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，且DF=12∵AB⊥BC，AB=BC=200nmile，∴DF⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile.设相遇时补给船航行了xnmile，那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2，整理，得3x2-1200x+100000=0.解这个方程，得x1=200-100x2=200+100所以，相遇时补给船大约航行了118.4nmile.例2如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？分析：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，则AP=tcm，BQ=2tcm，所以PB=(6-t)cm由S五边形APQCD=S矩形ABCD-S△PBQ，可得：64=6×12-2t(6-t)÷2.从而求得满足条件的解即可.解：设t秒后五边形APQCD的面积为64cm2，根据题意，得 64=6×12-2t(6-t)÷2整理得t2-6t+8=0.解方程，得t1=2，t2=4.因此，在第2秒和第4秒时五边形的面积都是64cm2.明确例题的做法尝试用式子表示边的关系，并找到等量关系在例题的教学中，引导学生关注列方程解应用题的三个重要环节：其一是整体地、系统地弄懂题意；其二是把握问题中的等量关系；其三是正确求解方程并检验解的合理性.环节三总结归纳【方法归纳】通过上述两个例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨，列一元二次方程解实际问题的一般步骤.想一想：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？注意：在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求.独立思考，交流讨论明确列一元二次方程解决实际问题的步骤，培养学生的总结概括能力.环节四巩固练习教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？2.有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？3.如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？4.如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为0.78m2，上口比渠底宽0.6m，渠深比渠底少0.4m，求渠深.答案：1.解：如图所示，甲、乙二人同时从点O出发，在点B处相遇.设甲乙两人走的时间为x，则甲走的路程为3x，乙走的路程为7x，依题意得：102+(3x)2=(7x-10)2解得：x1＝72，x2所以，相遇时，甲走了10.5步，乙走了24.5步.2.解:设较多的钱为x，则较少的为20-x.由题意，可得x(20-x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)．所以，赛义德得到的钱数为12.3.解:设经过ts，△PCQ面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得12(8－t)(6－t)＝12×6×8×解方程，得t1＝2，t2＝12(舍去)．所以，2s后△PCQ面积为Rt△ACB面积的一半．4.解：设渠深为xm，则渠底为(x＋0.4)m．S＝12[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]x解得x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．所以，渠深