第2课时函数的单调性和最值（解析版）

第2课时函数的单调性和最值编写：廖云波【回归教材】1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2.导数单调性问题(1)函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．(2)已知函数的单调性问题单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.3.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值4.函数相加或相减后单调性：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减；增-减=增+增=增；减-增=减+减=减）【典例讲练】题型一求函数的单调区间【例1-1】函数的单调递增区间是______．【答案】【解析】【分析】画出函数的图象求解.【详解】函数的图象如图所示：由图象知：其单调递增区间是，故答案为：【例1-2】函数的单调增区间是___________.【答案】##【解析】【分析】根据复合函数的单调性法则，指数函数，二次函数的性质即可求出．【详解】设，函数的单调减区间是，增区间是，而函数在上递减，根据复合函数的单调性法则可知，函数的单调增区间是．故答案为：．【例1-3】若函数f（x）＝6lnx－x2＋x，则f（x）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求导，解不等式可得.【详解】f（x）定义域为，又，令，∵x＞0，∴，由解得或，则，即的单调减区间为．故选：B．归纳总结：【练习1-1】函数的单调递增区间是（）A．（3，+∞）B．（－∞，3）C．（4，+∞）D．（－∞，2）【答案】D【解析】【分析】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”.【详解】先考虑定义域：，解得或，是开口向上的抛物线，对称轴为x=3，在上单调递增，在上单调递减，函数是由和复合而成的，是减函数，根据复合函数同增异减的原理，当时是增函数，故选：D.【练习1-2】函数的单调减区间是______．【答案】，【解析】【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．【详解】去绝对值，得函数当时，函数的单调递减区间为当时，函数的单调递减区间为综上，函数的单调递减区间为，故答案为：，题型二单调性的判断与证明【例2-1】已知函数，则函数在定义域上的单调性为。【答案】单调递增【例2-2】判断并证明在的单调性.【答案】函数在单调递增【解析】【分析】根据函数单调性的定义进行证明即可【详解】根据函数单调性的定义：任取，所以因为，所以，所以所以原函数单调递增。归纳总结：【练习2-1】已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性并证明.【答案】(1)1(2)在上为减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，再根据奇函数的定义检验即可；（2）根据指数型复合函数的单调性判断，再利用定义法证明即可；(1)解：由为定义在上奇函数可知，解得.经检验，此时对任意的都有故.(2)解：由递增，可知在上为减函数，证明如下：对于任意实数，，不妨设，则.∵单调递增，且，∴即，，，∴，∴，故在上为减函数.题型三利用单调性比大小【例3-1】已知函数对任意实数都有，并且对任意，都有，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意得到函数关于对称，且在区间上单调递减函数，在区间上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数对任意实数都有，可得函数关于对称，又由对任意，都有，可得函数在区间上单调递减函数，则在区间上单调递增函数，由，所以，所以A不正确；由，所以，所以B不正确；由，所以，所以C正确；由，所以，所以D不正确.故选：C.【例3-2】若，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可判断C、D，令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断A、B；【详解】解：令，，则，故在上单调递减，若，则，即，所以，故C正确，D错误；令，，则，令，，所以，所以在上单调递增，又，，所以，使得，即当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故与大小关系无法判断，故A、B均错误；故选：C归纳总结：【练习3-1】下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性可判断各选项的正误.【详解】构造函数，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，对于A选项，，则，即，所以，，A对；对于B选项，，则，即，所以，，B错；对于C选项，，则，即，所以，，所以，，C错；对于D选项，，则，即，所以，，D错.故选：A.题型四利用单调性求最值【例4-1】已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】原问题等价于，使得，利用函数的单调性求出最大值即可求解.【详解】解：，使得，等价于，，由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，又在上单调递增，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.【例4-2】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，由函数在区间上是增函数，可得在区间上恒成立，结合二次函数的性质即可求得答案.【详解】由题意得，，因为函数在区间上是增函数，故在区间上恒成立，故或，解得或或，则，故选：C归纳总结：【练习4-1】若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.【详解】令，所以，设，，函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，因为，，所以函数在时，最大值为，要想不等式在区间上有解，只需，故选：C题型五利用单调性求参数及其范围【例5-1】若函数在区间上是单调递减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；【详解】解：函数的对称轴为，开口向上，又函数在上单调递减，所以，解得，即；故选：B【例5-2】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.【详解】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C.【例5-3】已知函数若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即实数的取值范围为：.故选：A.【例5-4】若函数在单调递增，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据给定条件利用对数型复合函数单调性列式求解作答.【详解】函数中，令，函数在上单调递增，而函数在上单调递增，则函数在上单调递增，且，因此，，解得，所以实数a的取值范围为.故选：D归纳总结：【练习5-1】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，解之即可得出答案.【详解】因为函数是定义在R上的增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B.【练习5-2】若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，再探讨其单调减区间，借助集合的包含关系列式求解作答.【详解】函数的定义域是，而函数在区间上是减函数，因函数在区间上是减函数，则有，且，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B【请完成课时作业（八）】【课时作业（八）】A组基础题1．下列函数中，在其定义域上是单调递增函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由指数函数、反比例函数、正切函数和对数函数单调性可直接得到结果.【详解】对于A，在上单调递减，A错误；对于B，在，上单调递减，B错误；对于C，在上单调递增，C错误；对于D，在上单调递增，D正确.故选：D.2．的单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域，再换元令，则，求出的单调区间，再利用复合函数单调性的求法得结果【详解】由，得或，则函数的定义域为，令，则，因为在上单调递减，在上单调递增，在定义域内为减函数，所以在上递增，在上递减，所以的单调增区间为，故选：C3．已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为，当时函数单调递减，且，当时函数单调递减，且，所以函数在上是单调递减，所以不等式等价于，解得．即不等式的解集为；故选：C4．已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由单调性定义可知在上单调递减，由分段函数每一段上的单调性和分段处的函数值大小关系可构造不等式组求得结果.【详解】对任意的都有成立，在上单调递减，，解得：，即实数的取值范围为.故选：B.5．若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】不等式变形后，构造函数确定单调性得出，然后由不等式的性质判断、对数函数性质判断各选项．【详解】由得，设，易知是增函数，所以由得，当时，C不存在，错误，A错误，，则，，从而，D错误．由不等式性质，B正确．故选：B．6．函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先由偶函数得，再比较的大小，结合单调性即可求解.【详解】由偶函数知，又，，，显然，又在单调递增，则.故选：C.7．已知函数，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的性质比较、、大小，再由单调性比较a、b、c大小.【详解】由，，即，所以，又，所以，而递增，故故选：D8．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】对函数求导，令即可求得单调递增区间.【详解】，，令，解得，单调递增区间为：.故选：D.9．已知函数，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】构造函数，分析可知函数为偶函数，且在上为减函数，由已知可得出，可得出，结合对数函数的单调性解此不等式即可得解.【详解】构造函数，，则函数为偶函数，且该函数在上为减函数，由可得，即，所以，，可得，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.10．(多选题)关于函数，下列判断正确的是（）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】由题可得，进而即得.【详解】因为，所以在和上单调递减，则A，C正确，B，D错误.故选：AC.11．函数的单调减区间为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的定义域，利用求复合函数单调区间的方法求解作答.【详解】函数中，，解得或，即函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为.故答案为：12．已知函数的单调增区间为_______．【答案】和.【解析】【分析】分和分别求出函数的单调增区间即可得答案.【详解】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，时，，对称轴，开口向下，在递增，函数的递增区间是和.故答案为：和.13．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】把函数解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数的和的形式，由函数在为增函数得出，从而得到实数的取值范围．【详解】解：函数，由复合函数的增减性可知，若在为增函数，，，故答案为：．14．已知函数为偶函数．(1)求a的值，并证明在上单调递增；(2)求满足的x的取值范围．【答案】(1)；证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由偶函数的定义解方程可得a=1，再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可得结论；（2）由偶函数的性质：，结合（1）的结论，原不等式化为，再由绝对值不等式的解法可得所求解集.(1)解：由题意函数为偶函数，∴，即∴对任意恒成立，解得．∴任取，则由，可得，∴，即，∴在上单调递增．(2)由偶函数的对称性可得在上单调递减，∴，∴，解得，∴满足的x的取值范围是．B组能力提升能1．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】依题意可得在上单调递减，根据偶函数的性质可得在上单调递增，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；【详解】解：因为函数满足对任意的，有，即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，又，所以，函数的