人教A版选择性必修第二册431第2课时等比数列的性质及应用作业

第2课时等比数列的性质及应用课后训练稳固提升A组1.数列{an}为一个等比数列,首项为a1,公比为q,且数列{an}为递减数列,那么有()A.|q|<1B.a1>0,q<1C.a1>0,q<1或a1<0,q<1D.以上都不对答案:D2.{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=8,那么a1+a10=()A.7 B.5 C.5 D.7解析:设数列{an}的公比为q,由所以所以所以a1+a10=7.答案:D3.正项等比数列{an}中,a2·a3=a4,假设S3=31,那么an=()A.2·5n B.2·5n1 C.5n D.5n1解析:∵a2·a3=a4,∴a1q·a1q2=a1q3,即=a1≠0,解得a1=1.∵S3=a1+a2+a3=31,即1+q+q2=31,解得q=5,∴an=5n1.答案:D4.某种细菌在培育过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成()A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个解析:由于每20分钟分裂一次,所以经过3小时要分裂9次,即29=512(个).答案:B5.等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,假设T13=4T9,那么a8a15=()A.±2 B.±4 C.2 D.4解析:∵T13=4T9,∴a1a2…a9a10a11a12a13=4a1a2…a9.∴a10a11a12a13=4.又a10·a13=a11·a12=a8·a15,∴(a8·a15)2=4,∴a8a15=±2.∵{an}为递减数列,∴q>0,∴a8a15=2.答案:C6.在等比数列{an}中,假设a15=10,a45=90,那么a30=.

解析:由等比数列的性质,可知a15,a30,a45成等比数列,故=a15·a45=10×90=900,a30=±30.答案:30或307.设公比不为1的等比数列{an}满意a1a2a3=,且a2,a4,a3成等差数列,那么公比q=,数列{an}的前4项的和为.

解析:在公比不为1的等比数列{an}中,由a1a2a3=,得=,∴a2=.∵a2,a4,a3成等差数列,∴2a4=a2+a3,即2a2q2=a2+a2q,∴2q2q1=0,解得q=(q≠1).∴a1==1.那么S4=1.答案:8.在各项均为正数的等比数列{an}中,假设log2(a2a3a5a7a8)=5,那么a1a9=.

解析:在各项均为正数的等比数列{an}中,∵log2(a2a3a5a7a8)=log2=5log2a5=5,∴a5=2,∴a1a9==4.答案:49.在等比数列{an}中,a2a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比.解:设该数列的公比为q.由,得化简得解得(q=1舍去).故首项a1=1,公比q=3.10.数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.分析:要求出等比数列中的某一项,可先求出其他一项和q,再利用an=amqnm求解.解:∵数列{an}为等比数列,∴a1a9=a3a7=64.又a3+a7=20,∴a3,a7是方程t220t+64=0的两个根.解方程,得t1=4,t2=16,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4.当a3=4时,a3+a7=a3+a3q4=20,∴1+q4=5.∴q4=4.∴a11=a3q8=4×42=64.当a3=16时,a3+a7=a3(1+q4)=20,∴1+q4=.∴q4=.∴a11=a3q8=16×=1.综上可知,a11的值为64或1.B组1.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=6,那么a1a2·…·a10等于()A.1 B.35 C.15 D.30解析:由等比数列的性质,得a5a6=a4a7,∵a5a6+a4a7=6,∴2a5a6=6,∴a5a6=3,∴(a1a2·…·a10)2=(a5a6)10=310.又等比数列{an}的各项均为正数,∴a1a2·…·a10==35.答案:B2.(多项选择题)设{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列,q是其公比,Kn是其前n项的积,且K5<K6,K6=K7>K8,那么以下选项中成立的是()A.0<q<1B.a7=1C.K9>K5D.K6与K7均为Kn的最大值解析:依据题意,依次分析选项.对于A,由K5<K6,可得a6=>1,那么q=∈(0,1),故A正确;对于B,假设K6=K7,那么a7==1,故B正确;对于C,{an}是各项为正数的等比数列,且q∈(0,1),K5<K6,K6=K7>K8>K9,得a6·q=1,K5=,K9=K6·a7·a8·a9=K6··q3,故>1,那么有K9<K5,故C错误;对于D,结合K5<K6,K6=K7>K8,可得D正确.答案:ABD3.各项均不为0的数列{an}满意=anan+2(n∈N*),假设a3=1,a7=4a3,那么a4a5a6=()A.±8 B.8 C.8 D.16解析:∵数列{an}满意=anan+2(n∈N*),∴{an}是等比数列,∴a3,a5,a7同号.∵a3=1,a7=4a3,∴a5==2,∴a4a5a6==8.答案:C4.数列{an}为各项都为正数的等比数列,a1=1,S3=7,假设a1a2a3·…·an=433,那么n=()A.10 B.11 C.12 D.13解析:由数列{an}为各项都为正数的等比数列,a1=1,得S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=7,化简得q2+q6=0,解得q=2或q=3(不合题意,舍去);又a1a2a3·…·an=433,所以1×2×22×23×…×2n1==266,即=66.化简得n2n132=0,解得n=12或n=11,所以n=12.答案:C5.9,a1,a2,1四个数成等差数列,9,b1,b2,b3,1五个数成等比数列,那么b2(a2a1)=.

解析:∵9,a1,a2,1四个数成等差数列,∴1=9+3(a2a1),解得a2a1=.∵9,b1,b2,b3,1五个数成等比数列,∴=(9)×(1),且b2<0,解得b2=3.∴b2(a2a1)=3×=8.答案:86.设等比数列{an}的前n项之积为Tn(n∈N*),am1am+12am=0,且T2m1=128,那么m=.

解析:∵{an}为等比数列,∴am1am+1=,∴am1am+12am=2am=0,得am=0(舍)或am=2.又T2m1==22m1=128=27,∴2m1=7,得m=4.答案:47.正项等比数列{an}满意a7=a6+2a5,假设存在两项am,an,使得am·an=16,那么的最小值为.

解析:设正项等比数列{an}的公比为q,易知q≠1,由a7=a6+2a5,得到a6q=a6+2,解得q=1或q=2.由于{an}是正项等比数列,所以q>0,因此q=1不合题意,所以q=2.由于aman=16,所以a1·2m1·a1·2n1=16,所以2m+n2=24,即m+n=6(m>0,n>0),故+2+1=,当且仅当,即m=,n=时,等号成立.答案:8.某工厂三年的生产方案是从其次年起每一年比上一年增长的产值都相同,三年的总产值为300万元.假如第一年、其次年、第三年分别比原方案产值多10万元、10万元、11万元,那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同,求原方案每年的产值.解:由题意得,原方案三年中每年的产值组成等差数列,设为ad,a,a+d(d>0),那么有(ad)+a+(a+d)=300,解得a=100.又由题意知(ad)+10,a+10,(a+d)+11组成等比数列,即(a+10)2=[(ad)+10][(a+d)+11].将a=100代入上式,得1102=(110d)(111+d),即d2+d110=0.解得d=10或d=11(舍去).原方案三年的产值分别为90万元,100万元,110万元.9.数列{an}为等差数列,且公差d≠0,{