第五章二次曲线的一般理论5.1-5.2

§5.1-5.2:第五章1、熟记二次曲线方程中的有关记号；2、掌握二次曲线与直线的相关位置及判别方法。三、中心四、渐近线一、二次曲线与直线的相关位置二、二次曲线的渐近方向3、掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法4、能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类F(x,y)a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0,二次曲线(二元二次方程):预备知识

一、复元素

1.复点：若x,y中至少有一个是虚数共轭虚点:实点与虚点统称为复点.(x,y)若x,y为实数实点虚点2.

复向量：设M1(x1,y1)与M2(x2,y2)为平面上的两复点,复向量若x2x1与y2y1中至少有一个虚数时，称它虚向量若点M(x,y)满足:(为复数)称M分M1M2成定比.当平面上建立了笛卡尔坐标系之后，若对应坐标是共轭复数.3.复直线：方程叫做由M1(x1,y1),M2(x2,y2)决定的直线的参数方程,如果A,B,C与三个实数成比例,则直线称为实直线,(t为参数，它可为任意的复数)消去参数t得Ax+By+C

=0,称为直线的一般式方程，P187本章讨论实系数的曲线方程,由于平面引入虚点,实系数方程表示的曲线将含许多虚点.注:否则称为虚直线.二、有关记号

F(x,y)a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0F1(x,y)a11x+a12y+a13

F2(x,y)a12x+a22y+a23F3(x,y)a13x+a23y+a33，(x,y)a11x2+2a12xy+a22y2

F(x,y)xF1(x,y)+yF2(x,y)+F3(x,y)二次曲线F(x,y)的系数矩阵.叫做(x,y)的矩阵.令则令是F(x,y)的二次项部分约定符号

练习:F(x,y)=2x2xy

y2x2y1=0(两个实根t1≠t2)=[XF1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)]2(X,Y)F(x0,y0)设二次曲线为过点(x0,y0)且具有方向X:Y的直线为将②代入①得:(X,Y)t2+2[XF1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)]t

+F(x0,y0)=0F(x,y)a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

①②一、二次曲线与直线的相关位置1.(X,Y)02.(X,Y)=0②与①有两个不同的实交点；②与①有两个重合的实交点;

②与①有两个共轭的虚点.(1)>0:(2)=0:(3)<0:②与①有“唯一的实交点,或无交点,或直线②在①上2[XF1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)]

t

+F(x0,y0)=0称X:

Y为非渐近方向

称X:

Y为渐近方向

平行于非渐近方向的直线与①总有两个交点,这两点的线段称为弦

(两个实根t1=t2)(两个共轭虚根t1,t2)P189设二次曲线为过点(x0,y0)且具有方向X:Y的直线为将②代入①得:(X,Y)

t2+2[XF1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)]t

+F(x0,y0)=0F(x,y)a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33,

①②一、二次曲线与直线的相关位置2.(X,Y)=0(1)X

F1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)

0时,(2)XF1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)

=0,(3)XF1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)

=F(x0,y0)=0时,2[XF1(x0,y0)

+YF2(x0,y0)]

t

+F(x0,y0)=0②与①有唯一的实交点②与①无交点；②全部在二次曲线①上.F(x0,y0)0时,④(惟一实根t

)(无解

)(t取任何值)二、渐近方向求法:(X,Y)=a11X

2+2a12XY+a22Y

2=0(a11,a12,a22不全为零)结论:(1)若a11≠0，③(2)若a22≠0，则a12≠0，∴X:Y=1:0或0:1而此时(3)若a11=a22

=0,这时2a12XY=0,二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无数多.二次曲线①按其I2>0(2)抛物型曲线：(3)双曲型曲线：(1)椭圆型曲线：I2=0I2<0.(有两个虚渐近方向)(有一个实渐近方向)(有两个实渐近方向)渐近方向分类:P192求法:三.中心C:若点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(对称中心).二次曲线Γ:F(x,y)=0的中心坐标由下列方程组决定推论1：(0,0)是二次曲线的中心曲线方程中不含x与y的一次项.二次曲线①按其中心分类:(1)

中心曲线

(2)

非中心曲线即:(有唯一中心)1

无心曲线:2

线心曲线：(没有中心)(有一条中心直线)抛物型曲线椭圆型,双曲型曲线方程?P194F1F20xy四、渐近线:通过二次曲线的中心且以渐近方向为方向的直线求法:方法1：中心C(x0,y0),渐近方向X:Y(即(X,Y)=0)若二次曲线有渐近线，则它的两渐近线方程是P196.5(1)(xx0,yy0)0C(x0,y0)为二次曲线的中心.方法2：定理2：二次曲线的渐近线与这二次曲线关系:或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上.(2)非中心曲线双曲型曲线：椭圆型曲线：(1)

中心曲线

1

无心曲线:2

线心曲线：(即)(抛物型曲线)：.(与中心是否在二次曲线上有关)曲线的渐近线若二次曲线有渐近线，则它的两渐近线方程是P196.5(1)(xx0,yy0)0C(x0,y0)为二次曲线的中心.⑵设(x,y)为渐近线上任意一点，则曲线的渐近方向为证明：X:Y=(xx0):(yy0),所以(xx0,yy0)=0,写成(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0.P196.8：证明以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能定理2：二次曲线的渐近线与这二次曲线关系:或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上.F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0，分析即:当F(x0,y0)≠0时，渐近线与这二次曲线没有交点渐近线全部在二次曲线上.当F(x0,y0)=0时，将②代入①得:(X,Y)=0.(X,Y)t2+2[XF1(