3.1-二维随机变量的定义、分布函数

体重X身高Y例2：检查某大学的全体学生的身体状况,例1飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的.从其中随机抽取一个学生，分别以X

和Y

表示其体重和身高.多个随机变量举例3.1二维随机变量及其分布例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。任务：需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。3.1.1二维随机变量的定义、分布函数定义3.1.1

设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称为Ω上的一个二维随机变量。向量（X，Y）二维随机变量（X,Y）的几何意义二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数定义3.1.2称为二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的含义几何解释：

F(x,y)表示随机点(X

,Y)落在以(x,y)为顶点,且位于该点左下方的无穷矩形内的概率.x1x2y1y2

P（x1X

x2，y1Y

y2）=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)用联合分布函数F(x,y)表示矩形域概率P（x1

X

x2，y1

Y

y2）F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)性质（1）性质（2）性质（3）性质（4）二维随机变量的联合分布函数的性质F(x,y)分别关于X和Y单调不减；0≤F(x,y)≤1

F(x,－

∞)=0；F(－

∞,y)=0

F(－

∞,－

∞)=0；F(+∞,+∞)=1F(x,y)分别关于X和Y右连续；3.1.2二维离散型随机变量3.1.2二维离散型随机变量定义3.1.3

若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式

表格形式P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…XYx1x2…xn…y1p11p12…p1n…………………ympm1pm2…pmn…………………Pij的性质例题讲解例1一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(X,Y)的联合分布律。(X,Y)的可能取值为(1，1),(1，2),(2，1),(2，2).P{X＝1，Y＝1}=P{X＝1，Y＝2}=P{X＝2，Y＝1}=P{X＝2，Y＝2}=1/31/3２1/30１２１ＹＸ解(1/3)×(2/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，(2/3)×(1/2)＝1/3，0箱内装有12只开关，其中2只是次品，现从箱内随机抽取二次，每次取一只，取后不放回，求(X,Y)的联合分布律。其中：练一练1010XY例2.设随机变量

X

在1,2,3中等可能地取值,

Y

在1—X

中等可能地取整数值,求(

X,

Y

)的分布列及F(2,2).解1/31/60XY123

1231/61/91/91/900=++=2/

3

F

(

x

,y)=P

(

X

x

,Y

y)F

(

2

,2)

1/3Y123X1231/61/61/91/91/9000=P

(

X

2,Y

2)(X,Y)的联合分布律如下：YX-1012

k求（1）k=?;(2)F(x,y)=?=-1120XY3.1.3二维连续型随机变量定义3.1.4(二元连续型随机变量)

若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式

则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度的性质

（1）非负性（2）正则性（3）可导性几何解释=曲顶柱体的体积xof(x,y)G（4）（X,Y)落在平面区域G上的概率例题讲解例1：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度

求：⑴系数A；⑵F(x,y)；⑶P{X<2,Y<1};

(4)P{2X+3Y≤6}求：⑵F(x,y)；xy解(3):

P{X<2,Y<1}21{x<2,y<1}322x+3y=6xy0解(4):二维均匀分布设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则称（X,Y)在D上服从均匀分布.