线性空间和线性映射演示文稿

线性空间和线性映射演示文稿目前一页\总数九十五页\编于八点（优选）线性空间和线性映射目前二页\总数九十五页\编于八点集合集合元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）例：数域是一个集合含有加法+和乘法*含有元素0，满足对任何元素a，有a+0=a；含有1，满足对任何元素a，有a*1=a；任何元素a存在负元素b，满足a+b=0；非零元素a存在逆元素b，满足a*b=1；对加法和乘法封闭常用数域有：有理数域、实数域、复数域目前三页\总数九十五页\编于八点映射映射：集合S到集合S‘的一个映射是指一个法则(规则)f:S→S’，对S中任何元素a，都有S’中的元素a‘与之对应，记为：f(a)=a’或a→a’。一般称a’为a的象，a为a’的原象。变换：若S=S‘，则称映射为变换。映射的相等：设有两个映射f:S→S’和g:S→S’，若第任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。映射的乘积(复合)：若f:S1

→S2和g:S2→S3，则映射的乘积g○f

定义为：g○f(a)=g(f(a))。在不至混淆的情况下，简记g○f

为

gf

目前四页\总数九十五页\编于八点映射的例子例子1：设集合S是数域F上所有方阵的集合，则f(A)=det(A)为S到F的映射。例2：设S为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为S到S的变换。例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：

为S到S上的一个变换。目前五页\总数九十五页\编于八点线性空间的定义定义：设V是一个非空的集合，F是一个数域，在集合V中定义两种代数运算,一种是加法运算，用+来表示，另一种是数乘运算,用∙来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：（1）加法交换律：α+β=β+α（2）加法结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)（3）零元素：在V

中存在一个元素0，使得对于任意的α∈V都有

α+0=α（4）对于V中的任意元素α都存在一个元素β使得：α+β=0目前六页\总数九十五页\编于八点线性空间的定义（续）（5）数1：对α∈V，有：1∙α=α（6）对k,l∈F,α∈V有：(kl)∙α=k

∙(l

∙α)（7）对k,l∈F,α∈V有：(k+l)∙α=k

∙α+l

∙α（8）对k∈F,α,β∈V有：k

∙(α+β)=k

∙α+k

∙β称这样的集合V为数域F上的线性空间。可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。目前七页\总数九十五页\编于八点线性空间的例子例1：全体实函数集合RR构成实数域R上的线性空间。例2：复数域C上的全体m×n阶矩阵构成的集合Cm×n为C上的线性空间。例3：实数域R上全体次数小于或等于n的多项式集合R[x]n构成实数域R上的线性空间。例4：全体正的实数R+在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：对任意k∈R,a,b∈R+

目前八页\总数九十五页\编于八点

例5：R∞表示实数域R上的全体无限序列组成的的集合。即线性空间的例子（续）则R∞为实数域R上的一个线性空间。在R∞中定义加法与数乘：目前九页\总数九十五页\编于八点例6在中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成R上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于都有线性空间的例子（续）例7在中满足Hilbert条件的无限序列组成的子集合构成R上的线性空间。Hilbert条件是：级数收敛目前十页\总数九十五页\编于八点线性空间的基本概念及其性质基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。基本性质：

（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩小于等于向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。目前十一页\总数九十五页\编于八点例1实数域R上的线性空间RR中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的实数。例2实数域R上的线性空间RR

中，函数组是一组线性无关的函数，其中为一组互不相同的正整数。例3实数域R上的线性空间RR中，函数组也是线性无关的。目前十二页\总数九十五页\编于八点例4实数域R上的线性空间RR中，函数组与函数组都是线性相关的函数组。目前十三页\总数九十五页\编于八点线性空间的基底与维数定义：设V为数域F上的一个线性空间。如果在V中存在n个线性无关的向量，使得V中的任意一个向量都可以由线性表出:则称为V的一个基底；为向量在基底下的坐标。此时我们称V为一个n维线性空间，记为dimV=n。目前十四页\总数九十五页\编于八点例1实数域R上的线性空间R3中向量组与向量组基底的例子都是线性空间R3的基底，R3是3维线性空间。目前十五页\总数九十五页\编于八点例2实数域R上的线性空间中的向量组与向量组都是的基。是4维线性空间。基底的例子（续）目前十六页\总数九十五页\编于八点例3实数域R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向量组与向量组都是Pn的基底，Pn的维数为n+1。注意：

通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。基底的例子（续）目前十七页\总数九十五页\编于八点例4在4维线性空间中，向量组

与向量组是其两组基，求向量在这两组基下的坐标。目前十八页\总数九十五页\编于八点解：设向量A在第一组基下的坐标为于是可得解得同样可解出在第二组基下的坐标为目前十九页\总数九十五页\编于八点设（旧的）与新的）是n维线性空间V的两组基底，它们之间的关系为基变换与坐标变换目前二十页\总数九十五页\编于八点将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称n阶方阵是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵(可逆)，那么上式可以写成目前二十一页\总数九十五页\编于八点任取，设在两组基下的坐标分别为与，那么我们有该式被称为坐标变换公式。于是有：目前二十二页\总数九十五页\编于八点与向量组例1

在4维线性空间中，向量组为其两组基，求从基到基的过渡矩阵，并求向量在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式目前二十三页\总数九十五页\编于八点向量A在第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得A在第二组基下的坐标为目前二十四页\总数九十五页\编于八点定义设V为数域F上的一个n维线性空间，W为V的一个非空子集合，如果对于任意的以及任意的都有那么我们称为的一个子空间。例1对于任意一个有限维线性空间，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间以及线性空间本身.线性空间的子空间目前二十五页\总数九十五页\编于八点例2设，那么线性方程组的全部解为维线性空间的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例3设为维线性空间中的一组向量，那么非空子集合

目前二十六页\总数九十五页\编于八点构成线性空间的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称为该子空间的生成元。的维数即为向量组的秩，的最大无关组为基底。例4实数域R上的线性空间中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成的子空间，目前二十七页\总数九十五页\编于八点子空间的交与和两个子空间的交:两个子空间的和:子空间交与和的性质若V1和V2都是V的子空间，则V1∩V2和V1+V2也是V的子空间.V1∩V2=V2∩V1，V1+V2=V2+V1(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)两个子空间的直和:若V=V1+V2，且V1∩V2=Φ，则称V为V1与V2的直和。目前二十八页\总数九十五页\编于八点线性变换定义：设V是数域F上的线性空间，T

:V→V为V上的映射，则称T为线性空间V上的一个变换或算子。若变换满足：对任意的k,l∈F和α,β∈V，有则称T为线性变换或线性算子。线性变换的基本性质：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）线性相关的向量组的象任然是线性相关的。目前二十九页\总数九十五页\编于八点线性变换的例子例1：R2空间上的如下变换为线性变换（该变换还是正交变换）。例2：设Pn为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：δ(f(t))=f’(t)为Pn到Pn的线性变换。例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：

为V上的线性变换。目前三十页\总数九十五页\编于八点线性变换的值域和核V上的线性变换T的值域和核定义如下：R(T)={Tx|x∈V}N(T)={x|Tx=0,x∈V}定理：线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的线性子空间，分别称为T的象空间和核空间。定义：线性变换T的象空间维数dimR(T)称为T的秩，核空间维数dim(N(T)称为T的亏。可以证明，若V维数为n，T的秩为r，则T的亏为n-r。例：实数域R上的不超过n次多项式的全体Pn中为线性空间，求导运算的象空间为Pn-1，核空间为R。目前三十一页\总数九十五页\编于八点线性变换的运算零变换T0：T0x=0变换的加法：定义(T1+T2)x=T1x+T2x负变换：定义(-T)x=-(Tx)数乘：定义(kT)x=k(Tx)定理：V上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。单位变换Te：Tex=x变换的乘法：定义(T1T2)x=T1(T2x)逆变换：若T为一一对应，则可定义逆变换T-1。定理：V上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱)。目前三十二页\总数九十五页\编于八点线性变换的矩阵表示以下讨论均假设线性空间为F上的有限维空间，并以上标表示维数，如Vn、Wm等。设映射T为Vn上的线性变换，为空间的基底，则可以用该基底线性表示，即写成矩阵形式目前三十三页\总数九十五页\编于八点对Vn中的任意元素x，设x和Tx的基底表示如下于是有：得到：目前三十四页\总数九十五页\编于八点对Vn上的线性变换T，在基底下可以用矩阵来表示：定理：设Vn上的变换T在基底下对应的矩阵为A，则R(T)=rank(A)N(T)=n-rank(A)（由AX=0立即得到）单位变换对应单位矩阵零变换对应零矩阵逆变换对应逆矩阵目前三十五页\总数九十五页\编于八点设Vn上的线性变换T在两组基底和下对应的矩阵分别为A和B，两个基底之间的过度矩阵为P，即：于是即得结论：相似矩阵表示相同的线性变换目前三十六页\总数九十五页\编于八点矩阵的运算零矩阵（对应零变换）矩阵加法（对应线性变换的加法）负矩阵（对应负线性变换）数乘（对应线性变换的数乘）定理：所有n×m阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。单位阵（对应单位变换）矩阵的乘法（对应变换的乘法）逆矩阵（对应逆变换）定理：所有n阶方阵的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱)。目前三十七页\总数九十五页\编于八点定义设T是数域F上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域F中的某个元素λ0，存在一个非零向量ξ，使得

那么称λ0为T的一个特征值，而ξ称为T属于特征值λ0的一个特征向量。取定V的一组基底，设T在这组基下的矩阵是A，向量ξ在这组基下的坐标是，那么我们有线性变换的特征值与特征向量即得目前三十八页\总数九十五页\编于八点求解特征值与特征向量选定线性空间的一个基底，求线性变换T在此基底下对应的矩阵A；求解矩阵A的特征多项式的所有根；求出矩阵A的每一个特征值对应的特征向量；以A的特征向量为坐标求出对应的特征向量。目前三十九页\总数九十五页\编于八点例1设V是数域F上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换，T在V的一个基下的矩阵是求T的全部特征值与特征向量。解：求T的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。目前四十页\总数九十五页\编于八点所以A的特征值是3(二重)与-6。对于特征值3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：目前四十一页\总数九十五页\编于八点从而T的属于3的极大线性无关特征向量组是于是T属于3的全部特征向量是

这里k1k2≠0。对于特征值-6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：目前四十二页\总数九十五页\编于八点从而T的属于-6的极大线性无关特征向量组是于是T的属于-6的全部特征向量这里k为数域F中任意非零数。目前四十三页\总数九十五页\编于八点特征值与特征向量的相关性质特征子空间：线性变换T属于特征值λ0的特征向量生成的子空间，记为，其中的非零向量为特征向量。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。Tr(AB)=Tr(BA)（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。矩阵A是其特征多项式的零点，即设，则目前四十四页\总数九十五页\编于八点矩阵的相似标准形n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；实对称矩阵的特征值都为实数，且与对角矩阵相似；任何复矩阵与一Jordan矩阵相似；目前四十五页\总数九十五页\编于八点矩阵可对角化的判定推论：矩阵A可以对角化的充分必要条件是A的特征值的代数重数等于几何重数。注：特征值的代数重数是指该特征值作为特征多项式的根的重数。几何重数是指特征子空间的维数。即对每个特征值λk,对应的特征子空间为的解空间，其维数称为几何维数。目前四十六页\总数九十五页\编于八点例1判断矩阵是否可以对角化？解：先求出A的特征值于是A的特征值为λ1=1，λ2=2（代数重数=2）。由于λ1=1是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑λ2=2目前四十七页\总数九十五页\编于八点于是即特征子空间的维数为1，从而不可以相似对角化。目前四十八页\总数九十五页\编于八点定义：

已知和关于变量x的多项式那么我们称为A的矩阵多项式。设A为一个n阶矩阵，J为其Jordan标准形，则于是有矩阵的多项式表示与矩阵的最小多项式目前四十九页\总数九十五页\编于八点我们称上面的表达式为矩阵多项式f(J)的Jordan表示。其中目前五十页\总数九十五页\编于八点目前五十一页\总数九十五页\编于八点例已知多项式与矩阵求f(A)。解：首先求出矩阵A的Jordan标准形J及其相似变换矩阵P那么有目前五十二页\总数九十五页\编于八点目前五十三页\总数九十五页\编于八点定义：已知和关于变量x的多项式如果f(x)满足，那么称该多项式为矩阵A的一个零化多项式。目前五十四页\总数九十五页\编于八点定理：已知，为其特征多项式,则有我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。定义：已知，在A的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为A的最小多项式，通常记为最小多项式的性质：已知，那么（1）矩阵A的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被整除。（3）相似矩阵有相同的最小多项式。目前五十五页\总数九十五页\编于八点如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。例1：已知一个Jordan块求其最小多项式。解：注意到其特征多项式为,则由上面的定理可知其最小多项式一定具有如下形状，其中。但是当时目前五十六页\总数九十五页\编于八点目前五十七页\总数九十五页\编于八点因此有.例2：已知对角块矩阵,而分别为子块的最小多项式，则的最小多项式为即为的最小公倍数。例3：求下列矩阵的最小多项式目前五十八页\总数九十五页\编于八点解：（1）首先求出其Jordan标准形为所以其最小多项式为。（2）此矩阵的Jordan标准形为目前五十九页\总数九十五页\编于八点从而其最小多项式为。（3）该矩阵的Jordan标准形为目前六十页\总数九十五页\编于八点故其最小多项式为。（4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以其最小多项式目前六十一页\总数九十五页\编于八点Euclid空间（欧氏空间）线性空间内积的定义：设V是实数域R上的n维线性空间，对于V中的任意两个向量α、β,按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与α与β的内积，记为(α,β)，并且要求内积满足下列运算条件：我们称带有这样内积的线性空间为Euclid空间(欧氏空间)。当且仅当α=0时内积为零目前六十二页\总数九十五页\编于八点例1在Rn中，对于规定容易验证(,)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。如果规定容易验证(,)2也是Rn上的一个内积，这样Rn又成为另外一个欧氏空间。目前六十三页\总数九十五页\编于八点例2在mn维线性空间Rm×n中，规定容易验证这是Rm×n上的一个内积，这样Rm×n对于这个内积成为一个欧氏空间。例3在连续函数构成的线性空间C[a,b]中，规定容易验证(f,g)是C[a,b]上的一个内积，这样C[a,b]对于这个内积成为一个欧氏空间。目前六十四页\总数九十五页\编于八点Euclid空间的性质目前六十五页\总数九十五页\编于八点有限维线性欧氏空间设实数域上有限维线性空间V的基底为，设向量x与y在此基底下的表达式如下则x与y的内积可以表示如下目前六十六页\总数九十五页\编于八点取即A为实对称矩阵，而且(x,x)>0表明A为正定的。目前六十七页\总数九十五页\编于八点性质：（1）当且仅当时（2）（3）（4）

欧氏空间的度量定义：设V为线性欧氏空间，向量的长度或范数定义为目前六十八页\总数九十五页\编于八点例1：在线性空间Rm×n中，证明证明：由于Tr(ABT)为线性空间中的内积，由三角不等式得证。例2

设C[a,b]表示闭区间[a,b]上的所有连续实函数组成的线性空间，证明对于任意的f(x),g(x)∈C[a,b]，我们有证明：由于为线性空间C[a,b]上的内积，由内积基本性质可得上式。目前六十九页\总数九十五页\编于八点定义：设V为欧氏空间，两个非零向量的夹角定义为

于是有定理：定义：在欧氏空间V中，如果，则称与正交。定义：长度为1的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量，向量总是单位向量，称此过程为单位化。目前七十页\总数九十五页\编于八点定义设为一组不含有零向量的向量组，如果内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。命题正交向量组一定是线性无关向量组。定义

如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。定义：在n维内积空间中，由n个正交向量组成的基底称为正交基底；由n个标准的正交向量组成的基底称为标准正交基底。注意：标准正交基底不唯一。标准正交基底目前七十一页\总数九十五页\编于八点定理：向量组为正交向量组的充分必要条件是向量组为标准正交向量组的充分必要条件是定理：由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。目前七十二页\总数九十五页\编于八点设为n维内积空间V中的r个线性无关的向量，利用这r个向量构造一个标准正交向量组的步骤如下：第一步：容易验证是一个正交向量组.Schmidt正交化方法目前七十三页\总数九十五页\编于八点第二步单位化显然是一个标准的正交向量组。例1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组。解：先正交化

目前七十四页\总数九十五页\编于八点再单位化那么即为所求的标准正交向量组。目前七十五页\总数九十五页\编于八点以上正交化方法的结果与向量的次序有关。除此之外，还可以通过矩阵运算直接正交化。为此令：则矩阵B=AAT为正定实对称矩阵，因此存在正交矩阵P，使得目前七十六页\总数九十五页\编于八点其解空间的一个标准正交基底。解：先求出其一个基础解系下面对进行正交化与单位化：例2

求下面齐次线性方程组目前七十七页\总数九十五页\编于八点即为其解空间的一个标准正交基底。目前七十八页\总数九十五页\编于八点定义：设V是一个n维欧氏空间,σ是V的一个线性变换，如果对任意的α∈V都有正交变换与正交矩阵则称σ是V的一个正交变换。定理：线性变换σ是正交变换的充分必要条件是：任意的都有目前七十九页\总数九十五页\编于八点证明：必要性，设σ是正交变换，，则有于是有

充分性：取立即可得σ为正交变换。

目前八十页\总数九十五页\编于八点定义：设A为一个n阶实矩阵，如果其满足AAT=ATA=I则称A正交矩阵，一般记为A∈En×n。例：目前八十一页\总数九十五页\编于八点设，那么正交矩阵的性质定理：设A∈Rn×n，A是一个正交矩阵的充分必要条件为A的n个列（或行）向量组是标准正交向量组。目前八十二页\总数九十五页\编于八点定理：设V是一个n维欧氏空间，σ是V的一个线性变换，那么下列陈述等价：（1）σ是正交变换；（3）σ将V的标准正交基底变成标准正交基底；（4）线性变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵。目前八十三页\总数九十五页\编于八点定义：设V是一个n维欧氏空间,σ是V的一个线性变换，如果对任意的都有对称变换与对称矩阵则称σ是V的一个对称变换。定理：线性变换σ是实对称变换的充分必要条件是：σ在标准正交基下对应的矩阵是实对称矩阵。