千古谜题伽罗瓦的解答

千古谜题伽罗瓦的解答第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五千古谜题：2000多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困绕着数学家（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圆为方------把一个已知角三等分------作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的2倍------作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五2。倍立方：相传大约在公元前430年，古希腊的雅典流行着黑死病。为了消除灾难，雅典人向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。雅典人百思不得其解，即使当时最伟大的学者柏拉图也感到无能为力。3。“化圆为方”问题由一个名叫安拉客萨歌拉的才子提出。相传公元前5世纪，安拉客萨歌拉对别人说：“太阳并非一尊神，而是一个非常大非常大的大火球。”结果被他的仇人以亵渎神灵的罪名给关在牢里。也许是为了打发无聊的铁窗生活，抑或是为了发泄一下自己不满的情绪，于是他提出了一个数学问题：“怎样做出一个正方形，才能使它的面积与某一个已知圆的面积相等呢？”古希腊三大尺规作图问题的由来1。三等分任意角问题历史上找不出有关来源的记载第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五千古谜题：2000多年来，古希腊三大尺规作图的几何问题始终困饶着数学家（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圆为方-----把一个已知角三等分------作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的2倍-----作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积古希腊三大几何难题的特点是：

1。表述很简单、直观。2。尺规作图要求非常苛刻。（1）要用没有刻度的直尺和圆规，不能在直尺上做记号，更不能够折叠作图纸。（2）直尺和圆规只能有限次地使用第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五早期数学家的努力公元前15世纪下半叶希波克拉底化月牙形为方化圆为方巧辨派的代表人物安蒂丰古希腊穷竭法的始祖倍立方问题圆锥曲线柏拉图学派第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五2000多年来，古希腊三大尺规作图问题：

（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圆为方（1）三等分任意角:设已知某角的角度为，得则令即问题转化为解方程：（2）倍立方（3）化圆为方求方程根的问题！现代的眼光看第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五系统研究二次方程的一般解法并给出了求根公式花拉子米公元９世纪“代数学”algebra）这个词来源于花拉子米所著的一本书早在古巴比伦时代,人们已经掌握了解一次、二次方程的方法：第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五

悲观派1494年,意大利数学家帕西奥利根本不可能乐天派意大利波伦大学教授费罗nmxx=+3费罗学生:菲奥尔第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五塔尔塔利亚

1510年,菲奥尔掌握:nmxx=+31534年,塔尔塔利亚宣称自己已掌握了形如这类没有一次项的三次方程的解法第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五菲奥尔塔尔塔利亚VS数学竞赛时间:1535年2月13日数学竞赛地点:意大利---米兰世界上第一次数学竞赛规则:双方各出三十个三次方程的问题给对方.最终结果0:30菲奥尔输给了塔尔塔利亚菲奥尔比赛前:固步不前,没有得到新的突破塔尔塔利亚夜以继日,冥思苦想,取得突破第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五塔尔塔利亚像

塔尔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法经过6年的不懈努力，终于解决了三次方程的一般解法。身残志坚勇于创新独具慧眼数学史上称三次方程的求根公式为：

“卡尔达诺”公式

第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五卡尔达诺

一位颇受欢迎的医生塔尔塔利亚

哲学家和数学家，占星术家撰写代数著作《大术》1545年卡尔达诺出版《大术》一书，将三次方程解的解法公诸于众，从而使自己在数学界声名鹊起。第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五,相当于令代入原方程展开整理得：消掉一次项，成为了缺项的二次方程第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五,令代入方程展开得：整理得：缺项的三次方程第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五卡尔达诺的公式：解的法则：用系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这整个算式的平方根。复制（重复）这一算式，并在第一个算式中加上方程常数的一半，从第二个算式中减去同一数的一半，然后，用第一个算式的立方根减去第二个算式的立方根，其差即为的值。第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五,令代入方程第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五,,令代入方程消掉含的项可以变形成形如：然后寻找一个数使得等式的两边配成完全平方形式等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即整理得：

费拉里发现的一元四次方程的解法

第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五

善于把握从特殊到一般的研究方法,

这就是数学家的眼光.

实事求是,不断探索,勇于创新,

这就是数学家的精神.第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五三次方程问题解决了四次方程问题解决了一般的五次方程问题？拉格朗日五次方程问题屡解屡败第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五20年过去了，高次方程的求根公式问题仍未解决阿贝尔

一般的5次或5次以上的方程不能公式求解伽罗瓦遗留问题：判定一个具体数字系数的高次代数方程能否用根号求解的准则问题？彻底解决了代数方程公式可解性的判断。《群论》群论的开山祖师第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五阿贝尔伽罗瓦旷世奇才16岁阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作，并开始研究五次方程的问题15岁研究高等数学如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》19岁，阿贝尔进入奥斯陆大学学习,22岁，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数问题17岁在法国第一个专业数学杂志发论文.18岁，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五阿贝尔

伽罗瓦旷世奇才命运多舛18岁，报考巴黎综合技术落选。二次把《群论》交给法国科学院，分别被柯西、傅立叶遗失，第三次上交被泊松所拒绝。父亲自杀。开除出大学，多次由于政治原因被捕入狱，20岁悲惨的死于与无赖的决斗中。一直怀才不遇，失业，受数学大师的冷落，病魔缠生，27岁，最后抑郁而死。名垂千古第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五在挪威皇宫有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数2003年挪威政府于设立了一项数学奖——阿贝尔奖。阿贝尔第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五对伽罗瓦评价评价一：犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的彗星

评价二：十九世纪数学家中最悲惨的英雄

评价三：他的死至少使得数学的发展推迟了几十年由伽罗瓦得到的启示：启示一：由于他年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界

启示二：数学表达过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因

公元1811年~1832年第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五伽罗瓦最主要的成就是：1。提出了群的概念并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题2。“群论”是近代数学中最重要的概念，影响多个学科。群的概念：设G是一个集合，集合内的元素之间可以定义一个二元运算﹡如果G满足如下的四条性质：（1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合（2）（结合性）运算满足结合律，即（3）（存在单位元）集合中存在单位元，对集合中任意元素满足（4）（存在逆元）对集合中任一元素,存在唯一元素使得则G连同它的运算﹡称为一个群，记做（G,﹡）

第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五（1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍属于该集合（2）（结合性）运算满足结合律，即（3）（存在单位元）集合中存在单位元，对集合中任意元素满足（4）（存在逆元）对集合中任一元素,存在唯一元素使得

则G连同它的运算﹡称为一个群，记做（G,﹡）

问题：判断下列集合对于它的运算能否构成群：（1