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文档简介
函数的多项式插值与逼近第一页,共二十五页,编辑于2023年,星期五注意下面图中曲线的变化情况!例3:在[5,5]上考察的Ln(x)。取
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
n
越大,端点附近误差越大,称为Runge
现象Ln(x)
f(x)高次插值多项式的这种危险性,在20世纪初被Runge发现.第二页,共二十五页,编辑于2023年,星期五2、从稳定性角度分析由于插值函数不可避免有误差,不妨设由和构造出的插值多项式分别记为:和
第三页,共二十五页,编辑于2023年,星期五二、分段插值的构造方法将插值区间划分为若干个小区间(通常取等距划分)采用低次插值在区间上得到分段函数第四页,共二十五页,编辑于2023年,星期五1、分段线性插值
/*piecewiselinearinterpolation*/(1)在每个区间上,用1阶多项式
(直线)逼近
f(x):或者:这里x是局部变量,其定义域为
:
也仅在其定义域内有定义。
第五页,共二十五页,编辑于2023年,星期五几何意义为
:
第六页,共二十五页,编辑于2023年,星期五(2)、分段线性插值基函数
类似于Lagrange插值函数,分段1阶多项式
(直线)可表示为:其中为分段线性插值基函数,满足:
n+1个分段线性插值基函数分别为:
第七页,共二十五页,编辑于2023年,星期五第八页,共二十五页,编辑于2023年,星期五一般地:且第九页,共二十五页,编辑于2023年,星期五第十页,共二十五页,编辑于2023年,星期五也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点
但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则第十一页,共二十五页,编辑于2023年,星期五第十二页,共二十五页,编辑于2023年,星期五分段线性插值从整体上看,逼近效果是较好的,但失去了原函数的光滑性。
设给定节点 及相应的函数值,
在[a,b]上存在,是在[a,b]上由数据构成的分段线性插值函数,则其中关于分段二次插值
/*PiecewiseSquareInterpolation
*/讨论方法同分段线性插值完全类似。第十三页,共二十五页,编辑于2023年,星期五(1)几何直观:分段抛物线弧段近似
2、分段二次插值第十四页,共二十五页,编辑于2023年,星期五(2)方法概述:第十五页,共二十五页,编辑于2023年,星期五3、误差估计:第十六页,共二十五页,编辑于2023年,星期五三、埃尔米特插值
/*HermiteInterpolation*/不仅要求函数值重合,而且要求若干阶导数也重合。即:要求插值函数满足,注:
N
个条件可以确定次多项式。N
1要求在1个节点x0处直到m0阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式其余项为一般只考虑与的值。第十七页,共二十五页,编辑于2023年,星期五1、分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式第十八页,共二十五页,编辑于2023年,星期五其中我们称为分段三次Hermite插值多项式,其余项为第十九页,共二十五页,编辑于2023年,星期五分段低次插值的特点:计算较容易可以解决Runge现象,可保证收敛性但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点(若无导数值)优点:缺点:第二十页,共二十五页,编辑于2023年,星期五Qestion:已知函数在互异节点处的函数值
以及导数值,要构造不超过2n+1次的多项式满足如下的2n+2个条件
称上述问题为全导数的Hermite插值问题2、整体(高次)Hermite插值第二十一页,共二十五页,编辑于2023年,星期五思想类似于Lagrange插值多项式的构造方法,即通过构造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。设满足前述2n+2个条件的插值多项式为其中,满足第二十二页,共二十五页,编辑于2023年,星期五容易导出——全导数的Hermite插值多项式:其中第二十三页,共二十五页,编辑于2023年,星期五如n=1时Hermite插值多项式为第二十四页,共二十五页,编辑于2023年,星期五012
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