通信网络理论基础线性规划的求解方法FinalWX

通信网理论基础王

雄博士副教授Part07:线性规划的求解方法

GeorgeBernardDantzig(1914-2005)线性规划的求解方法12线性规划解的基本概念线性规划解的几何性质及几何解法3线性规划的代数解法4单纯型算法5网络单纯型法与最短路问题线性规划的一般形式决策变量约束优化目标A矩阵行的数目多呢？还是列的数目多呢？一些解的基本概念如果一个解x满足，则称该解x为线性规划问题的一个可行解可行域由所有可行解组成的集合被称为可行域，记为P可行解最优解如果一个可行解x*满足（x为可行域P中的任意可行解），则x*被称为该线性规划问题的最优解例子x3012y01243可行域x³

0

y³

0x+2y³2y£4x£3Subjectto: Minimize -x-y最优解SolutionHalfspace&HyperplaneHalfspace集合被称为HalfSpaceHyperplane集合被称为HyperPlaneHalfspaceaHyperplanePolyhedra&可行域线性规划的可行域为，即由一组Halfspace的交集组成Polyhedra集合被定义为一个PolyHedra，其中A为一个m×n的矩阵，b为一个m维的向量。可见线性规划的可行域就是一个Polyhedra凸集&Polyhedra

凸集一个集合S为凸集的充分必要条件为对于任意的

和任意的,有,则集合S为凸集Polyhedra为凸集吗？是的，怎么证明？极点假设P为一个Polyhedra，x为P中的一个点，如果不存在点y，z∈P和λ∈[0,1]，使得x=λy+(1-λ)z,则x为P的一个极点

极点在代数意义上PolyhedraP={x|Ax≥b}的一个极点x0意味者什么呢？是不是意味着

Ax≥b表示的m个不等式中至少有n个不等式在x0处取等于号呢？即，x0是大于的等于n个以上Hyperplane的交点线性规划的求解方法12线性规划解的基本概念线性规划解的几何性质及几何解法3线性规划的代数解法4单纯型算法5网络单纯型法与最短路问题线性规划图形解法：示例1x3012y01243FeasibleRegionx³

0

y³

0x+2y³2y£4x£3Subjectto: Maximum -x-yOptimalSolutionFeasibleRegionx³

0

y³

0-2x+2y£4x£3Subjectto: Minimize x-yMultipleOptimalSolutions!41x312y02031/3x+y£4线性规划图形解法：示例2FeasibleRegionx³0

y³0x+y³20x³5-2x+5y£150Subjectto: Minimizex+1/3yOptimalSolutionx301020y010204003040线性规划图形解法：示例3FeasibleRegionx³0

y³0x+y³20x³5-2x+5y£150Subjectto: Minimize-x-1/3yx301020y010204003040线性规划图形解法：示例4该问题无最优解，是一个Unbound的问题从上面的4个例子中我们能发现什么规律呢？yxy0xy如果存在最优解，则先线性规划的最优解在极点处达到可行域虽然存在极点，但是规划没有最优解x三维御的情斑况20嘱09悔年春迎季图算糊法及着其在急通信眨网络浆中的矩应用17/悟55课堂孙练习用图附解法卫求下隔列线啄性规摇划问茧题的仁解一个仪重要协的定乳理假设侍线性蚕规划岗问题投为：如果办该线舞性规做划问拉题存仍在极烟点，矿那么龟该线中性规棚划问抚题的躬最优扎解要教么为-∞，要您么其报中至燃少有州一个复极点协必然致为最她优解最优欲解的龟存在杀性定下理怎么证明？

我们仅从物理意义上来进行证明，严格的数据证明请见本课程推荐的参考书从线伞性规龄划的芒图形煮解法你中我还们可慌以到吩，线愈性规砍划问息题的论最优爽解一阴定是涛在可含行域星的边瓦界达畏到。暖那么禽边界恶有两慎种情无况：饶一种许是一恩个有夜限的章边界楼，一拔个是吉无限已的边候界（秩最优肌解无晚穷小）线性昆规划绸问题柔的几共何求沿解方羞法假如线性规划问题存在最优解，那么一个线性规划问题可以采用以下的方法来进行求解根据凭约束换，画植出可惊行域将所枣有极肠点带扎入优壳化目村标，沙选择今使得阳优化医目标溪值最哗小的籍点即衔为最贺优解找出芹可行付域的洁所有样极点但是该方法是不完备的，因为该方法只有在线性规划问题存在最优解的情况下才能使用

因为该方法缺少了对是否存在最优解的判断（无界）怎么办呢？

我姑且假设线性规划问题是有最优解的，然后从代数解法中寻找判断的方法线性哨规划柜的求奶解方蜜法12线性腔规划注解的归基本号概念线性缩慧规划版解的忙几何吸性质慰及几炊何解随法34单纯喂型算位法5网络魂单纯缸型法亭与最村短路对问题线性慌规划麦解的寻代数匀解法从几廊何解忌法中挣发掘扑代数肿解法衫的灵诞感从前面的几何解法中，我们可以看出如果线性规划问题存在在最优解，那么线性规划问题可行域中至少有一个极点是最优解找最祸优解找可牙行域鸭的极显点从代讲数的藏角度绩我们屿应该呀怎么匆来求量解呢找到互极点殃在代批数上毁的对路应关错系极点害在代糖数上黄意味才这什脖么？线性规划约束AX≥b的m个不等式中至少有n个取等号，即极点是至少n个Hyperplane的交点基、壳基本报解和意基本社可行闭解“基”的定义

假定A为PolyhedraP={x|Ax≥b}中的系数矩阵，A’是由A的n个线性无关的行组成的n×n矩阵，则矩阵A’就是A的一个“基”“基本解”的定义

假定令A’x=b’,则该方程有唯一解，并且该解被称为PolyhedraP对应的线性规划问题的“基本解”“基本可行解”的定义

如果一个基本解x0满足Ax0≥b，则该解就被称为一个“基本可行解”基本可行解和极点是什么关系呢？

一个基本可行解在几何上就是线性规划问题的一个极点线性绳规划知问题历的代却数解或法几何每解法等价代数悬解法怎么找基本可行解呢？

首先找基本解，如果基本解可行，则找到，否则找下一个基本解怎么找基本解呢？

等价于去找矩阵A的基A’，找到基A’后，通过求解A’x=b’，就可以找到一个基本解一个线性规划问题的基本解是有限的吗？可行快集的帐极点基本锐可行未解

是的，一共有

个为什专么需朵要“进标准凑形式公”线性规划的代数求解方法的核心是去找系数矩阵A的基但是难点也正在于此，在线性规划问题的一般形式中的系数矩阵中，如何找出一个基是比较困难的怎么办呢？将一般形式变为标准形式标准形式长什么样子？如何着变换识为标口准形转式转换“≥”约束

引入剩余变量s转换“≤”约束

引入松弛变量s决策变量的转换

如果x的取之范围为x≤0,则可以用-x来替换x

没有限定x的取之范围为（-∞，+∞）,则可以用x1-x2来替换x，且x1≥0，x2≥0优化目标的转换

如果优化目标为maximizeCTx,则换为minimize-CTx课堂怖练习将下拐面线昼性规携划问扑题变通为标功准形雕式标准形式中是变量的个数多呢？还是约束的数目多在标俯准形钩式下晕如何祸确定石一个强基本干解标准形式AX=b的约束个数为m个，m≤n

所以要确定一个基可行解，则需另外增加n-m个Hyperplane，从而n个Hyperplane的交点就是一个基本解怎样来选择另外的n-m个Hyperplane呢？

不要忘了标准形式中，还有一组X≥0约束，我们令其中的n-m个变量为零，就得到了n个Hyperplane这n个Hyperplane会形成一个唯一的交点吗？我们将等于0的n-m个变量叫做“非基变量”(用XN表示)，将其余的m个变量叫做“基变量”（用XB表示），XB对应的系数矩阵用B表示，XN表对应的系统矩阵用NB表示

不一定，B的秩是否为m，如果为m，则这n个Hyperplane有一个唯一的交点，并且B被称为A的一个基那么标准形式里面如何求一个基本解呢？

从n个变量中挑选n-m个变量，并令其为零，然后看基本变量对应的系数矩阵B是否可逆，如果可以，则XB=B-1b,基本解X=(B-1b,0)线性名规划粘问题粗的代寻数解倒法的瓦原理28/荣55将线严性规遵划问宋题转削换为绿标准慈形式令决怨策变行量中渐的n-圣m个变敞量为0，然皂后求摆解方座程BXB=呢b是否匙存在雁唯一渗解且XB≥耻0基本围可行长解的局枚举奴是否狗完成尾？将基狂本可经行解X=爱(XB,蕉0)加入絮集合F从F中选漏择使倒得优石化目案标最辱小的尊解X*输出是否是否线性戴规划隙求解细思路恒总结线性规划问题的最优解在极点处达到，所以核心是枚举可行域的极点极点的代数意思是n个HyperPlane的交点（n个等式组成的方程才可能有唯一解）怎样确定确定n个等式呢？已经币有n个等铺式了疲，只歉差n-带m等式纺就可桶以确侍定一纪个极资点在标竞准形协式中m个等后式强制乖令X≥汉0中的n-饿m个变壶量为0，就扯得到忘了另巡寿外n-夫m个等宋式在这毫组约逢束中肺令n-座m个取赤等号统一术语强制凤取零使的n-揭m个决市策变摘量叫白做非基疑变量，表隙示为xN决策弊变量土中除镰非基昏变量足外的传都叫基变咽量，表滔示为xB矩阵A中非咳基变辽量对他应的派子矩绩阵称脾为非基治矩阵，记兵为N矩阵乐A中曲基变貌量对眯应的疗子矩毁阵称熔为基翠矩阵，简称基，记款为B如果右这时太得到桨的方麦程组按有唯凉一解害，则霞说明呜找到介一个骗极点科，代乓数上站叫基员本可全行解提高复算法饭的效雾率1我们能否提前知道一个基本可行解就是最优解有可苗能不哈需要深枚举座所有姿的基舰本可旦行解2按照使得目标值下降的方向去寻找下一个基本可行解.有可楚能尽况快找丘到最些优解银对应奶的极蒸点这两个改进方向正是单纯形算法的思想从可行域的一个基本可行解出发，判别它是否已是最优解，如果不是，寻找下一个基本可行解，并使目标函数得到改进，如此迭代下去，直到找到最优解或判定问题为无界为止线性茫规划占的求之解方率法12线性构规划嘴解的只基本档概念线性躁规划伸解的雪几何复性质武及几爬何解疼法3线性规划的代数解法4单纯覆型算止法5网络滨单纯胸型法崇与最浩短路慌问题单纯铺型算法蠢：从狸一个蚕简单韵的例昆子开晶始求解止下列四线性萍规划彩问题ma她xi巡寿mi艇ze犬z特=佩50贴x1+涉30绑x2Su虑bj尸ec熊t贝to并:恭4x1+秋3x212莲02x1+汇x250x1,薄x20mi国ni些mi崭ze使z伞=件-致50舰x1-决30权x2Su坟bj铅ec延t道to说:骑4x1+锣3x2+肝x3=皆12哪02x1+圣x2+士x4=搬5窑0x1,努x2,游x3,x40选x3,芒x4为基六变量转换为标准形式mi馒ni海mi记ze舱z占=浅-读50糖x1-挠30介x2Su中bj宴ec批t傻to客:母x3=都12催0闲-费4x1-乱3x2x4=着50驼-矛2肃x1-计x2x1,缘瑞x2,事x3,楼x40转换为典则形式寻找初始可行解：令非基变量为零，得到：x(1)=(0,0,120,50)，z(1)=0用非基变量表示基变量和目标函数的形式称为关于基的典则形式最优性检验: 该解是最优解吗？第一次换基迭代增加基变量x1的值，即将x1从非基变量变为基变量（入基），但是增加x1的值需要受到下列约束的限制x3=慨12敢0鹿-砍4x1-询3x20x4=宜50胡-情2却x1-筑x20化简为：12谷0风-勺4x1050树-衔2厨x10选x1=min(120/4,50/2)=25,才使上述不等式立，并迫使x4

为零；这意味着x4

由基变量变为了非基变量，即x4出基得到新的典则方程新的典则方程变为：4x1+屡x3=觉12赠0拖-窗3x22x1=筝50寄-槽x2-错x4化简后为：x1=告25塔-厅0好.5江x2-袋0.隙5x4x3=时20深-香x2+纪2x4z2=虽-1露25兵0钥-躲5x2+塑25观x4第二个基可行解(25,0,20,0),z2=-1250显然该解仍然不是最优解，且应该把x2换入第二次换基迭代选x2入基。得到下列不等式关系:x1=弯25扯-责0亩.5架x2-肾0.坐5x40x3=椒20高-融x2+笑2x40简化为：25千-涝0秩.5驰x2020吧-漆x20选x2=min(25/0.5,20/1)=20时才能使不等式成立，并使x3为零，即x3出基。得到新的典则形式换基后的典则形式变为：z3=鸭-1竟35故0记+码5x3+鸡1多5x4x1=招15追+妹0玻.5滥x3-乏1.早5x4x2=燥20帆-宣x3+烈2x4第三个解为(15,20,0,0)，z3=-1350；此时，目标函数表达式中非基变量前面的系数都为正，目标函数无法继续改进，得到最优解z*=z3Si丽mp缠le穴x算法竿要解摸决的漆三个驻问题Si驰mp卧le慌x算法靠面临端的三普大问壶题怎样懒确定价一个换初始床基本村可行姓解？怎样圆按照笼目标绢值下存降的会方向跟去寻匙找下麻一个坐基本质可行诱解？怎样少确定给当前顽找到坐的基咬本可括行解出就是具最优船解？确定够初始于基本犬可行做解（1/揭2）确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m个系数列向量恰好构成一个可行基（对于一般情况后续讨论），即Ａ=（Ｂ，Ｎ），其中Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm）为基变量x1，x2，…xm的系数列向量构成的可行基，Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2，

…Pn)为非基变量xm+1，xm+2，

…xn的系数列向量构成的矩阵。确定右初始鉴基本蠢可行雁解（2/鹅2）有了上述假设，所以约束方程就可以表示为：用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：若令所有非基变量,则基变量由此可得初始的基本可行解一个移例子(１)确定冈初始规的基逆本可诊行解帅。，基霜变量秧，非恋基变声量澡。要判武断m个系清数列柱向量库是否鹿恰好送构成剩一个枝基并仇不是李一件院容易座的事夹。基由誉系数参矩阵钓Ａ中m个线困性无师关的贩系数彻列向颗量构网成但是蛙要判揉断m个系它数列慕向量塌是否下线性涉无关就并非瞧易事存在雨的问兄题问题1问题2即使蚁系数荷矩阵吃Ａ中惩找到陷了一承个基B，也搅不能和保证赞该基较恰好绣是可惩行基毙。因为哭不能歼保证独基变椒量ＸB=Ｂ-1b≥搭0为了保求得牌基本丑可行逃解，必费须求洲基Ｂ欠的逆滑阵Ｂ-1。但是达求逆亚阵Ｂ-1也是炎一件乒麻烦售的事中。问题3结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基Ｂ怎样座得到递下一纱个基努本可慰行解负？x1x2x3Mi透ni拾mi赖ze村–骨x2Su无bj纸ec捕t宝to册:x1+庸x2+德x3=安1x1,添x2,x3≥搭0初始辨基本六可行筛解为X电=伞(0绵,寻0,后1色)怎样得到下一个基本可行解呢？沿着可行域的边缘走，一定可以走到下一个基本可行解d1d2代数上怎么表达呢？关键的问题是什么呢？如何确定方向d和步长确定胞方向方向d需要满足的条件1能直接到达下一个相邻的基本可行解两个相邻的基本可行解有什么关系呢？只有其中的一个基变量不同，即X0中只有一个非基变量从0变为非零所以我们可以把方向d大致确定为：方向d需要满足的条件2沿着方向d走能保证X1仍然能够满足AX1=b物理意思是什么呢？与AX=b表示的Hyperplane都平行，即与m个Hyperplane的相交面平行

确定矮具体蜂的方任向选择下降速度最快的邻接方向如果，则说果明沿漆邻接很方向d婶=螺(dB,0勉,…墓,dj,0,隶…,粉0)走会霜使优凳化目馒标值净减少当存在多个下降方向时，应该选择那个呢？选择下降最快的方向

称为非基变量j的判别系数怎样判断解是否是最优的呢？所有非基变量的判别系数都大于0步长的确认定沿着方向d走可以是目标值减小，但是沿着方向d最远能走多远呢？如果所有的dB(i)(i=1,…,m)都大于等于零，那么

可以取到也就禾是说，即奋该线计性规脂划问睡题是无界的如果dB中存在小于零的分量，那么

的最大取值为：为什么呢？当

的取值大于

，则可能会导致X1中的部分分量变为负数，从而导致X1变为不可行解(１)确定龙初始慕的基妻本可堪行解，基变泽量，非星基变童量。例子(2)检验话是否忙最优。判别匆系数因为σ1=-另3，σ3=-多4均小扛于零问，所以不是璃最优乒解。（3）基刊本可吹行解狭的屠改进①选书取换框入变千量因为mi魄n{贪-3，-4缝}=趴-4，取x3为换启入变立量。②选国取换脆出变颜量选取x4为换描出变愈量.（4）求樱改进烛了的通基本傅可行咱解对约母束方该程组狗的增普广矩利阵施哨以初兼等行犁变换稻，使隔换入遇变量x3所对估应的族系数质列向债量变换水成换的出变谷量x4所对浙应的贸单位香向量,注意夸保持秋基变蛾量x5的系歼数列传向量为单垄位向搜量不供变。第一笛行除根以２第二桑行减谨去第僚一行——傻——广——殖——服——死——宏——宋——傻——场——址——河——殊——可得仪改进撤的基到本可纯行解辛。，基变题量，非基衔变量。基本阴可行讯解目标孩函数巴值易见山目标捷函数柴值比躬原来驼的Z=碰-1减少段了，搏再怖转向蛛步骤(2呢)（2）检验是否阶最优。判别易系数因为，所以某仍不书是最居优解。（3）基鼻本可蜜行解切的改尽进①选取狐换入恰变量因为云，笨取戒为驻换入房诚变量挨。②选取专换出僚变量且黄，选取虽为包换出斜变量.（4）求躁改进扒了的漏基本舰可行步解对约要束方安程组赞的增关广矩欣阵施缘瑞以初砌等行也变换蛇，使逃换入载变量闭所对蒸应的系纲数列筐向量职变换代成换仰出变扭量所对圆应的慌单位哭向量,第二荡行乘猎以２/５第一逆行减芦以第登二行暖的１/２倍——介——赶——叮——摔——畜——彻——红——框——羽——糕——叨——握——可得涝改进范的基耗本可惹行解倚。，基变斤量，非基切变量基本吼可行洗解目标窗函数臭值比Z=膏-1淋5减少迎了，帜再转掀向步脆骤(2编)(2)检验聪是稀否最贱优。判别电系数因为狼所有测检验蠢数均坦大于鸣零，所以是最筝优解，Si昆mp辜le盲x算法旱的几付何解债释使用规表格味来帮缠助计狡算通过童例１愚我们截发现宵，在我单纯信形法条的求另解过暑程中侄，有淹下列丧重要躁指标商：每一阁个基答本可田行解脾的判笨别系误数根据琴判别喜系数自可以略确定浑所求续得的优基本载可行迎解是急否为钳最优吊解。鼓如果渔不是悟最优颈又可浑以通宜过判柏别系出数确击定合选适的倾换入嚼变量僚。每一船个基迟本可柳行解熔所对驳应的情目标战函数笔值通过袄目标默函数训值可疾以观肤察单磨纯形房诚法的旗每次艳迭代海是否鲜能使圣目标冈函数装值有昆效地亭减少总，直栽至求非得最追优目荣标函术数为掩止。在单验纯形董法求业解过停程中雪，每污一个送基本沙可行沫解Ｘ遥都以亏某个顾经过差初等餐行变饱换的看约束脉方程迹组中黄的单栽位矩犹阵Ι为可丈行基冲。当Ｂ=Ｉ时耐，Ｂ-1=Ｉ，碧易知镰：可将有这些黑重要戒结论博的计劲算设忍计成贿如下麦一个住简单兰的表掘格，某即单诵纯形仇表来挣完成立：C

Cθ

CB

XB

b

X1X2

···Xm

Xm+1Xm+2···Xn

C1C2..Cm

X1X2

.Xm

b1b2..bm

Aθ1θ2..θm

Z

CBb

表格台的设嘴计试利焰用单袋纯形初表求其例1中的惹最优春解：得初米始的承单纯毛形表笔：初始践基本丸可行搭解，Z=1，1腿2膝2骗1灶08x41-3捡0站-4坐0浓01Z3税4瓦1堤0拉17x5-1x1x2x3x4x5bXBCBΘ-5故-肾2登-3袖1仪-辣1C例子换入矛变量础，金换出叶变量马，２较为主谣元进语行旋系转变拿换基本翼可行息解，Z=援-龙15，1/节2111/撒204x3-3-1风4祖0鞠2治015Z5/莲2求3奥0由-丸1/放2塘13x5-1x1x2x3x4x5bXBCBΘ-5恨-郑2丑-不3舟1侧-1C1拼2裙2渐1牛08x41-3聋0统-4挣0具0-1Z3惩4恳1扔0梅17x5-1x1x2x3x4x5bXBCBΘ-专5唯-奋2进-良3骆1弟-朝1C8/容27/败1最优油解最优沈值换入夕变量霸，泰换出片变量愤，５/２为这主元计进行钩旋转疗变换4/1/砖21/欲2111/移204x3-3-1怀4营0顶2古015Z3/5/玩25/剑2驱3帽0悔-巩1/牌2怀13x5-1x1x2x3x4x5bXBCBΘ-5撇-彻2哗-鸟3辫1坦-1C0终2/铺5基1倚3/慈5帅-1洞/517战/5x3-30只2化6/淋5驾0解9宿/5剥2渗/581则/5Z1叫6/强5跳0肠-挣1/滤5范2折/56/括5x1-5x1x2x3x4x5bXBCBΘ-5苦-仿2寸-3恨1姻-申1C求解胳初始串可行际解考虑厉下面警的规抗划问促题：怎样毙求初裤始可秒行解？大M法第3个方袜程有稻松弛侵变量倾，而禽第1和第2个方浑程没有护，因粒此我霞们分冤别增日加人炕工变冈量x6和x7等价M是一榴个很领大的糊正常虚数-0聚1静-夏1/吗2劲-贺1/枯2揉0顾1/介2吨1/瓶23/枯2X2-21而0估-1润/2惧1/摇2税0她1/孝2汁-塞1/竟21/眉2X11--1钢1雀0已-1换0努0往11X2-21/秋22炉0师-1传1候0围1务-宿11X6M1/瓣1-1纱1兽0她-庸1润0耻0产11X7M2/宪11奖1茄-1惩0旗0雁1堪02X6M0唱0偶-哀1/竹2村-3兵/2瓜0鸣½+贪M厅3真/2百+M-5艳/2Z0皆0剑1/路2振1/巴2肚1猜-1硬/2纷-1栽/23/报2X50-1讯-2廊M降0妻M搜-2财-M尸0或0有2巷+2歌M-2雹+MZ2/幕11啦0封0尊1指1拨0胶-12X501糟-剑2-艇2M面M零M伙0催0贿03MZ3/骡10夜1煎0棵0径1笑0泪03X50X1x2x3x4x5x6x7bXBCBθ1独-俊2悄0率0酸0字M需MC0奇1宰0迹0纹1核0姻03X2-21僚0桃0摘1蓝1珠0花-尺12X401昏1卫-丙1爸0叠0派1勤02X2-22鲁0盏-1参1章0暑1腊-薪11X40-0令1蓄-1父/2拣-袋1/政2盖0张1/舰2岭1即/23/蒙2X2-21/违2/帽1/盛21伤0猛-1播/2羊1/偷2貌0竟1/崇2仔-1离/21/叉2X111胆0旦0捉0警2鹿M悔M-6Z-1纠0驻1浮0遍1盼-校1管01X303蓬0沿-2艳0盯0甜2伏+M帆M4Z-1向0蜡1迫0察1甜-帅1砖01X500伞0举-渴1/灰2宴-依3/敌2临0替½限+M墓3/办2+童M-5撇/2Z3/座2/1宾/20荷0述1弹/2跑1/证2时1昌-赵1/李2趋-泛1/筹23/心2X50x1x2x3x4x5x6x7bXBCBθ1充-2盲0妙0冈0拾M银MC最优练解最优膊值单纯众形算琴法中蜜的特有殊情艳况无可行解通过大Ｍ法求初始的基本可行解。但是如果在大Ｍ法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，那么该线性规划就不存在可行解。人工变量的值不能取零，说明了原线性规划的数学模型的约束条件出现了相互矛盾的约束方程。此时线性规划问题的可行域为空集求解耍下列抓线性跃规划听问题首先川将问腾题化平为标扁准型故引友入人武工变玻量源，并利种用大M法求蜻解例子C3吴2绿1莫0搬0葛0品M脏MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7x8θ0MMx4x7x86431垃1蚕1剧1痒0育0陪0根01肢0谣-1袄0做-1爸0辩1租00委1厕-1石0熊0方-1钉0加16/廊1-3/宽1Z7M6+搜4M15薯+M3-旺M脱2凉-M棋1往+2旬M研0协M先M决0槽00-M-2x4x7x23431摔0横2效1邮0挪1蛙0事-冶11两0赔-查1狼0议-1帜0鞭1枕00茂1壶-但1退0谋0狂-1熔0斥13/泄14/拴1-ZZ’3-僵M尘0韵3舟+M娇0林M教2睁0漠2+药M-3-M-2x1x7x23131货0票2恢1盛0溉1汇0仓-渔10距0毒-柏3馒-1们-当1这-1仓1雄10者1图-脸1葛0僻0谎-镰1券0瓶10愧0票-3艇+3摔M拐-3么+M库M拘-贩1+习M签0最1在以垫上最转优单自纯形更表中彻，所黎有非圾基变勒量检论验数垦都大卫于零轰，但芝在该崭表中旁人工唐变量x7=1为基期变量舱，所勾以原未线性驶规划粥不存馆在可少行解傍。无界扑限解无最优解与无可行解时两个不同的概念无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指线性规划问题的可行域为空集无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内可以趋于无穷小，无最优解也称为无界解判别方法在求解极小化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的判别系数行存在某个小于零的判别系数，但是该判别系数所对应的非基变量的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题无最优解，dB中的袜所有此分量领都为弊正的残时候篇，Θ饭就可骨以取朝∞，泪优化补目标篇就会过无穷械小试用更单纯物形法宽求解牢下列俗线性歌规划拿问题安：引入原松弛金变量x3,x4化为鸟标准印型C

-2-200θCXB

Bx1

x2

x3

x4

0X3

1-11100X4

2-1/2101Z0-2-200因但所以毕原问虎题无最悲优解例子退化拢解当线性规划问题的基本可行解中有一个或多个基变量取零值时，称此基本可行解为退化解无在单纯形法计算中用最小比值原则确定换出变量时，有时存在两个或两个以上相同的最小比值θ，那么在下次迭代中就会出现一个甚至多个基变量等于零无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指线性规划问题的可行域为空集解退化会出现什么情况呢？当某个基变量为零，且下次迭代以该基变量作为换出变量时，目标函数并不能因此得到任何改变（任何一个换入变量只能仍取零值，其它基变量的取值保持不变）。通过基变换以后的前后两个退化的基本可行解的坐标形式完全相同几何解释沿这趴两个肺方向控走就蒙可能编出现钥退化圈的情帽况求解特下述迷线性霉规划川问题抬：解：匹引入叔松弛缓变量化标拦准型例子00024-280-30Z56042080-5Z10001001x3212060-2效411x13321300-803x5003042-5800Z11001001x700106-1-2必410x130-1130-3-800x50-11001001x7000106-1-2扒410x60000136-4-3涌210x50x7x6x5x4x3x2x1bXBCB00024-280-3Cθ第一喜次迭宵代中画使用砍了摄墓动法晒原理健，选洽择下汁标为6的基墓变量x6离基线性垂规划萝的求摘解方伪法12线性撑规划睬解的丈基本捆概念线性枪规划需解的离几何伤性质缴及几乐何解分法3线性规划的代数解法4单纯吧型算写法5网络村单纯喜型法沙与最蒙短路发问题最小她费用凤流问冰题单源厘多宿蚕的最膝短路称问题单源最短路问题的模型天然就是一个标准形式，并且N矩阵有它独特的物理含义，所以求解该问题也有独特的方法N矩阵备的一蚀个基贤具有型的特斧殊物烘理意向义（1）图G(N,E)中的一棵生成树对应的关联矩阵是N的一个基B矩阵N的中只有n-1行是线性无关的，即N的秩为n-1N矩阵的n行相加正好为031245(1卸,趴2)1-100-10010110000-100-10(3计,财1)(3叮,智5)(2核,穴4)12345(3题,趴5)1101-10000-11000-11000-1(3酬,竭1)(1绣,慌2)(2钥,麻4)35124对该矩阵进行重新编排该矩阵的秩为多少？n-1这说明生成树中边对应的列向量是线性无关，即这些列向量是N中的一个基为什么按照BFS序重排就可以得到一个上三角矩阵？N矩阵肺的一培个基碎具有窄的特昌殊物背理意廊义（2）矩阵N的一个基B表达出的一定是一棵生成树矩阵N的一个基一定是由n-1条边对应的列所形成的n-1条边形成的子图可能有两种情况：是一妨棵树薪，该盈情况暂不用虽证明包含形圈1423在该叫情况爪下我畜们可适以随盐意的稳为圈哗规定腾一个挖方向到，如带果圈凑上边暴与方狠向相存反，踪蝶则将那该边筛对应香的列勾向量扒乘以-1，如统果相院同则贺乘1，然览后将斑所有奇向量返相加希，结雨果必化然为尊零。这说享明这n-劝1条边施对应停的列处向量录是线押性相洁关的幼，这跃与前设提条件件B是一盈个基专相矛湾盾

结论:任意一棵生成树一定是N矩阵的一个基,N矩阵的任意一个基必然对应一棵生成树如何杨利用论网络弯单纯买型法泛求解洗单源搏最短摘路问包题第一步：寻找初始的基本可行解寻找初始基本可行解等价于寻找初始基B每一棵生成树都对应一个基，所以我们任意选择一棵生成树，生成树对应的关联矩阵就是一个基B有了初始基B以后，我们就可以得到初始基本可行解X=（B-1b，0)在该问题中，我们还有必要去求B-1吗没有必要，因为既然是一棵树，树的源节点发出的流量知道，树上其他节点流入的流量，我们也知道，那么树上每条边长的流量就很容易确定如何代利用斜网络冤单纯垂型法盐求解刺单源箱最短尊路问债题第二步：判断该基本可行解是否是最优解我们需要计算每个非基变量(或非树上边（i,j)）对应的ReduceCost求ReduceCost的关键在于求π，,即

为求π我们需要去求B-1吗不用，因为我们可以将基矩阵B变为一个上三角矩阵上三角矩阵的第一列的第一个元素非零，其他元素都为0上三角矩阵的第i列中，只有前i个元素可能非零，其他都为0所以，求解先求解π(1),再求解π(2),π(3).......π(n-1)求π茅的例努子31245(3肃,饺5)-10000-11000-11000-1(3罩,插1)(1踩,剃2)(2白,小4)5124π(1羞)*半-1冤=晶2,π(1蒙)醋=肆-2π(2扁)*辛-1匙=黎1，π(2悉)滚=主-1π(2鸟)*吃1-π(3愁)菊=尾3,π(3崖)夺=值-4π(3邀)*皂1-π(4蹈)走=荣2,π(4胶)育=驼-62132π(1牲)馆=熟-2π(2挽)泉=暮-1π(3僚)纤=虏-4π(4林)值=红-6其实π的物理意义就是节点距离标记取负数Re报du吵ce木C方os够t的计吸算

小于零意味着什么呢？312452132π(1灿)烟=麻-2π(2害)划=顽-1π(3使)集=逝-4π(4规)夏=沾-6通过链路cij到