动量和角动量应用和材料专业

动量和角动量应用和材料专业第一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五第三章动量与角动量

3.1冲量与动量定理3.2质点系的动量定理

3.3动量守恒定律

3.5质心3.6质心运动定理3.7质点的角动量3.8角动量守恒定律3.4火箭飞行原理

3.9质点系的角动量定理

3.10质心参考系中的角动量第二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五实际问题中有时需要研究一个过程的积累效果。牛顿定律是瞬时规律！若对过程的瞬时细节不感兴趣，只关心始末两个状态的情况，于是从牛顿定律发展出动量定理、动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律、角动量定理、角动量守恒定律等。有些过程的细节非常复杂，如：碰撞问题（宏观），散射问题（微观）。前言第三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五动量、冲量、角动量、冲量矩、动量定理、角动量定理等过程的积累效应分为两大类：1、第一类积累效应：力对时间的累积效应。2、第二类积累效应：力对空间的累积效应。

功、动能、转动动能、动能定理等

第四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五一、冲量质点的动量定理（impulsetheoremofmomentum）在时间内，力给物体的冲量为1.力的冲量（impulse）ABm3.1冲量与动量定理

2.质点的动量定理（theoremofmomentumofaparticle）第五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五力给物体的冲量几点说明：1.冲量大小：

方向：同的方向2.动量定理的微分形式

动量定理：

在时间内，外力作用在质点上的冲量等于质点的动量的增量。第六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五分量形式4.在时间内，物体受平均冲力为3.直角坐标系中动量定理第七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五

越小，则越大。例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大。注意在一定时FFto

t5.动量定理只适用于惯性系。物体动量对同一

个惯性系！

若要在非惯性系用，应考虑惯性力。第八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五h1h2ym【解】碰前碰后(负号表示什么意思?)小球所受的撞击力例1.一质量为0.1kg的小钢球从2.5m处自由下落，与地上水平钢板碰撞后回跳高度为1.6m。设碰撞时间为0.01s,求平均撞击力。第九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例2.一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球,以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s。求在此时间内钢板所受到的平均冲力。建立坐标系,由动量定理得方向沿轴反向【解】第十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例3.质点作匀速率圆运动。求质点从A运动到B,C,D时动量改变量。·O

A--B动量改变量为A--D动量改变量为A--C动量改变量为【解】第十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例4.

锥摆作匀速率圆运动一周，周期为T0。求【解】1.质点的动量改变量OlO锥摆m动量改变量为2.重力给物体的冲量

重力给物体的冲量为3.合力给物体的冲量第十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五4.拉力给物体的冲量

拉力给物体的冲量为

合力给物体的冲量为第十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例5.逆风行舟龙骨

F阻

F横

F风对帆

F横

F进F帆对风风第十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五船行“八面风”第十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五质点系二、质点系的动量定理（theoremofmomentumofparticlesystem）为质点1,2

受的合外力

为质点1,2

受的内力为质点1,2

的动量3.2质点系的动量定理一、基本概念质点系：有相互作用的若干质点组成系统。内力

：质点系内质点之间相互作用力。

外力：质点系外物体对质点系内质点作用力。第十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五

质点系动量定理：作用于系统的合外力冲量等于系统的动量增量。将上式推广到n个质点，质点系动量定理为由牛III，一对内力抵消

，故对质点2：对质点1：上面两式相加得：第十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1.系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关，内力不改变质点系的动量！2.内力可改变质点系内某些质点的动量。3.用质点系动量定理处理问题可避开内力。注意质点系总动量的增量等于该质点系所受合外力的冲量！质点系的合外力质点系的总动量第十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五推开前后系统动量不变推开后速度

且方向相反,则初始速度则第十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例1.

书例3车以恒定速度v运动，煤斗每秒落入车的煤为500吨。求牵引力F。系统受牵引力为【解】m⊿mt时刻车的质量为m，⊿t时间内质量为⊿m煤落入车内。选m和⊿m为系统。t时刻系统总动量为t+⊿t时刻系统总动量为第二十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五一、动量守恒定律

3.3动量守恒定律（lawofconservationofmomentum）质点系动量定理：

若质点系受合外力为零

或

由上面二式得：第二十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五

1、动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物体的动量是可变。

2、守恒条件：合外力为零当外力<<内力且作用时间极短时，可略去外力的作用,近似地认为系统动量守恒。例如在碰撞,打击,爆炸等问题。质点系的动量守恒定律：若质点系受合外力为零，则质点系的总动量不变！说明3、若某一方向合外力为零，则该方向动量守恒。尽管总动量不守恒。第二十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五5、动量守恒定律是自然界最普遍，最基本的定律之一！宏观与微观、低速与高速领域均适用。4、动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均守恒。各物体的动量必对同一惯性参考系！

直角坐标系中动量定理的分量式：第二十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五二、应用动量守恒定律的解题思路1、选系统2、分析力3、审条件4、明过程5、列方程例1.冲击摆问题例2.圆弧形滑槽移动问题例3.粒子散射问题第二十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例1.已知:导轨上的炮车仰角为,质量为M

，炮弹质量为m,炮弹相对炮筒的射出炮口速度为。（忽略导轨的摩擦）求:（1）炮弹刚射出炮口时,炮车的反冲速度;

（2）若炮筒长为，发射过程中炮车移动

的距离。第二十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五外力:水平方向外力为零,水平方向动量守恒。系统:

炮弹与炮车【解】（1）求炮车反冲的速度条件:地面系：设，如图x方向----------------（1）由速度变换炮弹出口时-----（2）将式（2）代入（1）得第二十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五（2）求发射过程中炮车移动的距离炮车的移动变速的！

设发射过程中的某时刻t

：设发射过程经历时间为T,利用在发射过程中，炮车对地的位移为：炮弹相对炮车的速度为炮车的移动速度为第二十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五炮弹相对炮车的位移第二十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例2.

水平面上有一质量为M

、倾角为的斜面体，一质量为m的物体从高为h处由静止下滑（忽略所有摩擦）。求：物体滑到底面的过程中，斜面后退的距离。【解】用动量守恒和相对运动求解系统：m，M水平方向受外力为零，水平方向动量守恒SS’x设下滑时间为T，对式(1)积分得：第二十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五SS’x利用相对运动位移变换得：联立解(2)、(3)，得斜面后退的距离：第三十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五X方向动量守恒：例3.（书例3）

粒子散射问题。求

粒子碰撞前后的速率比。

【解】粒子碰撞过程受外力为零，动量守恒Y方向动量守恒：由(1)、(2)得粒子碰撞前后的速率比：系统：m，M第三十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五3.4火箭飞行原理我国神州3号飞船升空（2000年2月）第三十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五条件：燃料相对箭体以恒速u喷出初态：系统质量M，对地速度v，

动量Mv1.火箭的速度系统：火箭壳体+尚存燃料总体过程：点火

燃料烧尽先分析很小过程：

tt+dt末态：喷出燃料后喷出燃料质量：dm=

–dM！喷出燃料对地速度：v

–uv+dvu喷出燃料dm

系统M–dmv

t时刻

t+dt时刻

系统M第三十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五火箭壳体+尚存燃料的质量：M–dm=M+dM末态系统动量：(M+dM)(v

+dv)+–dM(v

–u)

火箭壳体+尚存燃料的对地速度：v

+dv

由动量守恒，有

Mv

=dM(v

–u)+(M+dM)(v

+dv

)上式中省去dMdv高阶小量后得：Mdv

=–

udM速度公式：第三十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五引入火箭质量比：得提高vf的途径：

(1)提高u（现可达u=4.1km/s）

(2)增大N（单级火箭N提得很高不合算）为有效提高N，采用多级火箭（如2级、3级）v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3

资料：长征三号（3级大型运载火箭）全长：43.25m，最大直径：3.35m，起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。第三十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五rc3.5质心（centerofmass）一、质心的概念和质心位置的确定×C······mi·z·riyx0定义质心C的位矢为：

质心位置是质点位置以质量为权重的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。

质心----质点系的质量中心。

直角坐标的分量式：第三十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五二、几种系统的质心1、两质点系统2、物体的质量连续分布×rrcdmC0mzxy物体的质量连续分布的质心c的位矢为质心c的位矢为第三十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五均匀的直棍、圆盘、球体、圆环等，质心在它们的几何中心。例1.地球--月亮系统的质心例2.弯成半圆形的一段铁丝的质心在直角坐标系，质心坐标为：第三十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五物体的质心一定在物体上吗？区别质心和重心：物体不大时，地面附近，质心和重心重合!第三十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五

3.6质心运动定理

（theoremofmotionofcenterofmass）一、质心运动定理rcCvc×······mi·z·riyx0vi1、质心的速度

质点系的质心c位置为上式对时间t求导得质心速度2、质点系的总动量第四十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五质心运动定理：质点系所受的合外力等于整个质点系的质量乘以质心运动的加速度！1、质心运动定理说明质心的运动服从牛。系统内力不影响质心的运动。2、把全部外力，全部质量集中于质心。3、质点系的总动量的变化率说明由上得质点系的总动量为=质心动量=质点系的总动量第四十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五扔出的一把搬子（或一团乱麻）运动员（或爆炸的焰火）3、合外力为零时，质点系的总动量守恒！第四十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五求：船相对岸移动的距离d=？mMdcc【解】方法一：质心法。系统：人与船水平方向：不受外力所以质心始终静止。例1.质量M=200千克、长l=4米的木船浮在静止的水面上，一质量为m=50千克的人站在船尾，人从船尾走到船头。（设船与水之间的摩擦可以忽略）第四十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五得ccx2x1x’2x’1mMdxy第四十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五方法二：动量守恒法。x方向：位移结果与方法一相同mMdx设，如图，从船尾走到船头需时T,第四十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五三.质心参考系

1、质心系质心系是固定在质心上的平动参考系。质心系不一定是惯性系！

质点系的复杂运动为下面两个运动合成：

即在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。第一个运动：质点系的质心运动；第二个运动：各质点相对于质心的运动——第四十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五2、质心系的基本特征所以，质心参考系是

零动量参考系！例如.

两质点系统，在其质心参考系中，总是具有等值、反向的动量。对地参考系，质点系的总动量为对质心参考系，质点系的总动量为零！质心系中看两粒子碰撞第四十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五3.7质点的角动量（angularmomentumofaparticle）物理学非常注意守恒量的研究。在天体运动中，常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时,行星始终在同一个平面内运动的现象。例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：银河系中的每个恒星都有自己的转动平面。银河系在这些问题中，存在质点的角动量守恒的规律！第四十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五

例.质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小为

L=mvR角动量的方向不变。质点对原点的角动量（又叫动量矩）为定义：mOprRmO一、质点（对固定点）的角动量角动量矢量方向：垂直位矢和动量组成的平面，且服从右手法则。角动量矢量大小：第四十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五力矩矢量方向：垂直位矢和力组成的平面，且服从右手法则。力矩矢量大小：称为力臂。质点受力对原点的力矩为二、质点（对固定点）的力矩定义：第五十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五三、角动量定理质点受合外力质点的角动量对时间求导得：第五十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五质点角动量定理的微分形式：质点对固定点角动量的时间变化率等于合外力对该固定点的力矩。或在t1t2时间过程，对上式积分有为质点角动量的增量质点角动量定理的积分形式：质点对固定点角动量的增量等于该质点所受合外力的冲量矩。称为冲量矩第五十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五力对坐标轴的力矩角动量的坐标轴的分量在直角坐标系，角动量定理的分量式为第五十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五质点角动量守恒定律：质点所受力对参考点O

的合力矩为零时，质点对该参考点O

的角动量为恒矢量。

恒矢量质点对该轴的角动量守恒2、如力矩某一分量

，则

常量,3.8角动量守恒定律（lawofconservationofangularmomentum）当合外力矩说明：1、（如行星受的万有引力）点：有心力过固定或第五十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例1.证明开普勒第二定律：行星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积。

【解】因为是有心力场，所以力矩M=0,3、角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，适用于宏观与微观体系、高速与低速范围。

角动量守恒：始终在同一平面内。第五十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五行星矢径的掠面速度=常量日dθdS掠面（矢径扫过面）：常量常量角动量的大小：第五十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例2.已知人造地球卫星的近地点和远地点的高度分别为h1和h2，求此卫星的近地点和远地点的速度v1，v2。Rh2h1v2=?v1=?因为是有心力场，所以力矩M=0,角动量（对地心）守恒【解】地球人造卫星在近地点速度大，在远地点速度小。近地点高度为266km,速度为8.13km/s;第五十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五1970年，我国发射了第一颗地球人造卫星。远地点高度为1826km,速度为6.56km/s。求近地点和远地点的速度，要用角动量守恒和机械能守恒联合求解！第五十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例3.（书例3.17）

粒子散射问题。求

粒子被散射的角度。

【解】粒子散射过程受有心力，对原点O的力矩M=0，对原点O的角动量守恒。即粒子受有心的电场力为第五十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五在Y方向的牛2方程为由方程（1）和（3）消去，得对式（4）积分得第六十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五3.9质点系的角动量定理（angularmomentumofaparticle）

1、质点系对固定点的角动量其中第i质点对固定点O的角动量为O一、质点系的角动量定理定义各个质点对固定点O的角动量的矢量和，即第六十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五其中：第i质点受的外力，

第i质点受其它质点给它的全部内力。O对第i质点，用角动量定理为第i质点受的外力和内力对O点产生的力矩。第六十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五将上式对质点系内所有质点求和，得--各质点所受外力矩的矢量和，

称为质点系受合外力矩---各质点所受内力矩的矢量和式中将上式表示为第六十三页，共八十一页，编辑于2023年，星期五O与

共线所以这一对内力矩之和为零：同理得所有内力矩之和为零。证毕！证明：对i,j

两个质点，它们相互作用的内力矩之和为下面证明各质点所受内力矩的矢量和为零！第六十四页，共八十一页，编辑于2023年，星期五由上面的式子最后得结论：质点系的角动量定理：质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率！O说明1、质点系的角动量定理也是适用于惯性系。2、外力矩和角动量都是相对于惯性系中的同一固定点。第六十五页，共八十一页，编辑于2023年，星期五3、当合外力矩为零时，质点系总角动量不随时间变化，质点系的角动量守恒定律！

这类似质点系的动量守恒定律。

4.内力矩不改变质点系总角动量，但可改变

质点系内质点的角动量。

这类似质点系的动量守恒定律。第六十六页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例1.一长为l的轻质细杆两端分别固接小球A和

B,杆可绕其中点处的细轴在光滑水平面上转动。初始时杆静止，后另一小球C以速度v0垂直于杆碰A,碰后与A合二而一。设三个小球的质量都是m,求:碰后杆转动的角速度

。ABCv0【解】选系统:A+B+C第六十七页，共八十一页，编辑于2023年，星期五答：轴处有水平外力，动量不守恒。得杆转动的角速度碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？

答：轴处有水平外力，但没有外力矩，

角动量守恒！碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？即设碰后B球的速度为v第六十八页，共八十一页，编辑于2023年，星期五例2.一长为l的轻质杆端部固结一小球m1，另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。碰撞时重力和轴力都通过转轴O，选（m1+m2+杆）为系统求：碰撞后杆的角速度ω对O力矩为零，故角动量守恒。lm1Ov0m2解得：思考

（m1＋m2

）的水平动量是否守恒？有存在水平轴力由结果验算！【解】第六十九页，共八十一页，编辑于2023年，星期五

被中香炉惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用

第七十页，共八十一页，编辑于2023年，星期五克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消第七十一页，共八十一页，编辑于2023年，星期五滑冰运动员的旋转猫的下落（A）猫的下落（B）第七十二页，共八十一页，编辑于2023年，星期五▲地球转轴的旋进，岁差

随着地球自转轴的旋进，北天极方向不断改变。北极星3000年前小熊座

现在小熊座12000年后天琴座（织女）T=25800年C1C2F1F2太阳赤道平面黄道平面地球北天极地轴L地球自转角动量（F1>F2

）M地球自转轴旋进第七十三页，共