高数课件其他幂级数

Powerseries高等数电子教编安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics案§12.3幂级数安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959学高等数学一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的性质25五月2023§12.3幂级数1.1、定义一、函数项级数的概念1.2、收敛点与收敛域1.3、和函数二、幂级数及其收敛性2.1、定义2.2、收敛性2.3、收敛半径和收敛区间2.4、收敛半径的求法三、幂级数的运算3.1

、代数运算性质3.2、和函数的分析运算性质四、小结思考题幂级数逐项求导，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？作业P2771⑴⑺⑻；2⑴⑵。课前练习25五月20232.(2000考研)

若收敛,则必收敛的级数是()课前练习A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.敛散性与a有关.25五月2023课前练习解25五月2023方法1由原级数收敛及级数可加性，直接选D。方法2

排除法课前练习2.(2000考研)

若收敛,则必收敛的级数是()25五月20231.1、定义一、函数项级数的概念25五月20231.2、收敛点与收敛域一、函数项级数的概念25五月2023函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)★注意函数项级数在某点x的收敛问题，实质上是数项级数的收敛问题。1.3、和函数(定义域是?)一、函数项级数的概念25五月2023解由达朗贝尔判别法对任意实数x,原级数都收敛.例1

求级数

的收敛域。故原级数的收敛域为(-∞,+∞)一、函数项级数的概念25五月20232.1、定义该幂级数也称为麦克劳林级数，其系数为该幂级数也称为泰勒级数，其系数为二、幂级数及其收敛性25五月20232.2、收敛性⑴定理1(Abel定理)二、幂级数及其收敛性25五月2023证明①二、幂级数及其收敛性25五月2023由①结论，⑵几何说明收敛区域发散区域发散区域②二、幂级数及其收敛性25五月2023⑶推论收敛区域发散区域发散区域二、幂级数及其收敛性25五月2023定义:

上述推论中的正数R

称为幂级数的收敛半径.开区间（-R,R）称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?2.3、收敛半径和收敛区间再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决定它的收敛域为以下四个区间之一:二、幂级数及其收敛性25五月2023证明2.4、收敛半径的求法二、幂级数及其收敛性25五月2023由比值审敛法,二、幂级数及其收敛性25五月2023定理证毕.二、幂级数及其收敛性25五月2023例2

求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散二、幂级数及其收敛性25五月2023二、幂级数及其收敛性25五月2023发散收敛故收敛区间为(0,1].二、幂级数及其收敛性25五月2023解缺少偶次幂的项收敛,发散,级数发散,级数发散,∴原级数的收敛区间为二、幂级数及其收敛性25五月2023解由比值判别法例4求级数nnnxn)11()1(1+-å¥=的收敛域.级数收敛,级数发散,收敛;发散;二、幂级数及其收敛性25五月20233.1、代数运算性质(1)加减法(其中(2)乘法(其中三、幂级数的运算25五月2023柯西乘积(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)三、幂级数的运算25五月20233.2和函数的分析运算性质(收敛半径不变)三、幂级数的运算25五月2023(收敛半径不变)三、幂级数的运算25五月2023解两边积分得三、幂级数的运算25五月2023解例6

求幂级数å¥=+0)12(nnxn的和函数.

å¥=+0)12(nnxn方法一三、幂级数的运算25五月2023方法二三、幂级数的运算25五月