高中数学北师大版四学案：第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标1。理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用。2。掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系。3。理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P,PM⊥x轴于M,设P(x，y),|OP|＝r。思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sinα，cosα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sinα，cosα的值怎样表示？梳理(1）对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u,v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数,记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数,记作________．（2）对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sinα，cosα都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗?梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋知识点四周期函数思考由sin（x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地,对于函数f（x),如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f（x）称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个,称为____________，简称为周期．类型一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1已知角α终边上一点坐标求三角函数值例1已知θ终边上一点P(x,3)（x≠0），且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x,求sinθ的值．反思与感悟（1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r（r>0）,则sinα＝eq\f（y,r),cosα＝eq\f（x，r）。当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1已知角α的终边过点P（－3a,4a）（a≠0），求2sinα＋cosα的值．命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值例2已知角α的终边在直线y＝－3x上,求10sinα＋eq\f(3，cosα）的值．反思与感悟在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的（a，b）,则对应角的三角函数值分别为sinα＝eq\f(b，\r(a2＋b2）），cosα＝eq\f（a,\r（a2＋b2)).跟踪训练2已知角α的终边在直线y＝eq\r（3）x上,求sinα，cosα的值．类型二正弦、余弦函数值符号的判断例3（1）若α是第二象限角，则点P(sinα,cosα）在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin145°cos（－210°）；②sin3·cos4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sinAcosB＜0，则此三角形必为(）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4（1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f（x),求证：函数f(x）是以4为周期的周期函数；(2）已知函数f(x）在其定义域上都满足f（x＋2）＝－eq\f(1，fx），求证：函数f（x）是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义:存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f（x＋T）＝f(x)．（2）一般地,如果f(x＋a）＝－f(x)，那么f(x）的周期为2a(a≠0）;如果f（x＋a）＝eq\f（1,fx），那么f(x）的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f（x）（x∈R)满足f（x）＝f（x－a）＋f(x＋a）(a〈0），f（2a）＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于()A。eq\f(4,5) B。eq\f（3，5）C．－eq\f（3，5） D．－eq\f（4，5）2．当α为第二象限角时，eq\f（｜sinα|，sinα）－eq\f（cosα，｜cosα|)的值是()A．1B．0C．2D．－23．设f(x)是以1为一个周期的函数,且当x∈（－1，0）时，f（x）＝2x＋1,则f(eq\f(7,2））的值为(）A．2B．0C．－1D．－34．点P（sin2016°，cos2016°）位于第________象限．5．已知角α的终边在直线y＝2x上，求sinα＋cosα的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵,把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号,所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°）角的三角函数值．

答案精析问题导学知识点一思考1sinα＝eq\f（y,r）,cosα＝eq\f(x,r）.思考2不会．思考3sinα＝y，cosα＝x.梳理(1)纵坐标vv＝sinα横坐标uu＝cosα知识点二思考由三角函数的定义可知,对于任意角α,sinα，cosα都有意义．知识点三思考由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(u，v），则sinα＝v,cosα＝u.当α为第一象限角时，v>0，u〉0，故sinα>0，cosα〉0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号．知识点四思考2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理非零实数T任意一个f(x＋T)＝f(x）T最小最小正周期题型探究例1解由题意知r＝|OP|＝eq\r（x2＋9),由三角函数定义得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f（x，\r（x2＋9))。又∵cosθ＝eq\f(\r（10),10)x,∴eq\f（x，\r（x2＋9））＝eq\f（\r（10)，10)x。∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P（1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r（12＋32)）＝eq\f（3\r（10)，10）。当x＝－1时，P（－1，3),此时sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32)）＝eq\f(3\r(10)，10)。跟踪训练1解r＝eq\r（－3a2＋4a2）＝5｜a|。①若a〉0，则r＝5a，角α在第二象限，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(4a，5a)＝eq\f（4,5），cosα＝eq\f(x,r）＝eq\f（－3a,5a)＝－eq\f(3，5）,∴2sinα＋cosα＝eq\f(8,5）－eq\f(3，5）＝1。②若a〈0，则r＝－5a,角α在第四象限,sinα＝eq\f(4a,－5a）＝－eq\f（4，5），cosα＝eq\f(－3a，－5a)＝eq\f(3，5）,∴2sinα＋cosα＝－eq\f(8,5)＋eq\f（3,5)＝－1.例2解由题意知，cosα≠0。设角α的终边上任一点为P(k,－3k)（k≠0),则x＝k,y＝－3k，r＝eq\r（k2＋－3k2）＝eq\r（10）｜k｜.（1)当k>0时，r＝eq\r(10）k,α是第四象限角，sinα＝eq\f（y，r）＝eq\f（－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3\r（10），10)，eq\f（1，cosα)＝eq\f(r，x)＝eq\f（\r（10）k，k）＝eq\r（10），∴10sinα＋eq\f（3,cosα)＝10×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3\r(10),10））)＋3eq\r(10）＝－3eq\r(10）＋3eq\r(10）＝0.(2)当k<0时，r＝－eq\r(10)k，α是第二象限角，sinα＝eq\f（y,r）＝eq\f(－3k,－\r（10）k）＝eq\f(3\r（10)，10），eq\f（1，cosα)＝eq\f（r，x)＝eq\f（－\r(10）k,k)＝－eq\r(10），∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\f（3\r(10），10）＋3×（－eq\r（10））＝3eq\r(10)－3eq\r(10）＝0.综上所述，10sinα＋eq\f(3，cosα)＝0.跟踪训练2解因为角α的终边在直线y＝eq\r(3)x上，所以可设P(a,eq\r（3）a）（a≠0）为角α终边上任意一点，则r＝eq\r(a2＋\r（3)a2）＝2|a｜(a≠0）．若a>0，则α为第一象限角,r＝2a，所以sinα＝eq\f（\r（3)a，2a)＝eq\f(\r（3）,2），cosα＝eq\f(a，2a）＝eq\f（1，2).若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sinα＝eq\f(\r（3)a，－2a）＝－eq\f(\r（3),2）,cosα＝－eq\f(a，2a)＝－eq\f（1，2）。例3（1）D(2）解①∵145°是第二象限角,∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos（－210°)＜0，∴sin145°cos（－210°)＜0.②∵eq\f(π,2）＜3＜π,π＜4＜eq\f(3π，2），eq\f(3π，2）＜5＜2π，∴sin3＞0,cos4＜0，∴sin3·cos4〈0.跟踪训练3B例4证明(1）∵f（x＋4)＝f［(x＋2)＋2]＝－f(x＋2）＝－[－f（x)]＝f（x）,∴由周期函数定义知，函数f（x)是以4为周期的周期函数．（2)∵f(x＋4)＝f[（x＋2）＋2］＝－eq\f(1，fx＋2)＝－eq\f(1，－\f（1,fx)）＝f（x)，∴由周期函数定义知，函数f（x）是以4为周期的周期函数．跟踪训练4解由f（x)＝f(x－a）＋f（x＋a)，①得f（x＋a）＝f(x)＋f（x＋2a）．②①＋②，得f(x－a）＋f（x＋2a）＝0,即f(x－a）＝－f(x＋2a)，∴f(x）＝－f(x＋3a），即f（x＋3a)＝－f(x)，∴f(x＋6a)＝－f(x＋3a)＝f(x）．∴T＝6a为函数y＝f（x）的一个周期,∴f(14a)＝f（6a×2＋2a)＝f(2a）＝1.当堂训练1．D2.C3。B4.三5．解在直线y＝2x上任取一点P（x,2x）（x≠0），则r＝eq\r（x2＋2x2）＝eq\r（5）｜x|。①若x>0,则r＝eq\r（5）x，从而sinα＝eq\f(2x,\r（5)x）＝eq\f（2\r(5），5)，cosα＝eq