高中数学北师大版二学案：第一章 6.2　垂直关系的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精6．2垂直关系的性质学习目标1.掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理.2。能运用性质定理解决一些简单问题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．知识点一直线与平面垂直的性质定理思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？梳理性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线________符号语言eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（a⊥α，b⊥α))⇒a∥b图形语言知识点二平面与平面垂直的性质思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？梳理性质定理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在______________垂直于它们________的直线________于另一个平面符号语言α⊥β,α∩β＝l，________，________⇒a⊥β图形语言类型一线面垂直的性质及应用例1如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC,A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1。反思与感悟证明线线平行的常用方法(1）利用线线平行定义：证共面且无公共点．（2）利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线．（3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．（4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直。(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．跟踪训练1如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β,垂足分别为A、B，aα,a⊥AB。求证：a∥l。类型二面面垂直的性质及应用例2如图,在三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直；(2）直线必须在其中一个平面内;（3)直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：(1）BG⊥平面PAD；（2）AD⊥PB。类型三垂直关系的综合应用eq\x(命题角度1线线、线面、面面垂直的转化）例3如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD。E和F分别是CD和PC的中点，求证：（1）PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；（3)平面BEF⊥平面PCD。反思与感悟(1）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点:①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练3如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC。求证：平面ABD⊥平面ACD.eq\x（命题角度2垂直中的探索性问题）例4已知在三棱锥A－BCD中，∠BCD＝90°,BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°，E,F分别是AC，AD上的动点，且eq\f(AE，AC）＝eq\f(AF，AD）＝λ（0＜λ＜1）．(1)求证：不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC；(2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？反思与感悟解决开放性问题一般先从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．跟踪训练4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．1．在空间中,下列命题正确的是（)A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2．平面α⊥平面β，直线a∥α，则（)A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能3．已知直线l⊥平面α，直线m平面β。有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β。其中正确的两个命题是（)A．①②B．③④C．①③D．②④4．如图，在三棱锥P－ABC中,侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.5。如图所示,在四棱锥S－ABCD中,底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直"关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：答案精析问题导学知识点一思考平行．梳理平行知识点二思考容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．梳理一个平面内交线垂直aαa⊥l题型探究例1证明如图，连接AB1，B1C,BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD,AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C。∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.跟踪训练1证明∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.同理PB⊥l。∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.∵a⊥AB,PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB。∴a∥l.例2证明如图,在平面PAB内，作AD⊥PB于点D。∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC＝PB.∴AD⊥平面PBC。又BC平面PBC，∴AD⊥BC。又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC,又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB。又AB平面PAB，∴BC⊥AB。跟踪训练2证明（1）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.∴BG⊥平面PAD。(2)由（1）可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD。又BG∩PG＝G,∴AD⊥平面PBG,又PB平面PBG,∴AD⊥PB。例3证明（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.（2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB,E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD。又AD平面PAD，BE平面PAD，∴BE∥平面PAD。(3)在平行四边形ABED中，由AB⊥AD，可得ABED为矩形，故有BE⊥CD。①由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD。再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF.②而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF。由于CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.跟踪训练3证明∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC,在平面ABC内，作AE⊥BC于点E,如图，则AE⊥平面BCD。又CD平面BCD，∴AE⊥CD。又BC⊥CD，AE∩BC＝E,AE，BC平面ABC,∴CD⊥平面ABC,又AB平面ABC，∴AB⊥CD.又AB⊥AC,AC∩CD＝C,AC、CD平面ACD。∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD。例4（1）证明∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD。∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD。又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC。∵eq\f(AE，AC)＝eq\f（AF,AD)，∴EF∥CD,∴EF⊥平面ABC。又∵EF平面BEF,∴平面BEF⊥平面ABC。故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.（2)解由(1），得EF⊥平面ABC，BE平面ABC，∴EF⊥BE。要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝eq\r（2）。又∵AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°，∴AB＝eq\r(6),AC＝eq\r(7）,∴BE＝eq\f（AB·BC，AC）＝eq\f（\r(42）,7），∴AE＝eq\f(6\r（7），7)，∴λ＝eq\f（AE，AC)＝eq\f（6,7)。故当λ＝eq\f(6,7)时，平面BEF⊥平面ACD.跟踪训练4(1）证明连接AD1，BC1，由正方体的性质可知,DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE。（2)解如图所示A1点即为G点，证明如下：连接A1F由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H,连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE。又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平