高中数学北师大版二学案：第一章 2　直观图

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学习目标1。掌握斜二测画法的作图规则。2。会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法思考1边长2cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢?在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？思考2正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？梳理(1）水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则:①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝________，它们确定的平面表示________________．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度______；平行于y轴的线段，长度为原来的________．（2）立体图形直观图的画法类型一水平放置的平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形,其直观图如何？反思与感悟(1）本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图．类型二直观图的还原与有关计算eq\x（命题角度1由直观图还原平面图形）例2如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键：(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍．（2）对于相邻两边不与x′轴，y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴的平行线变换确定其在xOy中的位置．跟踪训练2如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′＝6cm,C′D′＝2cm，则原图形是________．eq\x（命题角度2原图形与直观图的面积的计算）例3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f（2，3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1。试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．（2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝eq\f(\r（2)，4）S.跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1,那么原三角形ABO的面积是（）A.eq\f（1，2） B。eq\f（\r（2）,2)C.eq\r(2) D．2eq\r（2)类型三空间几何体的直观图例4画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．反思与感悟简单几何体直观图的画法(1）画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2）画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．(3）确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图．跟踪训练4用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．1．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，图中正确的是（)2．下列关于直观图的说法不正确的是()A．原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变B．原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠x′O′y′可以画成45°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的（）A。eq\f（\r(2）,4)倍B．2倍C。eq\f（\r（2）,2)倍D。eq\r(2）倍4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6,B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．5．画出一个正三棱台的直观图．（尺寸：上、下底面边长分别为1cm，2cm，高为2cm)1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：（1）一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.（2）二测：在直观图中平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度取一半,记为“横不变,纵折半”．答案精析问题导学知识点思考1A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝eq\f(1,2）AD.思考2没有都画成正方形．梳理(1)①45°水平平面②平行③不变eq\f(1，2）(2)z′轴平行性及长度相等平面x′O′y′y′O′z′x′O′z′题型探究例1解画法：(1）在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图（1)（2）所示；（2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1，2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)；(3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图（3)．引申探究解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点，建立直角坐标系,画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°；(2）以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝eq\f(1,2）OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD；（3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．跟踪训练1解画法：(1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy.（2)画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f（1,2）OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．例2解画法：(1)画出直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；（2)过点B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过点D作DB∥y轴,且使DB＝2D′B′;（3)连接AB，BC，得△ABC。则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形,如图所示．跟踪训练2菱形解析如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r（2)＝4eq\r（2）cm,CD＝C′D′＝2cm，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2）＝eq\r（4\r(2）2＋22）＝6(cm),∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．例3解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2。在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形．由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3,直角腰的长度AD＝2，所以面积为S＝eq\f（2＋3，2）×2＝5。跟踪训练3C例4解画法：（1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴,使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°,如图①.（2）画底面,以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.(3）画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②。跟踪训练4解画法：(1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°。(2）画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD。（3）画侧棱．过A，B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上沿Oz轴方向分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′,DD′.（4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②）．当堂训练1．C2.A3。A4.105．解画法：（1）作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的