全国第八届青年数学教师优质课教学设计正余弦定理应用举例

数学学习资料人教版必修五《1.2应用举》教学设计云南师范大学实验中学

寸圣甫一教分本节课是学习了正弦定理弦理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课以说是为正弦定理余弦定理的用而设计的此节课的学习具有理论联系实际的重要作用在本节课的教学中，用方的思想作支撑具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。二教目设根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，确定了本节课的教学目标：知与能①能够运用正弦定理弦定理等知识和方法解决一些有关测量离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中象构造出三角形出已知量知量定三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，过与法①采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图图，帮助学生逐步构建知识框架。②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题及数学知识在生产活际中所发挥的重要作用情、度价观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力三学学分本节课的教学对象是云南师范大学实验中学高二年级的学生．1.有的能力：学生已经学习了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，具有了一定的基础。2.在的问题生在运用正弦定理和余弦定理解三形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题，构造模型的能力有待提高。难：1．际问题抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解2.根题意建立数学模型，画出示意图数学学习资料

数学学习资料突策：（）探索概念阶,让生老师共同参与完成例1．学生体会实际问题建立数学模型，解答数学模型，再得到实际问题解的过程。（）应用概念阶,通过对解答过程的分析，帮助学生掌握在实际问题中找寻可解三角形的实际过程。（）师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程．五教过设【学程一创情，确标请学生回答完后再提问面引言第一解三角形们遇到这么一个问题不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？古代文家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离是么神奇的方探索到这个奥秘的呢？我们知道于知的距离高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形三形的方法或助解直角三角形等等不同的方法由于在实际测量问题的真实背景下些法会不能实施因没有足够的空间能全等三角形的方法来测量以些法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的天我们开始学习正弦定理弦理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。【学生活动】感受生活中的数学，体会了生活中测量距离的现实需要．【教师活动】通过实例，引导学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在数方法是解决实际问题的一大途径际问题推动数学发展数学发展推动科学技术发展。【设计意图通过引言让学生会解三角形在生活中的广泛应用发生对于本堂课内容的浓厚兴趣．数学学习资料

==数学学习资料==二实问，立学型例1、如图所示，设A、两点河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的侧，在所在的河岸边选定一点C测出的距是55m

BAC=51

ACB=AB两点的距离精到0.1m)启发提问1：

ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析这是一道关于测量从一个到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题目条件告诉了边AB的对AC为知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出的对，应用正弦定理算出AB。解：根据正弦定理，得ABCAB==

ACsinACB55sinsin55sin75≈65.7(m)

=

sin(180答A、两间的距离为65.7【学生活动】：思考并提出解决这个实际问题的方法。【教师活动在学生讨论建数学模型的方法上着重强调可行性让学生充分展示自己的见解，营造一个探讨和辩论的氛围，激发学生的创造力。【设计意图】：“数学源于生，生活依靠数学，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性；使学生更深切地感受到数学与实际的联系，感受到数学问题的广泛，使学生对于学习数学的重要性理解得更为深刻从中体会数学建模的思想。例、图，、两都在河的对岸（不可达计种测量、两点距离的方法。分析这例1的式题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题先需要构造三角形，所以需要确定C、两。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出和BC再利用余弦定理可以计算出AB的距。解：测量者可以在河岸边选定两点CD，测得CD=a，并且在CD两点别测得

，ACD=，，BDA=，在ADC和中，应用正弦定理得AC

=

a

=

asin(sin[180

sin(BC

=

asin

=

asin

sin[180数学学习资料

数学学习资料计算出AC和BC后，在ABC中应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB

=

AC

2AC

【学生活动】：小组讨论并提出解决这个实际问题的方法。【教师活动】：让学生充分展示自己的见解，并归纳总结学生的解题方法。【设计意图引导学生寻求在究三角形时活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。并强化学生的数学建模意识。互探学活：探究客轮能否触礁播意利华轮礁闻设个际题情。一轮船在海上由西向东航行测某岛M在处北偏东角前进

后测得该岛在

角，已知该岛周围

范围内有暗礁，现该船继续东行。（）若

，问该船有无触礁危险？如果没有请说明理由；（）如果有那么该船自

处向东航行多远会有触角危险(1)如下图，作MC⊥，足为C，由已知α＝60°，＝30°，∴∠＝，∠AMB＝30°，∴＝＝，MBC＝60°，∴＝BM＝

<3.5，∴该船有触礁的危险．（）设该船自B向东航行至点有触礁危险，连接MD数学学习资料

数学学习资料则MD，BM4BC＝2＝2

，MDC中，CD＝

＝0.5，∴＝(km)．∴该船自向东航行1.5km会有触礁危险．【学生活动小组讨论我们如何考虑是否会触礁？如何建立数学模型解释这个问题。让学生建模求解并鼓励用不同方法去求解这个问题。【教师活动】：让学生充分展示自己的见解。鼓励学生用不同方法去求解。【设计意图】：重在学生培养“翻译”能力学会分析关系、领悟实质。弄清问题所述的事件和研究对象；抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；根据题意，弄清题中各有关量的数量关系抓住问题中的主要问题正确识别其类型培养学生将实际问题抽象为数学问题，从实际问题关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，体会建模的过程。预留课思考题（3）

满足什么条件时，该船没有触角危险设CMx在MAB中，即＝，＝

＝，

，而x＝·sin∠＝BM·cos，∴当>3.5，

>，即

>时，该船没有触礁危险．设计意图：该问题有一定难度留为课下自主合作探究讨论的问题，让课上到课下得到延伸。同事培养学生自主学习合作交流的能力课堂小节采提形式学阐，师当充1、解斜三角形应用题的一般步：数学学习资料

数学学习资料2利用正弦定理和余弦定理来题时学会审题及根据题意画方位,要得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。3、解三角形的应用题时，通常遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形时要选择条件足够的三角形优先研究逐步在其余的三角形中求出问题的解。数学学习资料

数学学习资料《应举例》教设计反思一．反思设计意图本节课是学习了正弦定理弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课可以说是为正弦定理余弦定理的应用而设计的因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用并根据本节课的教学内容以及学生的认知水平确定了本节课的教学目标本节课的教学对象是云南师范大学实验中学高二年级的学生学生已经学习了正弦定理和余弦定理能够运用解决一些三角形问题具有了一定的基础。但学生在运用弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题的问题构造模型的能力有待提高我认为本堂课学生难点在于实际问题中抽象出一个或几个三角形然后逐个解决三角形得到实际问题的解并且能根据题意建立数学模型，画出示意图。二．反思设计思路第一阶：情境引入本节课我以课引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题可的月亮离我们地球究竟有多远呢？课题的引入生体会学生体会生活中的数学无处不在，数学对生活的影响无处不在方法是解决实际问题的一大途径问题推动数学发展，数学发展推动科学技术发展学生体会解三角形在生活中的广泛应用发生对于本堂课的浓厚兴趣。第二阶：实际问题建立数模型引入课题后，向学生介绍例（一点可到达距离测量问题）引导学生将实际问题抽象概括出示意图建立数学模型过数学模型的解来解答实际问题。“数学源于生活，生活依靠数学，而数学建模问题贴近生活，充满趣味性；使学生更深切地感受到数学与实际的联系感受到数学问题的广泛使学生对于学习数学的重要性理解得更为深刻讨论问题时把重点放在解决此问题的可行性上学生在初中学习了解直角三角形相似三角形等方法都可测量举例但应用我们高中正余弦定理在于可行性很强。第三阶：深化第二例2是在例题一基础上建立的另一类测量距离的问题例题一得到顺利解决的前提下引入例题2这时学生跃跃欲试例题二教学中依然不给学生做出图形，培养学生敢于画图，爱作图的能力。教学中鼓励学生积极开展讨论和辩论，主动探索解决之法教学过程中努力去创造一个环境去诱导学生的学习欲望培养他们的自学能力增强他们的数学素养和创新能力强调的是获取新知识的能数学学习资料

k数学k力，是解决问题的过程。第四阶：生活情景创设，学生在实际活情境探究解决实问题对于第四阶段的探究我抛弃了以前常用的变式教学纯给学生一个题目去解出答案在课堂上我播放一段意大利豪华游轮触礁搁浅的新闻视屏并和学生一起感叹当今社会如此发达竟还会有触礁这样的惨剧发生打开问题假如我们现在在海面上行驶我们的船在海上由西向东航行得某岛在A处的北偏东角，前进后，测得该岛在角，已知该岛周围3.5范围内有暗礁，我们拿出草稿纸开始计算？这样的设问去让学生自己感受自己这时应该去计算什么？是否有触礁的危险我们应该去计算什么？一连串的追问？还是努力在营造一个让学生激起学习和讨论的欲望。让学生保持“好奇心通自己的“问题源养学生用数学知识去观察、分析提出和解决问题的能力展示学生多方面的数学思维能力并体会数学在生产生活中的强大作用。培养其创新意识，让学生体会发现问题、探究问题、解决问题的快乐。重在学生

培养“翻”能学会分析关系、领悟实质。弄清问题所述的事件和研究对象抓题目中的关字句正确把握其含义