2022高中数学 第三章《 三角恒等变换》章节通关套卷B卷 新人教A版必修

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第三章《

三角恒等变换》测试题B卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．sin2eq\f(π,12)－cos2eq\f(π,12)的值为()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)2．函数f(x)＝sinxcosx＋eq\f(\r(3),2)cos2x的最小正周期和振幅分别是()A．π，1B．π，2C．2π，1 D．2π，23．eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin170°)＝()A．4B．2C．－2 D．－44．设a＝eq\f(1,2)cos6°－eq\f(\r(3),2)sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝eq\r(\f(1－cos50°,2))，则有()A．a>b>cB．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b5．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，则tan(eq\f(π,4)＋α)等于()A．7B．－7C.eq\f(1,7) D．－eq\f(1,7)6．tanθ和tan(eq\f(π,4)－θ)是方程x2＋px＋q＝0的两根，则p、q之间的关系是()A．p＋q＋1＝0B．p－q－1＝0C．p＋q－1＝0 D．p－q＋1＝07．sin6°·cos24°·sin78°·cos48°的值为()A.eq\f(1,16)B．－eq\f(1,16)C.eq\f(1,23) D.eq\f(1,8)8．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)9．函数f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在区间[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上的最大值是()A．1B.eq\f(1＋\r(3),2)C.eq\f(3,2) D．1＋eq\r(3)10．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，则logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2等于()A．2B．3C．4 D．5二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．设α为锐角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为______．12．函数f(x)＝eq\f(1＋tanxcos2x,cos2x＋sin2x)的定义域为(0，eq\f(π,4))，则函数f(x)的值域为________．13．设α、β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，则cosβ的值为________．14．在一次考试中，由于不慎，致使一选择题已知条件被黑色墨水覆盖，原题为：已知α、β均为锐角，且sinα－sinβ＝－eq\f(1,2)，________，则tan(α－β)的值为()A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(3,\r(7))C．－eq\f(\r(7),3) D．－eq\f(3,\r(7))其中________为覆盖部分，试根据所附答案为C，推断并补出被覆盖部分．三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）设A、B、C为△ABC的三个内角，且x2－xsinAcosB＋sinC＝0的两根为α、β，且α＋β＝eq\f(1,2)αβ，判断△ABC的形状．16.（本题满分12分）已知eq\f(1,cosα－β)＋eq\f(1,cosα＋β)＝eq\f(2,cosα)，且α，β为锐角．求eq\f(cosα,cos\f(β,2))的值．17.（本题满分12分）将形如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a11),\s\do5(a21))\o(\s\up7(a12),\s\do5(a22))))的符号称二阶行列式，现规定eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a11),\s\do5(a21))\o(\s\up7(a12),\s\do5(a22))))＝a11a22－a12a21.(1)试计算二阶行列式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)1,1cos\f(π,3)))；(2)若已知函数f(θ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(cosθ),\s\do5(\f(1,2)))\o(\s\up7(sinθ),\s\do5(sin\f(7π,3)))))＝eq\f(\r(2),2)，求锐角θ的值．18.（本题满分12分）设向量α＝(eq\r(3)sin2x，sinx＋cosx)，β＝(1，sinx－cosx)，其中x∈R，函数f(x)＝α·β.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(θ)＝eq\r(3)，其中0<θ<eq\f(π,2)，求cos(θ＋eq\f(π,6))的值．19.（本题满分14分）设函数f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,3))＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝eq\f(1,3)，f(eq\f(C,2))＝－eq\f(1,4)，且C为锐角，求sinA.20.（本题满分14分）已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α、β的值．高中数学必修4

第三章《

三角恒等变换》测试题B卷参考答案一、选择题1.【答案】C【解析】原式＝－(cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).2.【答案】A【解析】f(x)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,3))，周期T＝π，振幅为1，故选A.3.【答案】D【解析】eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin170°)＝eq\f(\r(3),cos10°)－eq\f(1,sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°－cos10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2sin10°－30°,sin10°cos10°)＝eq\f(2sin－20°,sin10°cos10°)＝eq\f(－2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝－4.4.【答案】D【解析】a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°.∵sin24°<sin25°<sin26°，∴a<c<b.5.【答案】C【解析】∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝eq\f(4,5),∴cosα＝－eq\f(4,5),又α是第二象限角，∴sinα＝eq\f(3,5)则tanα＝－eq\f(3,4).,∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanα,1－tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).6.【答案】D【解析】根据根与系数之间的关系可得tan(eq\f(π,4)－θ)＋tanθ＝－p，tan(eq\f(π,4)－θ)tanθ＝q，∴tan(eq\f(π,4)－θ＋θ)＝eq\f(tan\f(π,4)－θ＋tanθ,1－tan\f(π,4)－θtanθ)＝eq\f(－p,1－q)，即taneq\f(π,4)＝eq\f(－p,1－q)＝1，∴p－q＋1＝0.7.【答案】A.【解析】原式＝sin6°·cos12°·cos24°·cos48°＝eq\f(2cos6°·sin6°·cos12°·cos24°·cos48°,2cos6°)＝eq\f(sin12°·cos12°·cos24°·cos48°,2cos6°)＝eq\f(sin24°·cos24°·cos48°,4cos6°)＝eq\f(sin48°·cos48°,8cos6°)＝eq\f(sin96°,16cos6°)＝eq\f(cos6°,16cos6°)＝eq\f(1,16).8.【答案】B【解析】本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)得eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(1,2)即2tanα＋2＝tanα－1，∴tanα＝－3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－3,1－－32)＝eq\f(－6,－8)＝eq\f(3,4)，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．9.【答案】C.【解析】f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).∵eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5,6)π，∴eq\f(1,2)≤sin(2x－eq\f(π,6))≤1.∴f(x)max＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).10.【答案】C【解析】由sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinαcosβ＋cosαsinβ＝\f(1,2),sinαcosβ－cosαsinβ＝\f(1,3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinαcosβ＝\f(5,12),cosαsinβ＝\f(1,12)))，∴eq\f(tanα,tanβ)＝5，∴logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2＝logeq\r(5)52＝4.二、填空题11.【答案】eq\f(17\r(2),50)【解析】∵α为锐角，∴eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)；∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(24,25)，cos(2α＋eq\f(π,3))＝cos(α＋eq\f(π,6))2－sin2(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(7,25)∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))coseq\f(π,4)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))sineq\f(π,4)＝eq\f(17\r(2),50).12.【答案】[eq\f(2＋\r(2),4)，1)【解析】f(x)＝eq\f(1＋tanxcos2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2\r(2)sin2x＋\f(π,4))，∵x∈(0，eq\f(π,4))，∴sin(2x＋eq\f(π,4))∈(eq\f(\r(2),2)，1]，∴f(x)的值域为[eq\f(2＋\r(2),4)，1)．13.【答案】－eq\f(16,65)【解析】由taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)得sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(1,1＋\f(1,4))＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)<sinα，α，β∈(0，π)，α＋β∈(eq\f(π,2)，π)，∴cos(α＋β)＝－eq\f(12,13).cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(16,65).14.【答案】cosα＋cosβ＝eq\f(\r(7),2)【解析】根据所附答案为C得tan(α－β)＝－eq\f(\r(7),3)，又sinα－sinβ＝－eq\f(1,2)，即sin[(α－β)＋β]－sin[α－(α－β)]＝－eq\f(1,2)，整理得(sinβ－sinα)cos(α－β)＋(cosα＋cosβ)·sin(α－β)＝－eq\f(1,2).①∵α、β均为锐角，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，又∵tan(α－β)＝－eq\f(\r(7),3)，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜0，∴cos(α－β)＝eq\f(1,\r(1＋tan2α＋β))＝eq\f(3,4)，②sin(α－β)＝cos(α－β)·tan(α－β)＝－eq\f(\r(7),4)，③将②③代入①得cosα＋cosβ＝eq\f(\r(7),2).这一结果在结构上与已知条件比较接近．故所缺失的条件即被覆盖部分可能为cosα＋cosβ＝eq\f(\r(7),2).三、解答题15.解：∵α，β是方程x2－xsinAcosB＋sinC＝0的两根，∴α＋β＝sinAcosB，αβ＝sinC.又α＋β＝eq\f(1,2)αβ，∴2sinAcosB＝sinC，∴2sinAcosB＝sin[π－(A＋B)]，∴2sinAcosB＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0.又0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．16.解：∵eq\f(2,cosα)＝eq\f(1,cosα－β)＋eq\f(1,cosα＋β)＝eq\f(cosα＋β＋cosα－β,cosα－βcosα＋β)＝eq\f(2cosαcosβ,\f(1,2)cos2α＋cos2β)∴eq\f(2,cosα)＝eq\f(4cosαcosβ,cos2α＋cos2β)，即cos2α＋cos2β＝2cos2αcosβ，∴2cos2α－1＋2cos2β－1＝2cos2αcosβ，cos2α(1－cosβ)＝1－cos2β，又β为锐角，∴cos2α＝1＋cosβ，∴cos2α＝2cos2eq\f(β,2).又α，β为锐角，∴eq\f(cosα,cos\f(β,2))＝eq\r(2).17.解：(1)由题中规定的运算法则得：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)1,1cos\f(π,3)))＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,3)－1＝eq\f(\r(2),4)－1.(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(cosθ),\s\do5(\f(1,2)))\o(\s\up7(sinθ),\s\do5(sin\f(7π,3)))))＝sineq\f(7π,3)cosθ－eq\f(1,2)sinθ＝sineq\f(π,3)cosθ－coseq\f(π,3)sinθ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ)).依题意，有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝eq\f(\r(2),2).而θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(π,3)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，∴eq\f(π,3)－θ＝eq\f(π,4)，∴θ＝eq\f(π,12).18.解：(1)由题意得f(x)＝eq\r(3)sin2x＋(sinx＋cosx)·(sinx－cosx)＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,6))，故f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知，f(θ)＝2sin(2θ－eq\f(π,6))，若f(θ)＝eq\r(3)，则sin(2θ－eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),2).又因为0<θ<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,6)<2θ－eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，则2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)或2θ－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)，故θ＝eq\f(π,4)或θ＝eq\f(5π,12).当θ＝eq\f(π,4)时，cos(θ＋eq\f(π,6))＝cos(eq\f(π,4)＋eq\f(π,6))＝coseq\f(π,4)coseq\f(π,6)－sineq\f(π,4)sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(6)－