概率论与数理统计课件12讲

前面介绍了随机变量的数学期望。期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的重要的数字特征。

但在一些场合，仅仅知道平均值是不够的，还需了解其他数字特征。§4.2方差

例如，测量某零件的长度，现用甲、乙两台仪器各测量10次，测量结果分别用X、Y表示，如下图，其中期望（均值）均为a：乙仪器

甲仪器较好因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。为此需要引进另一个数字特征，用它来度量随机变量取值偏离其均值的程度。XY4.2.1方差的定义

注:有的书上也将Var(X)记成D(X)。

定义1:设

X是一随机变量，若E[X-E(X)]2存在,则称其为X的方差，记成Var(X)，即

Var(X)=E[X-E(X)]2;(1)并称为X的标准差。

方差的意义方差是一个常用来体现随机变量X取值相对均值的平均分散程度的量.如果Var(X)值大,表示X取值相对均值比较分散,E(X)的代表性差;而如果Var(X)值小,则表示X的取值相对均值比较集中,E(X)的代表性好.X为离散型，P{X=xk}=pk

（1）根据定义计算：方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望。X为连续型，f(x)为密度。方差的计算：（2）计算方差的一个简化公式：Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

展开证：Var(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.利用期望的性质例1：设X服从几何分布，概率分布为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,其中

0<p<1,求

Var(X)。解：记

q=1-p，则交换求和与求导次序求

Var(X)。例2：设连续型随机变量X的密度函数为:解：例3：设X为某加油站在一天开始时贮存的油量，Y为一天中卖出的油量(当然Y≤X)。设(X,Y)具有概率密度函数这里1表示1个容积单位，求每日卖出的油量Y的期望与方差。解I:先求关于Y的边缘密度，再求E(Y)与Var(Y).当0≤y≤1时,当y<0或y>1时解II:直接用f(x,y)求E(Y)与Var(Y).证明(1)设C是常数,则有(2)设X

是一个随机变量,C是常数,则有证明4.2.2方差的性质Var(C)=0;Var(CX)=C2

Var(X);(3)设X,Y相互独立,Var(X),Var(Y)存在,则推广：若X1,X2,…,Xn相互独立，则方差的性质(1).设C是常数,则Var(C)=0;(2).若C是常数，则Var(CX)=C2

Var(X);(3).若X与Y

独立，则

Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y);推广：若X1,X2,…,Xn两两独立，则注：Var(X)≥0例4：设随机变量X的期望和方差分别为E(X)和Var(X)，且Var(X)>0，求解：4.2.3几种常用随机变量的方差1.两点分布若

X~B(1,p)，则

Var(X)=p(1-p)；2.二项分布若

X~B(n,p)，则

Var(X)=n

p(1-p)；3.泊松分布若

X~P(λ)，则Var(X)=λ

；4.均匀分布若X

∼

U(a,b)，则5.指数分布

若

X~e(λ)，则6.正态分布若X∼N(,2)，则

证明：（以均匀分布为例）若X

∼

U(a,b)，则又由E(X)=(a+b)/2，得分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布常见分布的期望与方差例5：设随机变量X~N(,2)，计算(1).P{-<X<+};(2).P{-2<X<+2}；(3).P{-3<X<+3}。解：(1)(2)(3)

例6

设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.则X和Y的和的分布为正态分布，解:由于若X与Y独立且服从正态分布，D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5Z~N