高中数学三角函数自学知识要点

5.1角的概念推广第5章三角函数问题游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？创设情景兴趣导入问题用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角

；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于

的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向

的角．创设情景兴趣导入动画演示角的推广归纳通过上面的两个实例，发现仅用0°-360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．创设情景兴趣导入角的推广动脑思考探索新知一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．动画演示角的推广动脑思考探索新知按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；当射线没有作任何旋转时，所形成的角叫做零角．用角的顶点与边的字母表示角∠AOB或∠O用小写希腊字母α、β、γ、……来表示角.类型表示角的推广动脑思考探索新知将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.终边在坐标轴上的角叫做界限角.自己作图表示一下吧．运用知识强化练习

动画演示练习5.1.1在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴60°；⑵－210°；⑶225°；⑷－300°.

问题引导动手探究用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．试验问题引导动手探究在直角坐标系中作出390°、－330°和30°角，这三个角的终边有何关系？动画演示问题引导动手探究与30°角终边相同的角还有哪些？390°=30°+1×360°-330°=30°+（-1）×360°它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角．390°、－330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，角的推广动脑思考探索新知一般的，与角α终边相同的角（包括角α在内），都可以表示为α+k·360°(k∈Z)的形式．与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为动画演示角的推广巩固知识典型例题例1写出与下列各角终边相同的角的集合S,并写出S中在-360°～720°范围内的角：⑴60°；⑵－114°26′．集合选取k，使得角在要求范围内.角的推广巩固知识典型例题例2写出终边在y轴上的角的集合．

角的推广应用知识强化练习练习5.1.2你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？角的推广归纳仗小结读自我口反思5.援2弧度声制第5章云三角飘函数创设钞情景顺兴趣走导入角是如何度量的？角度的单位是什么？是否有其它的单位制使得表示更为方便简单？弧度制动脑垫思考拍探陕索新疾知用度佩做单罪位来奏度量赤角的搏单位有制叫皮做角度煎制.把等重于半碑径长哄的圆瞧弧所纺对的骑圆心舒角叫刷做1弧度以弧差度为盐单位炉来度援量角俩的单勉位制闯叫做弧度锄制．的角终，记作1或1弧度刃．若,则若,则若,则零角绍的弧敌度数慕为零正角脱的弧激度数灯为正斑数负角乱的弧起度数有为负束数动画演示单位取换算通常“ra五d”或“弧度”可以银省略枣不写.实数角弧度制动脑厦思考劝探度索新备知特殊昨角角持度与裙弧度保的换耍算度

弧度弧度制动脑呀思考控探模索新亡知巩固熊知识还典型岗例题

弧度制计算器

运用摩知识倚强化吨练习练习5.业2.其1自我床探索厘使用菠工具观察授计算越器上茅的按作键并叠阅读桐相关格的使夏用说绞明书银，小组榴完成抓计算霸器弧畅度与踢角度拉转换笼的方闭法.利用交计算需器，旅验证卖计算萄例题1与例睁题2．弧度制计算器

巩固鄙知识纤典型材例题例3某机械采用带传动，由发动机的主动轴带着工作机的从动轮转动．设主动轮A的直径为100mm，从动轮B的直径为280mm．问：主动轮A旋转360°从动轮B旋转的角是多少？（精确到1′）弧度制解主动轮A旋转一周是

度，传动带转过的长度为周长=

=

（mm）．再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B转过同样的长度，应用从动轮B转过的角就等于巩固职知识粗典型罗例题例4如图闯，求扇公路伯弯道备部分AB的长l（精确其到0．1m．图卧中长扫度单君位：m）．先将借圆心呆角换幻玉算为冲弧度抛制．再用置弧长=圆心婆角×半径毒求解弧度制应用剧知识合强化拢练习练习5.哨2.唉2弧度制1.若扇纺形的描半径需为10隙cm，圆翻心角弯为60尸°，则该司扇形蔑的弧贺长和族扇形霸面积交是多鸭少?2.已知1°的圆哄心角穗所对叼的弧映长为1m，那么这争个圆泄的半智径是乎多少鞠米．3．自鞋行车韵行进绩时，年车轮仁在1分钟重内转罩过了96圈．若车匀轮的毫半径呈为0.抗33米，奖则自窄行车1小时青前进伟了多少哲米（烧精确哲到1米）辟？你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？归纳初小结怠自我击反思弧度制5.塌3任意果角的女正弦尿函数鸟、余弦初函数努、正沾切函鸣数第5章杯三角够函数创设传情景舰兴趣库导入锐角三角函数的定义是什么？BCA

创设胸情景倾兴趣喊导入BC（x,y)oxy

三角注函数动脑贸思考博探似索新串知B

P（x,y)oxy动脑腔思考为探螺索新贞知三角兆函数在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数． 动脑伸思考达探鹊索新激知三角函数定义域三角熊函数

正弦冻函数伴、余网弦函梳数和保正切箱函数匹的定属义域挥如下社表所热示：动脑鲁思考液探先索新朝知三角织函数当角α采用弧度制时，角α的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数α为自变量的函数．巩固殿知识膨典型周例题三角崭函数运用灾知识异强化模练习练习5.则3.牺1创设填情景机兴趣棚导入xyo当角α的终边在第一象限时，点P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；si享nα>0co右sα>0ta送nα>0当角α的终边在第二象限时，点P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；si磁nα>0co的sα<0ta橡nα<0si鹅nα<0co铅sα<0ta猾nα>0si竿nα<0co垮sα>0ta盗nα<0当角α的终边在第三象限时，点P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；当角α的终边在第四象限时，点P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；动脑截思考取探诸索新裙知三角石函数

任意角三角函数的符号：xyo++--sinαxyo++--cosα>0xyo++--tanα>0全正正切正余弦正正弦正xyo巩固歪知识裙典型岩例题三角垒函数判断任意角三角函数值的符号时，首先要判断出角所在的象限,然后再根据在各象限角三角函数值的符号来进行判断.巩固扎知识让典型果例题三角略函数xyo++--sinαxyo++--tanα应用砌知识腹强化赖练习练习5.送3.参2三角珠函数自我知探索浮使用物工具观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成计算器计算三角函数值.三角蕉函数0计算器

巩固号知识碎典型侮例题三角蓝函数这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再进行代数运算.计算器

应用手知识椅强化魄练习练习5.松3.截3三角择函数计算器

你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？归纳倦小结帅自我萍反思三角驴函数5.估4同角洗三角超函数盏的基本奸关系第5章抢三角烟函数创设活情景毅兴趣袍导入设坡角为α

，如果tanα=0.8，小明沿着斜坡走了10米，则他升高了多少米?

10m?已知一个角的正切函数值，如何求出这个角的正弦函数值？

同角搏三角全函数动脑走思考侍探尾索新脖知根据谎三角佛函数景的定结义：根据咏勾股胡定理僻：动脑坦思考劳探碎索新烟知同角蛇三角高函数利用同角公式可以由一个已知的三角函数值，求出其它各三角函数值．同角公式平方辫关系商数仗关系巩固餐知识擦典型尾例题同角小三角胡函数知道正弦函数值，可以利用平方关系，求出余弦函数值；然后利用商数关系，求出正切函数值．开平朗方运糊算，必须蛾要明浮确角所宿在象岂限运用穷知识蒸强化誉练习练习5.婚4.睬1巩固惠知识商典型努例题同角净三角困函数巩固蜻知识套典型改例题同角呢三角雷函数化简三角式一般是利用三角公式或化简代数式的方法进行．应用但知识放强化废练习练习5.段4.去2同角酬三角夫函数你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？归纳雾小结蹲自我肯反思同角芝三角踏函数5.勇5诱导寸公式第5章侮三角城函数创设勺情景缸兴趣醒导入推广，可以得到

.诱导捏公式动脑玩思考厘探听索新沾知

终边相同角的同名三角函数值相同．利用公式，可以把任意角的三角函数转化为0°～360°范围内的角的三角函数．巩固俊知识锹典型桶例题诱导躁公式运用过知识弦强化赛练习练习5.朝5.赢1创设唱情景膝兴趣错导入推广，可以得到

.诱导告公式动脑葬思考筐探件索新雅知

负角的诱导公式．利用公式，可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数．巩固擦知识六典型弟例题诱导壳公式运用告知识虑强化仍练习练习5.略5.翁2创设脊情景愿兴趣换导入推广，可以得到

.诱导哈公式动脑迎思考恋探芳索新舱知

诱导公式．理编论症升润华士整合体衡建其构诱导雪公式验证公式理护论估升挣华畏整狸体亡建粉构诱导鸣公式以上公式统称为诱导公式（或简化公式）．这些公式的正负号可以用口诀：“2kπ加全为正，负角余弦正，π减正弦正，π加正切正”来记忆．利用它们可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．巩固炊知识队典型小例题诱导哨公式求任意角三角函数值的一般步骤是，首先将其转化为绝对值小于2π的角的三角函数，然后将其转化为锐角三角函数值，最后求出这个锐角三角函数值．运用华知识趋强化薪练习练习5.迫5.恼3巩固缘瑞知识桥典型恰例题计算器

诱导竟公式准备挥计算距器.观察茎计算易器上者的按府键并予阅读子相关晒的使视用说明指书，塘小组蜡完成董计算土器计掩算三馒角函丈数值迁的方磁法.运用嫂知识栋强化茧练习练习5.齐5.飘4你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？归纳妖小结耐自我段反思诱导筛公式5.母6三角粘函数蓝的图慢像和详性质第5章壁三角冲函数创设活情景袋兴趣晃导入每间隔12小时，当前时间2点重复出现．观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？观察类似这样的周期现象还有哪些？

三角努函数动脑亿思考估探照索新替知对于奥函数y=f(x)，如贴果存有在一遵个不截为零无的常弦数T，当x取定筹义域D内的陪每一臂个值诉时，古都有x+T∈D，并且瞒等式f(x+T)=f(x)成立柜，那签么，布函数y=f(x)叫做周期律函数,常数T叫做咳这个平函数西的一害个周期暴．正弦函数y=sinx是否是周期函数？对于哲正弦渣函数始有：周期浊有：和今后绪研究枣的函止数的乔周期搏，都圆是指候最小倾正周演期.动脑啦思考石探失索新钞知正弦函数是周期函数.周期中最小的正数叫做最小正周期正弦函数的周期是演示动脑膝思考县探瘦索新怜知1.列表2.描点3.联结各点

计算器

演示动脑呼思考梦探唯索新香知向左或向右平移2π，4π,…动脑鸣思考甚探异索新浩知三角宇函数1yx-1O

正弦函数是R内的有界函数．动脑狐思考弦探拳索新宁知三角捧函数1yx-1O定义域是实数集R值域是[-1,1]奇函数周期函数具有单调性

图像关于原点对称

1yx-1O最高点终点

起点

中点最低点动脑敌思考逮探俭索新增知五个叨关键团点:五点法巩固余知识贡典型共例题三角叫函数011201-10012yxO1巩固乡丰知识划典型典例题三角狮函数解因为沉∣si句nx∣≤苗1，所以雄∣a-4∣漫≤1耳,即1≤a-4≤竿1解得≤a≤．故a的取乞值范显围是．巩固惭知识胡典型危例题三角刊函数例3求使歌函数y=s若in挽2x取得蔑最大萄值的x的集匠合，并指桑出最查大值野是多缎少．变量闸替换应用设知识易强化织练习练习5.翅6.层1三角净函数计算器

演示

动脑赌思考铲探因索新森知向左或向右平移2π，4π,…演示

动脑象思考本探丘索新谋知三角泊函数定义域是实数集R值域是[-1,1]偶函数周期函数具有单调性

图像关于y轴对称

1yx-1o

巩固流知识条典型挺例题三角燃函数10-10-11001-1yxo1-1应用下知识袍强化示练习练习5.火6.样2三角购函数你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？归纳电小结广自我览反思三角凭函数5.牧7已知默三角苦函数心值求悼角第5章物三角啦函数自我枪探索动使乓用工站具计算器

已知一个角，利用计算器可以求出它的三角函数值

已知一个角的三角函数值，如何求出相应的角？动脑放思考警探找索新魔知2.利用诱导公式sin(180°-α)=sinα,求出90°~270°范围内的角.1.利用计算器求出−90