北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

结章特殊的平行四边形复习中考：特殊平行四边形矩形、菱形、正形，它们是历年中考的考内容之一，主出现的题型样，注重考查生的基础证和计算能力以及灵活运数学思想方解决问题的力。内容主要包括：矩形、形、正方形性质与判定以及相关计，了解平行边形与矩形菱形、正方形之间的联系，掌平行四边形是矩、菱形、正方的条件。知识目标握、形、方形概掌矩形菱形正的质和定，过的和应用教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法重难点：知识知识纳矩形

菱形

正方形边等，相等等性

角

角等

角质

对角线

互相垂直平分，且每角线平等对角分一角角三个角是直·四边的形；判定对称性

·是行四边形且是平行四边形且有一·矩形有邻；有一个角是直邻；·菱形有。·是行四边形且是行四边形且条两条对角线相线互。既是对称图形，又是中心称形矩形义：有一角直的行边形做形【强】

矩形（）平四边）一．矩形的性性质矩的个角都是直角；性2

矩形的对角线等，具平四边形所性质矩形的判矩形判定方法对角线相等的平行四边形是矩形．注意此方法包括两个条件）是一平行四形对角线等矩形判定方法2:四个角都是直的四边形是矩形．矩形判断方法有一个角是直角的平行四边形是矩形。例若的对线为两角的个角为，矩面为例菱形具有而形有质是（）A．互平分；等；等；补例：：，的交于点F，•H，•求：•四边形是矩形．二．菱形菱形有一组边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】是平四边）一组邻相等．菱形质性质菱形四条都相；性质形的对角互相平分，并每条对角线平分一对角；菱形定菱形判定方法1:对线相垂的行边形是菱．注意此方包两条件1）是一个平四形）条角互垂直．菱判方法2:边都相等四边形菱．例已如，边是菱形，是一，于．求：∠．例已知图直分与、分别交于、F．求：四边形是菱形．例在，

O是对角线的中，点作垂线与、分别交于F求证四形是菱形.

A

E

DB

C例知图，菱形中，是点，于M，若,2∠证

AB

E

C例．湖益阳如，在形，∠60°为对角线的中点，过作⊥，垂足E．D

(1)求段BE长．

A

E

B例四）如，四边形是菱形，⊥交的延线于，⊥，交的长线于你猜想与大有么关系？证你猜想．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例山烟）如，菱形的边长为，2、分是边，的个动，满足（1）证：；（2）判说由；）设eq\o\ac(△,（)的面积为，求的取值范形正形是在平行边形的前提定义，含层思：①一组邻边相的平行四边形形）②一个角是直的平行四边形形）正方形不仅是特的平行四边形，且是特的矩形，是特殊的菱形．正方形定义：有组邻边相等并且有一个角是角平行四边形正方形．正方中心图形称中对角点，形又对称，对称轴是对边中点连线和对角线所直线，共有四条对称；因为方是行边、形，是形所它性是们性的合正形性质总结如：边：平，边等；角：四个角都是直角；对角线：对线相等，互相垂直分，每条对角平分一组对．：正形的条对线把方形成两全等等腰角三形，角线边的角是；正方形的条角把分四全等等直三形这正形的殊质．正方具有形性质，同时具有形性质．正方的判方：(1)一角是角的形正方形；(2)一邻边等的形正方形．•

注意：1正形三点：•（1）是平；12112它是时正，12112它是时正，方．．．（2）个直；（3）组相．、要个四边形，应先菱形或是然后再加条件，定是正形例已知如图，正方中对角线的交点为E是上点，⊥于G交于．求．例已：如图形是正方别过点、两作∥l，⊥l于M，⊥l于，线、分交于、P点．求证：边形是正方形．例如图P边为正对上（AC不重合点E在线上，且（）求证：①②⊥；（设eq\o\ac(△,）)的面积为.①出关于的函数关系式，并写出的取值围；②取何值时，取得最大值，并求出这个最大.

与实战演练：（）A形形形形2.顺连接菱形各边中点所得的四边形一定（）A腰梯形形.平行四边形形3.如，知边是平四形下列结论不确是（）A当时它形是形C当0时，形当是形AB

C

如中，点F分边，BC，，且DE∥，DF∥BA下列四个判断中，不正的（）A四形AEDF是平行四边形那么四边形AEDF是矩形．果分，那么四边形AEDF形．果且，那么边形形形ABCD为形纸片．纸片ABCD折使点恰落在边点处折痕为若CD

则AF等（）BCBCA．4

B．

．42

D．8

A

E

D

B

C形ABCD为

AD，BCE，FCEeq\o\ac(△,，)CDEA

B

CD7.在右图的方格纸中有一个菱（A、B、、D四点均格点，若方格纸中每个最小正方形的边长为，则菱形的面积为A

A

DB

DB

CC如形中对角线，于点O知AOD120，AB2.5则AC的长为．边为５的菱形，一条对角线长是，则另一条对角线的长是如图所示形中角线，BD相交点再补充一个条件使菱形ABCD成为正方，则这个条件是个件即．A

D

P

DO11.图，已知是方对线一，且，∠是．12.图，形ABCD，O是AC与

过点直线EF与，的延长分别交于，F．求：eq\o\ac(△,≌)eq\o\ac(△,；)DOF当与AC满么时以，E，F为点的四边形是菱形？证明你的结论．FE

DOC第题图图eq\o\ac(△,)方到1111图eq\o\ac(△,)方到111113.将两块全等的含30°角的角尺如图放起较角为．

A

B

D

D

D

B

D

图

C

C

图

图

图四边形是平行四形吗？说出你的论和理．如，线移D的位置，四边形是行四边形吗？说出你的结论和理．eq\o\ac(△,在)沿射线方向平移的程中，当点的动为，形为形，其；当点B的距为四形菱形，其理由是(图、图用于究应用探究：如图，将矩形纸片沿对角线BD折叠，使点落在，BC于，若在添任何辅助线的况下，图中（虚线也视为的（）A．

B

DB5个C个D3个A

C22.5CC

D

A

M

B2.如图，方形ABCD的为，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（）3A．10

1B．3

24C．．53.已知

AC

为形ABCD的则图中与一定相的是）D

C

DC

C

DA

B

A

B

B

A

BA．

B．．

D．4.红带是关注艾病治题的际标将为1的丝交成60°角叠在（如重四的积为2HDF5.如将形纸的四个角向起好拼成一个无缝隙无重叠的四边形＝厘＝4厘米，则边长是厘.6.如图，已知，OB点在OB边上，形AEBF是矩．请只用刻的直尺在图画出AOB的线（请保画图痕．

AFEB

E

DC7.如图形纸在纸沿折点B恰好落在上长是．A

DPB

E

C章程程）一二次方定义含有一未知数并且未知数的最高数是的整式方叫做一元二次方程。）一元二方程的般形式axbx(0)它的是：左边一个未知数x多项，等式右边是零，其中ax次叫做二次项系数；叫做一次项b叫做次项系数叫常数项。例(m

)x是元方，则____.法1、直接开法如x)2当x，x当时，方程没有数根。例限内点（x—1，2—2于轴的对称点，且，则．2、配方法骤：方程ax2c(a)边同以将二次项系数化为将所得程的常数项到方程的右。（3）方程两都加上一次系数一半的方配方，成)2开方，当b0时，；当b<0时，程没实数。例程，则的值范是（．A．a

B．a0

C．

D．法确定3、公式法公式是用根公式解一元二次方程解的方法它是一元次方的一般方法。一元次方程axc(a)求根公式：

b2

ac

(b2)例4x－2=0，那么＋x＋的值为4、因式分法一元次方的一边为，另一边于分成两一次式的乘积时使用此方法。例个三角形两边长是方程-815=0的根，则第三边的取值范是（．A．y<8B．3<y<5．2<y<8D．无法确定补一元二次方程根的判别式判1定一二次方程c0a0)，ac一二次方程ax

2

bxc()的判别式。2、性质：当2ac＞0个的实数根当2ac0方个的实数根当bac＜0。例方程–2(a–1)x=2有两个相等的实根则的值为例的方程–2x()+6=0无实根，则可的最小整数（）（A）（）（）D）-补一元二次方程与关韦理）aa

ax2(a0)xxxx2

ba

xx2

12

11nAAPA2

3例袋装样质同球白色拟“摸白球”以下替代物行“抛掷枚普骰子现机会“抛掷枚”会“抛掷枚质机会D“现”机会例54同

3

54

34ABCD．．．．例个小球从A沿制定轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果小球最到达的概率（）111（A））C））268例一副扑牌中取的两组牌，分别是黑桃、3、4和方块1、2、3、4，将它们面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面字之和等5的概率（）1（A）2

1（B）3

1（C）4

3（D）5例甲、乙两个转盘中，指针指向每一个数字的机会是均等的当同时转两个转盘，停止后指针所指的两个数字表示两条线段长，如第三条线的长5，那么这三条线段不能构成三角形的概率是（）

6（A）

9（B）

（C）

（D）

甲

乙三题例袋有红、色外其余都相同，每次任取一个两次。求列事件的概率。（1）红（2）色全同（）白解：红黄白红（红，）））黄（黄，）））白（白，）））P(全红颜色全无说明：颜色全同包括是红色或都黄色或都是白色；无白指没有白色球。例密险的密码由个数字组成，个数字都是由～9这十个字中的一个，王叔忘了中最后面两数，那一次能保柜概是解：面的个数字都有最后两数字忘记了，最后两个数字每个数字出的能果都有么组成两个数字的能结果有种是码上后两数1的概是。例有、色、色、白色球个小又放5个球后小次摸后摸到红球、黄、球白球黑球的率次25，，305，××估计袋中红色、黄色、色球及色各有多个？解：小刚放入个黑球后摸到的色的率为，则可以由此估计出中共有球(个)。中能有球括个黑），色球％％个，黄球×％个色球×％＝个，球×％个。例.、两人用图所示两个转盘做游戏，转动两转盘各次的对值为或，则甲，否则胜这个游对方公平？为什么？两和是的，则甲和是倍或的，乙个戏对双公平吗？为什么？

解）表的方出所有结果：从表中可以看出两个数字之差的对值，为的有种可能果，的有种可能结果，有种可能结果，所甲胜的概率为为此甲胜的可能性比乙大所以不平。（）过：出的个字之是倍有种，的个字和是的倍数有种倍有种甲率为为能比乙小，以不平。例小明与同学起想知道个人有两人生相的概们想设计一个拟实验来估计人中恰有两个人肖相同的概率，你能帮他们设计这模拟方案吗？分析：可以用摸球、扑牌、转盘、计算器模拟随机整数等方法。注意“一次实验”设计。1111

126

关例镜正原正方具怎样关呢？析要注意正原正方改变它们定例列各组平行；②圆③矩；内8°正五内0°定填序)析根定但定而矩腰都属于唯而圆正顶0°腰唯它们都答案②⑤⑥例段于条线段如果线段长度条线段长度那么条线段例线简例段

abd

a条线段例作bd

能式例线段顺序性a2在例bd

例项例外项例项d项3如果例内项线段

ab

那线线段和例项(4)通常线段单位致但时了方便ab单和单位整体示例已线6,求

a析求求长度单先单求b例已例且63

32

求c度析例写例式所各线段单位求性性质正确理定确”关系2确“”自书写且要确具顺性例若长8ABD最长四分边边四四1①相四分边边四四1①相，11似11则BCD的最边长是多少？1析：与形ABD似，它们的似比为应的最边长的比即为相3似边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．知点．似三角形的概念对应角相等，应边之相的三角叫相似三形．解读）相角相边的；应合相似多边形的性质来理解相似三角形；足形状一样，但大；相用“∽”表示，读作“相似于；角形的之比叫比．1意：是比如eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,∽)B相比若ABeq\o\ac(△,∽)则相似比为k②若个角的似为则这两三角形等全等三形相似三形特殊情。两个角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．例如图知eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,∽)，，4，则和的相似比是多？点D，分，中吗？AEBC注：解决此类问题应注意两方面）相似的顺序性形别．DEADAEDE解因为eq\o\ac(△,∽)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)所以，为，ABBCAE所以2

，以D，分别，的点．知识点．相似三的判定方法定义对角等对边比例两三形似；平行于角形一边的直截其他两（其他两边的延长线）所构成的三角形与原三形相似．如果一个三角形的两个角分别另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（4）角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比，并且夹角等，那么这个三形相．如果一个角形三条边分别与另一个三角的三条边对成比，那这两三角形相似．直角三角形被斜上的高分成的两直角三角形与原三角形都相．经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型：①平行线常见的有如下两，∥，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,∽)A

E

DDEBC

ABC②型常见有下种形如，已∠1=B，则共∠A得，eq\o\ac(△,△)A

AEC

E

DB

D

BC如下图，知1=∠，则公共角∠A，eq\o\ac(△,得)eq\o\ac(△,)如下图已∠顶角∠得，eq\o\ac(△,△)A

ED

D1

21

ABC

CB③型已知∠eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,则)下为见的本形．AEBC④型已∠90°，则eq\o\ac(△,，)∽．CA

D

B解决似角问，键要善从杂图中解（造出上基图．例7．如，Deq\o\ac(△,在)的边上，足怎样的条件时与eq\o\ac(△,相)？试分别加以列举．例91eq\o\ac(△,．)，周长；的面．周为A例91eq\o\ac(△,．)，周长；的面．周为ABC的面90AD21BC分析：此题属于探索性问题，相似三角形的判别方法eq\o\ac(△,可)eq\o\ac(△,与)已有公共角∠A，使此两个三角形相似可根据相似三角的判别法寻找一条件即可．解：当满足以下三个条件之eq\o\ac(△,一)eq\o\ac(△,∽)ADAC件一1=∠；条件二∠2=∠；条件：AB

，即．知识点．相似三角形的质对角相等，对边的比相等；对高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的方．例8．图，eq\o\ac(△,4)，8，、的；你还能发现哪线段成例．AEDBCDEADAE分：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即ABDEADAE）∽eq\o\ac(△,∵)，AB

．8x，，4，15，7设则

，设则

a8a

∴14.(2)

知，的周长20，积402．AB311求1eq\o\ac(△,1)AB1C1的eq\o\ac(△,1)分：据似三角形长比于相比面之比等于似的方求．易求eq\o\ac(△,1)AB1的eq\o\ac(△,1)五投、视主在时，看得部分的轮廓，看的部分轮廓虚线。例一几何体三视图如右：那么这个何体是

.主视图图图例果1个立方体用立方体叠加用■表示三个方体叠加那么下面右由个立方体叠成的何体，从前方观察，可画出的平面图是（）BC

影（1）投影：物体光的射下，在地面上或墙壁上留下的子这就投现。（2）投。这。①源。（5侧到常当与垂投①仍；②段种：段时；段于时长段实段时长段实。③某种：情其实状垂情其段倾情其小状。例在上，的中发在地上的两的影子（）A.交

平行

D.无法定

A例望测量出线杆的度，于是在

CE