6.示范教案(4.2.3 直线与圆的方程的应用)

4.2.3直线圆方的用整设教分直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应.本小节设置了一些例,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.三目理解直线与圆的位置关系的几何性质；利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标,用坐标和方程表示问题中的几元将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三：将代数运算结果“译成何结论会形结合”的学思想解决问题让学生通过观察图形解并掌握直线与圆的方程的应用培养学生分析问题与解决问题的能重难教学重点：求圆的应用性问题教学难点直线与圆的方程的应课安时教过导新思如某城市中的高空观览车的高度是100图在离观览车约m处有一建筑物,人在离建筑物m的地方刚好可以看到观你根据上述数据如何求出该建筑物的高度？要解决这个我们继续研究直线与圆的方程的应用教师板书课题:直线与圆的方程的应.思同们前我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关,么如何利用这些关系来解决一些问怎样解着这些问题我们学习直线与圆的方程的应.教师板书课:直线与圆的方程的推新新探提问你能说出直线与圆的位置关系？解决直线与圆的位置关,你将采用什么方法？阅读并思考教科书上的例4,将选择什么方法解决例的问题？你能分析一下确定一个圆的方的要点吗？你能利用坐法解例5吗活：生回忆,教师引导,师提问,生回答学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教引导学生考虑解决问题的思路要面考虑,发思维学回顾学习的直线与圆的位置关系的种类解直线与圆的位置关,以采取两种方法首先考虑问题的际

2222222222222222222意义,如果本题出在初中们没有考虑的余地,有几何法,这里当然可以考虑用坐标法种方法比较可知哪个简单；顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；用坐标法解决问题的关键是建立适当的坐标再利用代数与几何元素的相互转化得到结.讨结：线圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.解直线与圆的位置关系将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.阅读并思考教科书上的例4,用代数方法及坐标法,用几何法作比较你能分析一下确定一个圆的方的要,圆心坐标和半径有关于、F的个独立的条件也可.建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展.应示思1例1讲课本节解法一见课本.图解二如图过作H由已知|OP|=4,|OA|=10.22在eq\o\ac(△,)AOC中,有CA|=|CO|设拱圆所在的圆的半径为r,有r=(r-4).解得在eq\o\ac(△,)CPH有CP|22

H|2

因为|=2,是有CH|2

=r

-|OA2

=14.5

又是

206.25

-10.5≈14.36-10.5=3.86.所以支柱AP的长度约为cm.22点：过课本解法我们总结利用坐标法解决几何题的步骤是一步建适当的平面直角坐标系,坐标和方程表示问题中的几何元将平面几何问题转化为代数问题步：通过代数运解决代数问题；第三步：代数运算结翻译成何结把两种解法比较可以看出坐标法通俗易几何法较难想繁琐因此解题时要有所选.变训已知圆内接四边形的对角线互相垂直求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半图解:如图3,四边形ABCD互垂直的对角线CADB所直线分别为x轴y轴,建立适当的平面直角坐标,A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

nE222222222222222nE222222222222222过四边形ABCD的接圆的圆心分作AC、、AD的,垂足分别为M、N、E,1则M、N、分别为线段AC、BD、AD的中点线段的中点坐标公式得

=x=m

d=y===所以O1

(

aad1)2)22222

又BC|=

2

2

所以1

点:用坐标法解决几何问题先用坐标和方程表示应的几何元素、点、直线、几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题后解释代数运算结果的几何意义得到几何问题的结论.例2有种大型商品,、B两地都有出售且价格相同某居民从地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A的运费是B地运费的3倍,已知A、B两相距10km,民选择A或B地买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较.AB两的售货区域的分界线的曲线形并指出曲线上、线内、曲线外的居民应如何选择购货地活生先审然后思考或讨论学有困难教师可以提示引建立适当的坐标这里以所在直线为x轴线AB中点为原点建立直角坐标系较简假设一点距A地,费用低列方程或不等式解以AB所直线为x,线段AB的点为原点建立直角坐标则A(－设地的标(且P地民选择A地买商品的费用较,并设A地的运费为3a元则B地运费为a元km.由于地民购买商品的总费用满足条件：价+A地运价格+地费即

(5)

≤a

(

整理得x+

15)+y≤()4所以以点

15为圆心为径的圆就是两地居民购货的分界.内的居民从A地购4货费用较低,外的居民从B地购货费用较,上的居民从A、B两地购货的总费用相因此可以随意从A、两地之一购货点:在学习中要注意联系实重视数学在生产活和相关学科中的应,解决有关实际问题时关键要明确题意掌握建立数学模型的基本方.思2例1求过直线2x-y+3=0与x+y的点且面积最小的圆的方.活:学生思考或交流,师提示引,求圆的方程无非有两种方法代数法和几何法解一:利用过两曲线交点的曲线设圆的方程为x+y+2x-λ(2x配方得标准x+1++(y-2-

)=(1+λ)+(2+22

)-λ-1,=

5219λ+λ+4=λ+)45当λ=

25

19时,半径r=最5所求面积最小的圆的方程为5x

2102222222222210222222222222222解二:利用平面几何知,以直线与圆的交点A(x),B(x,y)连线直径的圆符合要.112由yy0,

消去得5x判别式Δ＞中点横坐标x=0

x=-纵坐标y+3=,55即圆心O′(-

).又半径r=

12

-x1

19=5所求面积最小的圆的方程(x+

19)+(y-)=.点:要练地进行圆的一般式与标式之间的互化,这配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式AB|=|x-x|·1

2

;对圆的弦长,还以利用勾股定理求得,即|AB|=

r

其中圆半径为心到弦的距变训设圆满足y轴所得弦长为轴成两段弧弧长之比为1,在满足条件所有圆中求圆心到直线l:x-2y=0的离最小的圆的方图解:关键确定圆心坐标和半如图4.设圆心则半径

由截y轴弦长为知又圆心Al的离d=

|a-2b|,+4b4ab≥a-2(a+b)=2b-a当仅当时号立.这里由

2b2r,

解得或rr圆的方程为x-1)=2或(x+1)+(y+1)=2.例2

已知x,y是实数且x+y求(

yx

的最值;(2)x+y的值的值(4)x-y的值.活：生思考或交教师引,数形结将数式或方程赋予几何意

22222222222222222222222222解(x-2)+(y-3)=1示以点为心,为半径的圆.

yx

表示圆C上点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,故当y=kx为C的切线,最.|2k|∵12y∴的大值为2+x

23

最小值为2-

设x

+y

表示圆上点P(x,y)坐标原点连的线段长的平,故由平面几何知识,知当为线OC圆C的交点、时,12=14+2,x的大值(2最小值为(

2

与2

2

分别为

的最大值、最小.令x+y=m,当直线l:x+y=m与C相时l轴截距m取最2|∵

m=5±x+y的大值为

最值为5-

令x-y=n,当直线l-y=n圆C相时l在y轴截距的相反数取得最.|∵

2

x-y的大值为-

最值为

点:从数认识“”,从形中识数,数结合相互转化是数学思维的基本方法之一“数是一个有机的统一体的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合”(希尔伯数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之而且也是学习高等数学和现代数学的基本能本题是利用直线和圆的知识求值的典型题.例3已圆O的程为x+y求点A(1,2)所的弦的中点的轨.活：生回想求轨迹方程的方法与步,思考讨,教师适时点拨提示本题可利用平面何的知识解一:参数法常规方法)设过A的所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时则+2k(2-k)x+k-4k-5=0.

2kx

消y,x1

2(k2)k

2211,y=222,y=112211,y=222,y=11(k,利用中点坐标公式及中点在直线,

(k为数)消去k得点轨迹方程为x+y-x-2y=0,当不在中点P(1,0)坐标也适合方P轨迹是以点(

12

5为圆心为径圆.2解二:代点法涉及中点问题可考虑此法设过点A弦MN,M(x),N(x,y).119,、在O上9.2xyy112设P(x,y),则x=2

相减得x)+12

yyx

+y)=0(x≠x).112、、、A四共线

yy=(xx

·2y=0.中点的迹方程是x

+y

时正).点的迹是以点

12

5为圆心为径圆2解法三数结(利用平面几何知)由垂径定理知OP故点轨迹是以AO为径的圆(下略)点:本涉及求轨迹方程三种间接方法.路一代表了解析几何的基本思路和基本方法即

f(x)x)

消y(或x)关于x(或的元次方程Ax+Bx+C=0,再用求根公式、判别式、韦达定理等得思路二又平方差法要求弦的中点的轨迹方程用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点,y)、)已知曲线上将点的坐标代入已知方程然1122后相减利用平方差公式可得x、y+y、x-x、y-y等.再弦MN的点的标112121满足x=

xyy112

2

yy以及直线MN斜率(x≠x)等设法消去x、、xy、y,即可得弦的点P的轨迹方程用此法对斜率不存在的情要单独讨论思路,1数形结合利用平面几何知识等有能求解过程变得非常简学好解析几要掌握特点注四个结合:数形结合:形不离数,不离形依判就数论形;动静结合:动中有静,中有动几条——线方——图形性;特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之,特殊化与一般化是重要的数学思维方;

222222222222理论与实际结合:学以致创造开.知训课本本节练习1、、3拓提某种体育比赛的规则:进攻队员与防守队员均在安全线l的线AC上(为垂足且距C分别为和a(a＞的点AB,攻队员沿直线AD向安全线跑动防守队员沿直线方向向前拦截,设AD和BM交若在M点,防守队员比进攻队员先到或同时则进攻队员失败已知进攻队员的速度是防守队员速度的两,且他们双方速度不问进攻队员的路线应为什么方向才能取图解如以lx轴C为点建立直角坐标设防守队员速度为则攻队员速度为2v,设点M坐标为(x,y),攻队员与防守队员跑到点M所时间分别为=1

BM|,t=若＜t则AM|＜即12

xya)222

整理得x

2

+(y-

22a)＞(,说明点M应在圆E:x=(33

以外,进攻队员方能取胜设为圆切线,为点在AEN,容易求出EAN=30°,所进攻队员的路线AD与AC所角大于30°即可课小用坐标解决几何问题的步骤一建立适当的平面直角坐标系,坐标和方程表示问题中的几何元素将平面几何问题转化为代数问题；第二：通过代数运,解决代数问题；第三步：将代数运算结果翻成几何结论.对于直和圆,记各种定义、基本公式、法则固然重,要做到迅速、准确地解还须掌