离散数学第章命题逻辑2

第3章命题逻辑3.1命题的有关概念本讲内容什么是命题1命题的真值2原子命题与复合命题3逻辑常量与逻辑变量4命题之间的还有些什么关系?认知关系:我知道…偏好关系:他喜欢………逻辑关系Chapter3命题逻辑逻辑学是研究思维形式及思维规律尤其是推理的学科.逻辑推理无处不在.亚里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)是形式逻辑的创始人.数学,物理学,化学,天文学,地学,生物学,逻辑学.(MBA,MPA,招聘等)莱布尼茨(G.Leibniz,1647--1716)是数理逻辑的创始人.

传统的数理逻辑(内容包括逻辑演算、公理化集合论、模型论、递归论和证明论).应用逻辑,如多值逻辑、模态逻辑、归纳逻辑、时序逻辑、动态逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑、缺省逻辑、数字逻辑、电路逻辑、算法逻辑及程序逻辑等,这些都与计算机科学密切相关.计算机如何进行逻辑思维的—计算思维培养.命题逻辑与谓词逻辑是数理逻辑的基础部分.本章学习命题逻辑.命题逻辑的研究对象是命题.3.1命题的有关概念计算机的计算过程就是推理过程,而每一步推理离不开判断,判断的对象就是命题.1.什么是命题?命题是能判断出真假的语句.从三个方面去理解：(1)命题必须是一个完整的句子,包括用数学式子如代表的语句.(2)所给语句具有真假意义,即有是否符合客观实际或是否合理之分.一般来说,只有陈述句才具有真假意义,祈使句、疑问句和感叹句不具有真假意义;(3)能判断出真假.要是将来某时候能判断出真假也行.例3-1

判断下列语句是否是命题.(1)辽宁舰是中国的第一首航空母舰.(2)我喜欢智能手机和平板电脑.(3)x>3.(4)立正！(5)这朵花真漂亮！(6)你要我的手机号码是想给我充话费?(7)火星上有生物.(美国Discovery号:火星上有水?2012年着陆火星的Curiosity号,1+1=2)(8)我说的都是假话.(9)小王和小李是同学.(10)你只有刻苦学习,才能取得好成绩.歌德巴赫猜想:至今已200多年.(1)1+1=2:大于4的偶数是两个奇素数之和.6=3+3;8=3+5;10=3+7=5+5;12=5+7;…(2)任何大于7的奇数是三个奇素数之和.9=3+3+3;11=3+3+5;13=3+3+7;15=3+5+7;…陈景润(1966)的“陈式定理”:1+2=3,任何充分大的偶数是一个素数与两个素数乘积之和.2007年11月15日重庆商报,大坪67岁罗仁德破解.1935年出生的河北的何宝起自称破解,奔波8年无人理.2.命题的真值(truth)命题的真值就是命题的逻辑取值.经典逻辑值只有两个:1和0,它们是表示事物状态的两个量.若一个命题是真命题,其真值为1;若一个命题是假命题,其真值为0.实际上在数理逻辑中,更多时候逻辑真是用T(True)或t,逻辑假用F(False)或f表示的.3.原子命题与复合命题若一个命题不包含有更小的命题,则称其为原子命题(atom){当时认为原子最小?}或简单命题,否则称为复合命题(compoundproposition).原子命题是命题逻辑研究的基本单位,区分原子命题在后面命题的符号化时是很重要的.通常用小写英文字母p,q,r,s,…或带下标p1,p2,p3,…等来表示原子命题,如用p:2+3=5,q:今天我们上课.4.逻辑常量与逻辑变量把1和0称为逻辑常量(logicalconstant).在逻辑表达式中出现的p,q,r或p1,p2,p3等称为命题变元(propositionvariable)或逻辑变量(logicalvariable).命题变元可以代表任意命题,从取值的角度看,命题变元既可以取1又可以取0.课堂练习习题3.11,2.小结命题的概念命题的真值原子命题与复合命题逻辑常量与逻辑变量第3章愧命清题逻依辑3.窜2逻辑若联结残词本讲捧内容p,pq,pq12pq,pq,pq3pq,pq,pq3.誉2逻辑烤联结次词逻辑润联结作词就帜是逻桐辑运茅算:复合妈命题嚷是由货原子闪命题状构成帽的,它需肝要联淹结词.给定县了原缩慧子命荣题,使用逻辑去联结尚词可以渔构成移复合且命题.逻辑钳联结泽词类章似于航自然慨语言壮中的逐连词.1.否定(n朴ot车)联结召词:贝pp:常2稍+共3覆=进5,保p:网2朵+竞3触廊5.p是数躺理逻妙辑中度的标准孔符号,也可吨记为~p,害C语言!p,在计插算机苗其他自课程柿中用,对应蚁于逻辑门电依路中厚的“非门”.pp10012.合取(a杜nd树)联结集词:pqp:小李乓能歌,q:小李槽善舞.pq:小李政能歌眼且善温舞.合取行“”相栽当于勺“并且”,当“和”,显“与”,勺“以及”等.pqpq111100010000Re畏ma棚rk(1孤)腿“小王妖和小趣李是恨同学观”中势的“旱和”睬没有妖合取多之意.(2论)在数贡理逻勿辑中,合取公联结舟词可葬以将任意两个享命题病联结烟起来投以构朵造出芳新的捆命题,如用p:唉2已+历3四=搞5,q:今天银上课,则pq:2跑+艘3正=鸣5且今鲜天上始课.下面炼要介禾绍的家其他卫联结局词都胶是这继样理总解.(3辨)p:小李剥结婚冲了q:小李味有小貌孩了pq,qp?pq:p&q,p&则&q,pq=pq,对应音于“与门”.3.析取(o疾r)联结弦词:pqp:这学躁期我童选修脖人工岔智能果课程,q:这学遥期我音选修须模式恶识别惧课程.pq:这学腿期我撑选修晃人工顷智能亦课程榜或者捡模式喊识别析课程.析取混“”相怀当于瓜“或者”.p|q,p挥||q,p您+q(“或门”).pqpq111101011000本讲属内容p,pq,pq12pq,pq,pq3pq,pq,pq4.异或(e花xc包lu捕si闻ve稀o巩r,XO粉R)联结螺词:pq自然倍语言秃中的垄“或乞”:(1耀)“可兼雨或”(i汪nc签lu老si览ve疯o梅r)响,它表勒示两伸者可抖同时陕为真,用析杰取表灾示即爹可.(2权)“不可扶兼或次”,它表夸示两述者不显能同学时为漏真,换句姓话说,两者波同时屑为真攀是假挪命题.这就询需要收异或得联结理词.p:明天啄去深霜圳的酷飞机病是上貌午八猛点起纺飞,q:明天牌去深宁圳的海飞机旁是上挺午八楼点半滨起飞.pq:明天结去深拨圳的丙飞机份是上誉午八遗点或森上午重八点编半起派飞.本学挂期张企三或李四祥当选乘为班来长.今天览晚上纲在寝潜室上示自习始或去电影冠院看3D电影.冲(都在悬寝室?确7:植30劲?)与异猫或联挽结词床对应月的门滔电路喂为“费异或脾门”.一般歌来说,只要病不是枣非常柜明显弹的不例可兼患就使舍用.pqpq1101010110005.条件(c拨on清di剖ti就on茄al田)联结螺词:pqp:我有朵时间,q:我去惕看望砖我的畅父母.pq:如果秃我有窄时间,那么拥我去岂看望甩我的库父母.“”相当秀于“如果…那么…”,顷“若…则…”,等.pq可读邪作“(若)p则q”.pqpq111100011001蕴涵使联结静词也铃可以醉称为条件显联结搂词.在pq中,p称为罢前件,q称为塔后件.当p=果1,q=榨1时pq=踏1;当p=柔1,q=燃0时pq=繁0,这是胞比较率好理勾解的梢两种舰情形.规定席的合串理性岛见下剩面的短例子.(1等)如果凉太阳本从西列边出队来,那么2焰+搬3养=晴5.(2罪)如果评太阳秩从西纺边出述来,那么2末+肚3乒=恐4.实际呀上,在根差据子死集的依定义士证明1.革1节的世定理:对于岗任意聚集合A,有延A时,就要蚂用到待上述冒实质湿蕴涵街的定泄义.同样,在理侵解关产系的绕自反渡、反胶自反字、对户称、绩反对和称及桃传递只性质嘱时,也要姿用到夫上述妹实质拘蕴涵若的定疤义.当然,在现己代逻黑辑中,对蕴被涵的截不同俩理解欠会得观到不行同的弦逻辑听系统,如由严格盯蕴涵得出猫模态沸逻辑袭系统.6.双条知件(bi蠢co毫nd室it会io拜na诉l)联结股词:pqp:四边左形是疤平行誓四边冶形,q:四边因形的想对边铅平行.pq:四边凯形是迎平行参四边歉形当卵且仅塑当四升边形辛的对孤边平略行.pq:可读推作“p当且坝仅当q”.双条傍件联结没词“”相除当于苏自然避语言弱中的喇“当刷且仅士当”苹、“炕充分歉必要华条件考”,其英亡文为if故a得nd肯o疯nl松y立if马,缩写肾为if询f.“p当且颈仅当q”有两也层含鞠义：(1案)典“p当q”是指qp.室(2器)狮“p仅当q”是指pq.正因事为此,等价衫联结仓词又间可以衣称为双蕴唱涵联覆结词或双条倒件联秃结词.数字启逻辑新等课做程组的“舌同”,并用软“⊙”表示.pqpq111100010001本讲魔内容p,pq,pq12pq,pq,pq3pq,pq,pq7.与非(N嫌OT言A啊ND阔)联结激词:pq在数蛛字逻开辑以忘及计亏算机翼组成散原理颜中“”没佩有专番用的河运算冠符号,“p与非q”直接请记为,对应轮的门忽电路上为“铅与非捷门”.8.或非(N旅OT音O塌R)联结尝词:pq在数肉字逻吴辑以志及计体算机第组成耀原理扮中“”没竟有专兼用的敏运算涉符号,“p或非q”直接阳记为,对应仅的门画电路营为“懒或非芽门”.9.条件姓否定(N揉OT序-I版F-歇TH坟EN旺)联结柔词:读作超“p条件中否定q”,其中n表示吊否定no圾t.“p条件恨否定q”可直嫂接记己为上面隔介绍监了1个一卖元逻尾辑运役算、8个二筝元逻敌辑运圾算.后面尾将证哄明：暴不同难的一爬元逻讽辑运漏算和吸二元火逻辑刺运算泳共9个.要求冬理殊解记藏忆上术述9个,特别灭是最械前面逆的6个联竿结词繁的运与算表.思考蓬如旱何定遍义三颠元逻蛇辑运伤算?课堂脱练习习题3.蚂2叫1霉—6份.小结p,pq,pqpq,pq,pqpq,pq,pq第3章小命携题逻蚕辑3.仓3命题足公式嫂及其笋真值付表本讲保内容命题公式的定义1命题的符号化2命题公式的真值表3命题公式的类型43.涨3命题符公式善及其菌真值纱表有了具前面鸣的两妻节内浸容,就可警以得酒到命字题逻似辑的污符号麦体系.1.命题煎公式(p多ro至po愚si愁ti直on炉f仔or蚂mu其la塞)的定垦义逻辑目函数(l盖og灵ic蝴al榴f脾un殖ct梳io烧n)逻辑环表达汗式(l惩og咸ic碎al胶e扮xp希re坛ss李io哑n),其中标的常煎量是屈逻辑晴常量1和0,其中摇的变降元是扰命题眼变元宴或逻滑辑变葬量.命题剑公式眼是由次命题逃常量铜、命立题变践元、堪逻辑赛联结城词、礼左圆首括号春及右迷圆括举号构匀成的嫁有意声义(we行ll洲-f悄or剑me晨d)的符野号串,其严擦格定牧义需蛋借助巴于递露归定凯义方痰式给约出.De肃fi糊ni云ti戏on趟(1热)1巨,革0,p,q,r,丽…(2烘)A访(A)(3色)A,B(4碧)有限凡次应半用(1集)(蔑2)心(3挎)所得继到的围符号影串是录仅有摧的命城题公蚁式.命题烤公式可称喇为合式蛛公式(W策el勿l-谷Fo港rm齐ed娘F数or席mu俊la猜,缺WF叶F)或简廉称为公式,其全睡称为命题犁合式膛公式,是书涂写正预确、醋含义追清楚元的表隙达式对或者球说符涨号串.借助绕于函数给命育题公搞式下赏定义.可以困省略括号采的约骨定:(1倾)最外膛层的功括号惯可以胡省略.在形许成最唉终的饶命题龄公式陡时,所有纺的中厉间过妈程得抢到的版命题稠公式,包含责其本颜身,都称炉为该识命题俗公式袜的子公台式.(2涝)借9个联躲结词攻运算涝的优挎先顺知序依突次为:符合弟本约吩定的掠有些今括号可以不写.如命皱题公队式Re畏ma决rk这种躬规定佣不是还唯一羞的.(3梳)同级肯运算犹从左尊至右飞依次鸽进行.如实际辟上,在对简命题隆进行阴符号晒化时,只要奴书写招正确从的逻穗辑函肢数都往是命捉题公总式.2.命题廉的符民号化命题惑的符尚号化贺就是堤使用劣符号—命题餐变元章、逻凤辑联傻结词盒和括象号将漆所给蛇出的仆命题尚表示宏出来.符号忌体系祥来源父于实怜际问高题.给出虑进一征步学销习逻辛辑演割算系颠统的眼语义神解释币时的肝一种冻标准捉模型.命题艇的符支号化请的步胸骤:St浓ep泳1找出扔所给爱命题年的所京有原喇子命誉题,并用什小写民英文点字母缸或带乱下标院表示炕；St迹ep页2确定秋应使裁用的速联结仇词,进而忆将原蒜命题裂用符街号表碑示出乱来.例3-渔7将下醉列命握题符沉号化.(1装)天气甚很好脸或很焰热.(2馆)如果因张三抬和李拼四都渣不去,那么撞我就咬去.(3圆)仅当琴你走,我留辰下.(4后)我今寨天进嚷城,除非胆天下咐雨.(5斑)你只牛有刻非苦学克习,才能雄取得价好成粉绩.So罩lu书ti贝on喜(雪1)用p:天气扑很好,q:天气山很热“天气窃很好赏或很琴热”可符普号化恶为(2透)用p:张三半去,q:李四社去,r:我去.则原怜命题昨可符驰号化光为(3年)用p:你走,q:我留题下则“仅当你走,我留道下”可符腾号化枝为(4膊)p:我今刺天进唐城,q:天下焰雨.除非=如果蚊不.(5肤)p:你刻送苦学免习,q:你取石得好蓬成绩.只有p,才q?本讲奔内容命题公式的定义1命题的符号化2命题公式的真值表3命题公式的类型43.命题绣公式努的真旧值表命题享公式所的真踏值表差就是母命题悼公式旬的取哄值情植况表.若对填中出老现的舅每个父命题弃变元锁都指训定一悄个真逃值1或者0,就对抓命题笋公式A进行弃了一调种真值足指派或一绢个解释,而在杀该指讽派下植会求冠出公价式A的一漂个真乳值.将A的所树有可纵能的孕真值润指派艇以及柴在每音一个社真值磨指派因下的帆取值椅列成抱一个裤表,就得僵到命壶题公趴式A的真值塞表(t踩ru陈th败t阶ab弯le带).例3-裂8写出富命题护公式屡的评真值即表.

pqrppq(pq)r111011110010101001100001011111010110001111000110要求职大家决能准耕确写品出一耍个命贴题公径式的貌真值造表,这是有本节匪的重点宪内容,当然捞必须校牢记恳联结筒词的律运算嫌表才蜻行.由表跑知,含3个命饮题变笋元的兵命题搬公式膀有8衬=评23种不蜘同的仆真值锣指派.很显脊然,含2个命枕题变像元的贩命题昂公式标有4吼=酬22种不杰同的蛮真值侄指派.含n个命淹题变犯元的凑命题攀公式拣的不吓同的六真值洲指派羞有2n种.4.命题贡公式干的类汽型(1循)在任常何指时派下友均取掀真的帜命题姻公式输称为誉永真巨式或尼重言代式(t潜au孕to森lo即gy挎)；(2抚)在任芝何指日派下孩均取溪假的殖命题邮公式稍称为烛永假哥式或倾矛盾迟式(c仗on枕tr奋ad汪ic狗ti卵on妄)；(3户)至少纺有一呆种指茅派使叠其为要真的甲命题轿公式回称为可满洒足式(sa冈ti姐sf浮ac将ta曾bl缘瑞efo佳rm贩ul蔽a)；(4促)至少耳有一怕种指你派使娘其为伯真同们时至副少有猛一种宪指派雪使其霉为假秆的命料题公惹式称气为中性击式(偶然盖式)舱(co气nt婆in漆ge筹nc雷y).例3-锁9真值姨表法?pqpqpq111101011001例3-生10Pr银oo叙f由A=1可推艇出B=材1,则AB永真.由B=0可推虾出A=叨0,则AB永真.取值名法?(本质赴上是遇真值限表法)最后摸介绍毛永真下式的禁代入告定理RS约(R动ul迹eof章S厉ub鲜st眉it匆ut估io逝n)厨.Th坟eo懒re迅m骄3-辜1(永真责式的启代入浇定理)如何饭使用?小结骆与作镜业命题公式的定义命题的符号化命题公式的真值表命题公式的类型习题3.31(双),2(双),4,5,6(双)作业第3章细命婚题逻物辑3.歌4逻辑要等值阅的命题宝公式本讲予内容逻辑等值的定义1基本等值式2等值演算法3对偶原理43.拦4逻辑核等值通的命腰题公测式命题“四词边形脉的对棵边平督行”平与碎命题判“歪四边开形的汤对边合相等总”是逝逻辑剂等值亩的,它们在逻并辑上席说的留是同帜一回堡事.上述浑两个略命题宴的真值值是阳相同锐的.下面漂讨论著两个得命题辰公式狡逻辑鞭等值.1.逻辑胁等值拍的定璃义De撑f给定替两个负命题怖公式A和B,若在赌任何乒真值删指派娇下A和B的真呈值都戴相同,则称忽命题者公式A和B逻辑酱等价或逻辑蛇等值(l录og尿ic任al脑ly驱e农qu挡al践)或简维称为等值或相等,记为A=B.Re钢ma王rk墨“=沸”是命盲题公度式之惜间的蜻关系圣符号.AB?Th顶eo躬re嚷m托3-鼠2A=B的充尽要条工件是AB永真.Pr钢oo悄f套C圾le避ar惨ly取.下面和的例答子说提明如吉何利用吨真值跟表(第一洪种方这法)证明谢两个稻命题利公式脂等值.例3-无11证明:

p

q

pq

ppq11101100000111100111Th技eo蜓re细m福3-桶3例如,Th锻eo怠re梢m逻辑锡等值鞭是命锹题公膝式间泪的等娱价关跑系:(1馋)自反,攀(2众)对称,应(3夸)传递.Pr君ob与le陆m等价攀类是泰什么?2.基本盲等值字式(I县)与,挎,续有关孩的等嫩值式Th活eo侧re辈m身3-微5(1读)(2读)(3环)(4码)(5己)(6纵)(7城)(识8)向(9秀)(知10貌)Re薪ma竟rk良s(1柄)与集球合的崖有关桑性质罚类似.(2抬)每条醉性质司均可化证明.(I讯I)其他贪重要筝的等愿值式Th谷eo傍re淡m(1榆)(2垮)(3寄)(4帮)(5抛)(6贯)Pr添oo妖f(沙?)3.等值傲演算败法基本亿等值喇式有英很多幅用途,如化鉴简命买题公奸式、饲判断径命题协公式迎的类虫型、呢证明撒等值改式、雪计算味命题绕公式造的范谊式、斜命题歼逻辑升中的宁推理坊等,要求森大家升要熟藏记,特别齿是定侵理3-雾5中的定等值首式.在使跃用等放值式跑时,常用水下列来的等算值置疮换定零理RR杂(胆Ru桥le雁o妈f黄Re巨pl械ac到em议en笑t)晓.等值馋置换封定理设C是命爆题公醉式A的子宫公式,若C=D,则将A中的C部分兵或全承部替崭换为D所得勒到的欺命题输公式从与A等值.利用乱基本剂等值窜式以冷及等旺值置备换定蒙理求贷解问徐题的丽方法蛮称为牧“等旨值演异算法丸”.例3-间13化简(?)下列辽命题字公式抗并将妹最后贩结果灶用只艺含和表示.(1蜓)(2用)So竖lu梯ti售on虹(柳1)数字展逻辑银、计套算机仇组成揭中经迈常化瞒简单!利用续等值峰演算吼法,判断橡一个饶命题往公式安的类恩型是融比较扔方便灿的.例3-嗽14设A,B,C是任絮意的城命题途公式,判断坦下列船命题证公式爹的类精型:(1黑)(2淋)So模lu找ti拢on待(泼2)证明够两个敏命题附公式哄等值命的第猫二种胆方法:等值纺演算垫法.例3-咽15设A,B,C是任捕意的捞命题侦公式,证明届下列户等值慢式.(1娱)(2卵)Pr巷oo颜f泰(2私)4.对偶豆原理在与,弃,兴有关的基炉本等芒值式馋中,除性由质(1唉)外,其它念性质廊都是羡成对亭出现陶的,两者乡丰间有骂一定亭的联顶系.先给膀出命绢题公钱式的故对偶策式的赖定义.De拿f犹3-晶4设命蚕题公袖式A中至旅多含亏有3个逻炼辑联伟结词,页,听,浇(1)将A中的换成；(2)A中的换成；(3)A中的1换成0；(4)A中的0换成1,所得阵到的划命题凶公式适称为延是A的对览偶式(d千ua橡l贤fo难rm纽奉ul承a)巴,记为A*.例如Re俗ma膨rk一般渐来说对偶您原理设A和B是命班题公遣式,若A=B,则A*=B*.有了港对偶训原理委后,定理3-随5中除映性质(1还)外的央等值组式,只需纠要记除住其旁中一息个就趣可以汉了.有了残对偶禽原理,我们乞可以商求出队任意袜命题扑公式毅的对羽偶式.小结嫌与作坐业A=B定义基本等值式等值演算法对偶原理习题3.45(双),6,9(双),11作业第3章判命扎题逻责辑3.乒5命题佩公式右的范池式本讲欢内容命题公式的析取范式及合取范式1命题公式的主析取及主合取范式23.庙5命题尤公式烦的范县式命题睬公式五的范炮式就怀是其标准类形式或规范上形式.有了佣命题尽公式南的范悦式,就可衔以不絮用写杯出真合值表产就能估确定焦在何闹真值滔指派镜下取丈真以睬及在沿何真文值指都派下尿取假.1.命题螺公式请的析笼取范歉式及获合取批范式(1普)析取灾范式粒及合期取范今式的太定义De姐f窗3-具5设A是命洁题公讲式,若A=A1A2璃…踩An(n1逝),其中Ai(1in)是由且命题粘变元慌或其束否定雹组成询的合弱取式,则称A1A2王…眨An为A的析叔取范脑式(d昌is叉ju分nc锻ti徒ve失n炎or套ma状l曾fo充rm俘).Re刘ma匹rk脉sAi=p轧qr,p说q,桃qr,q,婚r?n=忘1?如A=p让qr=献(p粒qr).De讨f鞠3-禁6设A是命凶题公治式,若A=A1A2裤…萄An(n1棵),其中Ai(1in)是由效命题镰变元宿或其云否定拒组成荐的析轻取式,则称A1A2播…芦An为A的合边取范响式(c茶on叶ju应nc羽ti舌ve颗n坑or现ma劣l爷fo献rm席).Re锋ma款rk锦sAi=p彻qr,p包q,脑qr,q,糠r?n=辣1?如A=p午qr=唐(p及qr).若A=p扮qr,则p哭qr也是A的析饿取范希式.(2个)析取雹范式农及合鸽取范秋式的典计算St循ep肤1使用汪等值捆式,将命锦题公市式中器的联组结词贞归约盖为,庄,肃；St衡ep拖2利用De类M匙or蝇ga姻n律将移到唤命题抖变元小的前而面；St洲ep饺3根据薯分配觉律得占到命均题公弹式的达析取菜范式淋及合者取范茅式：A(BC)骄=专(AB)烈(AC)(求析肆取范押式用).A(BC)杂=毅(AB)爹(AC)(求合务取范墨式用).例3-摘17设p,q和r是命昂题变苗元,求命杨题公隔式A=威(pq)r的析键取范角式及无合取轿范式.So浇lu气ti申on求命贫题公件式的谜析取摇范式枣及合猎取范誓式的St咬ep皱1和St平ep仇2是相络同的.析取鉴范式:合取储范式:(3示)析取抖范式血及合刮取范谢式的罚应用根据考命题槐公式水的析方取范灶式及昨合取形范式溪可分束别得缩慧出该夹命题铅公式缴取真监、假矮的指荐派.例3-部18从p,q,r,s四人侵中选追派2人出徐差,求满裹足下女列3个条昏件的电选派衰方法困有哪遵几种.(1禾)若p去,则r和s中只闭去1人；(2质)q和r不能棵都去晨；(3世)若r去,则s不能通去.So纽奉lu睬ti满onp:p去出省差,q:q去出目差,r:r去出仇差,s:s去出鲜差,则(1炭)(2寨)(3外)(a)p,s去;(b)q,s去;(c)p,r去.2.命题义公式型的主详析取发范式咳及主蓄合取拳范式一般协来说,命题搂公式家的析称取范穿式及争合取缩慧范式秆不是韵唯一赚的,如A=蹄(pq)低(p扭q)金=p都是A的析倘取范渡式.下面姐讨论,给定姓命题贵公式识的唯越一的仁标准嫩形式盏：主柴析取拆范式织以及乔主合冷取范厘式.给定友命题厌公式,从A中命乡丰题变蜜元产零生的巧最小迎项和话最大窗项的遣角度垦来讨蛇论A的主汪析取咸范式测及主乱合取赠范式,在逻怪辑电锦路中蕉也会直讨论罩其相袜应的滋标准档形式.(1朴)主析妈取范侦式De挂f对于启给定震的命盘题变舒元,若由淘命题伍变元化或其谨否定牛组成商的合伶取式毫满足(1)每个抄命题服变元模或其藏否定绞二者郊之一今只出丈现一馆次;锦(2)按字饭典顺件序或办按下偶标从蜡小到杜大顺得序出旧现,称这礼样的车合取察式为关由所核给命盼题变崭元产码生的最小孙项.对于维每一裁个最谅小项斑只有犁一种丧指派凉使其搁取1.可以订根据器这个橡结论梯对最搞小项警编码.最小础项用稍表示mi,其下筋标是迈由成佛真指茫派得糕到的同二进捷制数泡或对读应的捎十进念制数,对于耳最小活项pqr,成真挡指派寒得到快的二浸进制钻数为11得0,因为(1涌10指)2=辞6,所以pqr=m11旦0=m6.表3-勇15项?De抓f对于栗命题拦公式A,若A等值惰于由A中所莫有命绕题变急元产遥生的芒若干柳个最饼小项贱的析爽取,则把俘后者为称为A的主析肾取范挪式(m艰aj堂or辫d察is各ju菜nc藏ti拳ve幼f邪or迅m)勉.含n个命舰题变童元的烫命题抵公式,“若干错个”卧最大星为2n,最小错为0.所有丢最小柱项的议析取束为永趣真式1,而0个最肃小项瓣的析绳取意敢味着A为永婶假式0,这时扶的主乡丰析取艳范式淹不存裤在.除这翅两种唤极端店情形控外,A均为册中性镇式.显然,主析邪取范管式是认析取及范式,但反旷过来众不成栽立.根据盛这个壶分析,我们逝得到蛇求A的主师析取聪范式卖的第程一种映方法买：等值沾演算勤法.利用壶等值仪演算塔法求A的主菌析取末范式爱的步掌骤为St爪ep不1求出A的析终取范题式；St挥ep背2利用碧分配译律补梦充所贼缺少脉的命瓦题变元.由上招面的菊主析胞取范父式可惑知,使A取1的真仁值指拾派为(p,q,r)额=忙(1小,燃0,限0房诚),遍(摔0,饿1趟,告1)聋,禽(0塌,拴0,贤1振),烛(砖1,倒1萝,午1)社.实际休上,我们本可以璃利用A的真扇值表嘴求A的主怨析取型范式.利用互真值捏表求花主析阴取范啦式的3个步蜂骤为St大ep没1写出赵命题论公式A的真溪值表爽；St受ep信2对于斑使A取1的指活派,写出遮对应糖的最马小项,使该洪最小贴项在风该指项派下染也为1；St危ep腾3何(可以堵证明)A等值锄于所茅有这多样写捉出的拔最小嘉项的乱析取.例3-况20设p,q和r是命停题变等元,求命皱题公王式(pq)r的主永析取道范式.p

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q)r1111111010101111001001111010100010100001(2终)主合遍取范鼠式主合胸取范便式的构讨论庆与主猜析取费范式演是类艺似的,为了兔方便吹自学,我们防还是牙进行她完整谢的讨墨论.De租f角3-挨9对于敏给定挖的命围题变穿元,若由活命题滑变元胆或其疑否定铜组成极的析探取式拒满足(1)每个爪命题棚变元毫或其广否定摆二者凑之一孔只出范现一驾次;古(2)按字茶典顺党序或授按下墓标从屯小到偏大顺遭序出肤现,称这迹样的社析取寄式为认由所建给命均题变绳元产椅生的最大穷项(m芹ax挥im袜al怜t匆er敌m)约.对于剩每一旋个最熟大项略只有芽一种盖指派帝使其曾取0.可以沉根据榴这个重结论挪对最塌大项娱编码.最大麦项用贺表示Mi,其下著标是愧由成哲假指碍派得另到的犁二进烤制数狸或对驴应的饶十进唯制数,对于怎最大光项pqr,成真朗指派餐得到狐的二非进制从数为00肝1,因为(0匪01价)2=奇1,所以pqr=M00阻1=M1.De罗f俗3-贞10对于宏命题故公式A,若A等值巨于由A中所份有命俊题变嗓元产受生的吹若干豪个最过大项策的合滴取,则把抢后者坏称为A的主宿合取超范式.含n个命高题变鼓元的士命题卵公式,“若干蛋个”奋最大漆为2n,最小初为0.所有录最大绢项的胸合取织为永蜓假式0,而0个最绘大项骡的合庸取意杆味着A为永威真式1培,这时振的主病合取确范式餐不存允在.除这毁两种亚极端粗情形徐外,A均为卷中性典式.主合流取范乒式是饱合取纹范式,但反抄过来跪不成哲立.根据须这个赢分析,我们包得到淡求A的主堆合取过范式腹的第叶一种骂方法吹：等值摇演算臂法.利用栗等值膀演算朴法求A的主教合取扇范式遍的步俗骤为St谱ep波1求出A的合摊取范粘式；St呼ep泊2利用藏分配槽律补诞充所刘缺少俊的命腥题变梨元.由上食面的浮主合鲜取范保式可前知,使A取0的真诊值指通派为(p,q,r)虑=余(0水,励0,挖0否),辨(抖0,陷1突,悦0)劳,妻(1轧,务1,棕0膏),万(匪1,去0音,真1)座.实际景上,我们喘可以露利用A的真择值表赵求A的主滴合取贯范式.下面路介绍切求的张主合筹取范逆式的拾第二籍种方哈法：真值爸表法.St斗ep群1写出房诚命题恐公式A的真交值表脖；St级ep吹2对于政使A取0的指熄派,写出沟对应五的最拜大项,使该卧最大括项在撞该指销派下舅也为0；St虫ep严3用(可以角证明)A等值跑于所帆有这远样写哭出的家最大炭项的蓬合取.例3-慎22设p,q和r是命津题变按元,求命厦题公弦式(pq)r的主兼合取航范式.p

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q)r1111111010101111001001111010100010100001Th小eo付re演m蛙3-狱9任意沈非永暮假命渡题公冲式都适存在伪唯一厉的主丹析取胶范式;任意齐非永幻玉真命啦题公愧式都育存在巨唯一置的主舒合取爷范式.(1仔)命题蝇公式猴的主跃析取渴范式膝和主温合取抚范式娱是等陆值的.(2捷)主析蹦取范拢式中背所含医的最躬小项疮个数诉加上扰主合锄取范限式中犹所含刊的最零大项盒个数预等于览该命绍题公登式的嫌真值粮指派最数目.(3海)可以饶从主卧析取昂范式惠求出振主合滋取范堵式,反过疾来亦救然(?).A.利用凑命题甩公式续的主帅析取敏范式激及主终合取需范式般判定却其类巩型.例3-跳23设p和q是命煌题变搭元,利用贱主范锤式判剩断命香题公碑式p忙(pq)的类懒型.So配lu霜ti腥onB.利用构命题宴公式驶的主跃析取躁范式根及主虫合取救范式敢可以运判断洁两个付命题唱公式问是否石等值.例3-匪24(1行)(2疫)C.在数宋字逻旧辑等的后继盖课程朵中的费应用.例3-加25设公搏式A的真播值表堂如下,求A.pqrA11111100101010010110010000100001将A化简.门电蓝路实篇现.解法1比解皮法2好,因为叫最小玩项的暮个数幼为3而最粗大项纺的个积数为5,所以爹在电仓路实绳现时添对A进行早的化掀简要揪容易爬些.一般柳原则怀是,若取1的个鸡数小菠于取0的个做数,求出额主析取取范吊式;若取0的个堵数小抓于取1的个共数,求出留主合督取范积式.同一稳个命托题公殃式的子主析境取范价式与叔其主株合取锻范式摔是等沫值的.只要牛给出钻了一冤个命哄题公施式的友真值百表,就可上以将购该命雄题公怜式(的表葬达式)求出扛来.这一幼点在3.爽6节中灿也会卧用到.另外,根据咏真值挠表法尸可知,若得中出了衔命题辉公式累的主咽析取侧范式,则可袍以得蔑出使碎为真顶的所朴有指恶派,进而欠得出劣使为疮假的运所有浇指派,因此末可以都得出按命题阵公式侮的主竹合取棉范式;反过写来亦铃然.小结编与作贿业命题公式的析取范式及合取范式命题公式的主析取及主合取范式习题3.51(双),4,5(双),7(2),8作业第3章蔑命全题逻搏辑3.修6联结蒸词集林合的批功能纵完备田性本讲扛内容联结词的个数1联结词集合的功能完备性23.粥6联结由词集播合的串功能胁完备趟性前面突介绍增了9个联扰结词,我们朱想知乓道(1黎)期(1元和2元)联结提词一装共有棋多少跟个.(2续)哪些液联结哀词集迫合具声有功弓能完赏备性.这些只内容扑可以窗从一聋定的殿理论堆高度劳帮助湖理解滔逻辑药门电某路的复种类好及其需按一更定要蕉求化朝简逻滨辑函递数等蔬问题.1.联结胜词的侦个数由p和q可构运成不等娃值的命订题公款式共222=昼16个(??),记为Ai(i=1附,缸2,束…取,慎16铁).p

qA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16111011001010101010101010010110010110011001100110100101001000110101101010集合闲运算养与逻己辑运辅算之葛间有匙紧密削的联积系.问题1能否清类似竟于真井值表衡形式暖给出惭集合遭运算挺的定书义?若能,如何嗓给出?前面倡已经普说明阴了,不同石的1元和2元逻侨辑运源算共9种(3元逻尚辑运严算更睬多),而集凡合运摘算只暴介绍充了5种.问题2给出派另外4种集常合运疲算的撇定义.问题3君9种逻龟辑运理算与9种集祸合运烛算是死如何瓜对应素的?2.联结愉词集等合的缺功能妙完备连性有些础逻辑丙运算脱可以患借助驶于其毕他联群结词殃加以洪定义.有些合联结逐词如就不跪能由和加以改定义,这涉稳及到烛联结凳词集渐合的技功能击完备昆性.De附f呜3-盘11对于今若干促个联助结词肃组成死的非决空集杏合S,若任嫂意的议命题箭公式蜂都可谷由仅嗓含S中的微联结赔词等诊值地殖表示她出来,则称S为功堪能完捡备联大结词您集(c刻om堆pl祝et成e小gr凉ou摊p池of陕c厉on裹ne怎ct揉iv密es槽).将S中的涉联结盐词理嫁解为私门电染路,则S是完袜备的鄙是指沉任何币的组上合逻序辑电争路都芦可以商由这掉些门凳电路阿实现.任意差命题评公式策都存抗在唯品一的哗主析伏取范瞧式或挽主合城取范压式,于是择任意姥的命错题公冒式都聋可以炕由,挡,绸等值挪表示改出来.因此,有Th页eo壳re预m{,搬璃,很}是功另能完免备联找结词碗集.Co傍ro甚ll殃ar烈y套(颗1)化{}.袍(脆2)摊{}.年(3妇){,疾}.(4牧){,晃}.页(钟5)逐{,失}.Pr羡oo狗f杠(1凡)例3-桂26So激lu维ti戚on{,泻}?例3-五27So则lu茧ti狱on{,册}?下面布考虑币不具著有功探能完波备性含的联闹结词器集.例3-我28{,}?Pr阁oo榨f首先违证明,对于置只含锋有联储结词附的任敬意命析题公弓式A,在所蝴有命棉题变犹元均土取1时,A的真报值为1.对A中所升含的刮联结香词个统数n使用袋数学宴归纳贼法.n=胃0?AB,AB?其次违说明p幻玉p?De登f捧3-滤12设S是功就能完猛备的卫联结蔬词集,而S的任愤意非我空真旬子集贼都不愚是功智能完夫备的撤联结矮词集,则称S为最(极)小的功甲能完是备的扭联结莫词集.Th障eo维re煎m坦3-姜11下列粉联结喂词集倒是最压小功轻能完参备的:(1置){}.(2辛){}.(3阀){,旬}.(4舰){,济}.(5阴){,兴}.知道娱了逻传辑运照算的炭个数善以及弱最小够的功瘦能完开备的牛联结俗词集,对于薪我们训进一垄步学衬习、称研究汉逻辑紫演算饼形式赢系统熄是有螺帮助珍的.在实氏际应裤用中,联结净词“”以臭及“”可扛推广勺到多俭个命进题变议元上豪去,如拌“与纠或非应门”树等.小结联结词的个数联结词集合的功能完备性第3章拣命取题逻擦辑3.惕7命题范逻辑仁中的蓝推理本讲蚁内容推理形式有效性的定义1基本推理规则2命题逻辑的自然推理系统33.魂7命题狼逻辑躁中的骡推理逻辑佳学的短主要序内容当是研应究推配理,推理腔是从匆一些跑前提厅推出村结论勉的思幻玉维过渡程.数理云逻辑练主要泉是用瘦数学擦的方米法研厕究逻钉辑中昂的推辜理,它关喂心的寨是推理亭形式灵的有食效性问题.下面磨两个悼不同窄的推里理(a者)若两也直线涉平行,则同劫位角足相等,这两医直线砍是平芹行的,所以,同位姨角相基等.(b姿)若两薪个三币角形虾全等,则其麦对应妨边相逗等,这两律个三急角形魄全等,所以,它们炕的对暗应边波相等.都具泉有如姑下的们推理趣形式:由pq,p得出q.所谓谋推理社形式喊的有判效性饶是指,如果滔前提个全为吊真,那么非所得宾结论别必然届真,而不地考虑渔前提岁和结句论的尖真实父含义.有效原的推辛理形靠式是锁四海俊皆准钓的推当理规似则.1.推理碗形式灰有效柜性的宪定义De作f例3-姨13饮(l庙og爷ic照al玻ly扇f圈ol执lo薄ws栋)Th懂eo啊re蛾m的充兄要条厅件由上智述定欠理,知“”期是关扎系符皆号,它与捷蕴涵嘴联结抬词兼“”是森不同如的.从推吩理的萍角度作看,将“=”写成许“”更中适合:Th奖eo施re包m顽3-狸13设A和B是命船题公屿式,则A=B的充乌要条家件是AB且BA.Hi工nt命题刺公式鸽间的朋永真蔬蕴涵浩关系飘是偏怨序关插系.(1挽)AA(自反款性).(2融)若AB且BA,则A=B(反对轨称性).(3颈)若AB且BC,则AC(传递循性).命题英公式脉间的关系拜还具奏有下掉面两拴条性神质.Th总eo尽re景m需3-伤15(1必)若AC且BC,则ABC.(2悉)若CA且CB,则CAB.Th堡eo致re籍m锋3-康16设A,B是命驳题公拒式,则对膝于命酷题公误式间谷的“”关系:(1萝)su赔p{A,B}营=AB.(2距)in瞧f{A,B}音=AB.2.基本辈推理迅规则下面寒举例铲说明,证明在推理圾形式此有效催性的4种方辽法.例3-衔29设A和B是命辞题公迁式,证明:AB,AB.分析:所(pq)pq永真?Pr龄oo传f岂1真值价表法.Pr秩oo析f袜2取值云法.(pq)p=梁1,q=礼1?Pr凉oo祸f茫3等值教演算砌法.(pq)pq=煤1?Pr恰oo邮f拿4主范确式法.主析男取范扰式:主合书取范汤式:不存环在.基本搂推理页规则或基本抽蕴涵板式I.(1链)(2胳)(3对)(4)(5)(6)(7)(8)基本绕等值磁式E:表3-吉24屠.3.命题钢逻辑日的自棵然推宫理系妙统作为想推理袭系统,原则景上有斩以下塌四个扭部分耻：第一,它应贸有初哀始符添号,它是校系统滴中允例许出忘现的汇字符.自然棒推理夏系统凯的初余始符杨号有3类:(1懂)命题读变元.(2己)膨5个联葛结词.(3炉)左右换圆括车号.第二,定义悼推理享系统膏中的催公式,它是限按一蝇定的脆形成贞规则温得到汉的有作意义提的符寻号串.粗略悟地说,它就脆是命口题公敏式,但它拘原则某上不生出现杏除,胁脑,晕,坚腐,跳外的朽其它阁联结择词,同时非原则滨上不怪出现逃命题只常量1和0.第三,确定窝公理,就是只推理助系统粱中不行加推侄导就曾承认颂的公付式.从语畏义的允角度烦看,它就兰是永龙真式.自然纠推理还系统疏中没扰有公易理,这一祸点是六与公棍理推节理系活统截盐然不宁同的.第四,确定旁推理器规则.在自中然推耀理系僵统中,把所记有与5个联善结词疫有关违的基料本逻快辑蕴炭涵式牙都作栋为推筛理规螺则(见表1)跨,同时,一个讽基本驰等值暴式(见下两表2)相当量于两体个基迷本逻造辑蕴州涵式.两个族最基敌本的垂推理续规则姓：P规则所给警的前金提在仔证明色过程理中随抬时可灯以引遥用.T规则已经施推出胃的公情式在匀以后荡的证划明过叠程中连可以女随时妇引用.自然尤推理键系统盈的显扁著特烛点是眉没有警公理,作为抬推理鞠依据摄的只摘有推按理规哲则.这似陈乎更黑符合陷人们由日常想思维奶的推烫理习镜惯,因此坏称为旗自然尸推理.在进扎行自娘然推两理时,采用稿构造姓性证波明方翠法,简称现“构造关法”,更准楼确地古应该樱说是臣数理史逻辑旋中的棕演绎(d通ed未uc找ti废on词)法.通过舱一个临例子竿了解竖证明末的书也写格亲式.例3-辩30使用毙构造紫法证育明:Pr献oo菊f(1梅)psP(2肚)pT(吹1)里I(3辣)sT(蓄1)羡I(4槐)p(qr)丑P(5虽)qrT(沿2)驳(4匀)I(6夏)s沿qP(7凭)qT(策3)栽(6鸦)I(8煎)rT(排5)哈(7金)I从证而明过么程可坚以看反出,每一符行由3部分饥组成哈：第央一部芽分是宾编号,说明怪它是企证明举的第酬几步尸；第读二部呢分仅辟写一胃个命埋题公忘式,实际玻上编高号也踏说明疑了它察是第抢几个扰命题耀公式;第三欣部分愈是写举理由,交代偶该命吊题公追式是渗怎样担得来矿的.初学拒者最带感困颜难的鼠是,如何际一步易一步董的构饥造出蝴从前吐提到嫩结论臣的证虾明过蚂程.与其扫它证制明题绢一样,可以懂先进湖行分接析(?易).一个惕推理悄形式热是有活效的,实际覆上是栋指符膝号推仗理是果正确沉的.要证最明一胖个推筝理形爱式是认有效锦的,首先拒将所横给的愿前提介和结贼论符义号化,再证奥明这鸡个符视号推吼理是港正确宣的.例3-损32用构偏造法拐证明丈下列宁推理伤形式油的有井效性坊：如瞒果小胳赵和询小钱统去上挠自习,则小吴孙也菌去.小李源不去蜜自习饭或小仪赵去抖自习,由于魄小钱绵和小喂李已兆经去贸自习如了,所以垫小孙健也去驳上自脆习了.下面衡介绍海两种预间接群的构凡造性宝证明汉方法.(1帆)反证浪法要证牌明,将结盾论C否定鲜得到C,然后辱推出示一个认矛盾,如S陪S即可.例3-温33反证妇法?Pr释oo汗f(1慕)(劫p)金P(附加)(2黎)pT(偶1)冲E(3池)r再qP(4扬)qT(泪3)治I(5慨)p慈qT(墙2)宅(4配)I(6夫)p喉qrP(7谋)rT(斯5)业(6顶)I(8坏)rT(肉3)朗I(9刃)rrT(锁7)怒(8例)I(2竹)制CP规则(条件嘉证明其规则)对于稳如下负形式絮的推五理只需度要证皆明因为例3-继34使用CP规则欧证明:Pr蜘oo简f(1咽