第六章 多目标规划方法

第六章多目标规划方法

在水文水资源研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在水文水资源研究中的应用问题作一些简单地介绍。本章主要内容：多目标规划及其求解技术简介目标规划方法

多目标规划应用实例

多目标规划及其非劣解多目标规划求解技术简介第一节多目标规划及其非劣解

一、多目标规划及其非劣解（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。

（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：

（2）（1）式中：为决策变量向量。

如果将（1）和（2）式进一步缩写，即：（3）

（4）式中：是k维函数向量，

k是目标函数的个数；是m维函数向量；是m维常数向量；m是约束方程的个数。

对于线性多目标规划问题，可以进一步用矩阵表示：

（5）（6）式中：为n维决策变量向量；为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；为m维的向量，约束向量。

二、多目标规划的非劣解

对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。在图1中，就方案①和②来说，①的目标值比②大，但其目标值比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。在各个方案之间，显然：③比②好，④比①好，⑦比③好，⑤比④好。而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称之为多目标规划问题的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为非劣解集。非劣解可以用图1说明。图1多目标规划的劣解与非劣解当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。

一、效用最优化模型二、罚款模型三、约束模型

第二节多目标规划求解技术简介

为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。四、目标规划模型五、目标达到法是与各目标函数相关的效用函数的和函数。

一、效用最优化模型

建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：

（7）

（8）

在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：式中，诸应满足：若采用向量与矩阵

二、罚款模型

规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意值）；通过比较实际值与期望值之间的偏差来选择问题的解，其数学表达式如下：或写成矩阵形式：

式中，是与第i个目标函数相关的权重；

A是由组成的m×m对角矩阵。三、约束模型

理论依据：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题：

采用矩阵可记为：四、目标规划模型

也需要预先确定各个目标的期望值，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级，目标规划模型的数学形式为：式中比：艰和撑分别再表示醉与送相应累的、碍与存相数比的目帝标超惜过值晌和不设足值脆，即齐正、绑负偏灶差变限量；供表谜示第l个优石先级石；、涂表示步在同定一优滨先级归中通，不悦同目容标的正该、负调偏差邪变量肆的权减系数武。五、采目标羽达到刻法首先帽将多容目标旁规划邻模型购化为泄如下丹标准拳形式粗：（6捉.2执.2促1）（6既.2答.2描2）在求亏解之巡寿前，鱼先设搅计与付目标即函数派相应眯的一袖组目阴标值却理想旋化的签期望英目标敲,贸每一易个目腰标对皇应的蝴权重衫系数炎为辆，再核设誉为一棕松弛膝因子橡。那猎么，伍多目斑标规救划问纹题就巨转化恒为：用目百标达魔到法养求解滩多目漆标规冶划的交计算陪过程犬，可依以通滴过调羞用M明at杂la宏b软糠件系弦统优兰化工恭具箱瞒中的娱fg垄oa疑la烤tt近ai城n函绕数实沈现。第三涌节枯目标精规划贯方法通过序上节烫的介蛙绍和东讨论祖，我普们知患道，蕉目标励规划膏方法气是解津决多剑目标败规划云问题常的重询要技孙术之掉一。这一构方法践是美吴国学切者查党恩斯括（A肺.C睁ha伶rn递es已）和溪库伯伤（W旬.W禽.C记oo倍pe魂r）姜于1哈96妇1年宿在线魂性规锄划的驻基础央上提巴出来道的。芬后来肚，查婚斯基归莱恩阅（U恼.J拥aa禾sh晓el桐ai咳ne丙n）谈和李晕（S肯an音g.置Le另e）橡等人荣，进炕一步货给出再了求夜解目羊标规分划问料题的桐一般趟性方奏法—眠—单弯纯形贫方法娃。一、骑目标擦规划氏模型给定升若干徐目标稼以及恰实现都这些死目标蔑的优施先顺凑序，株在有斯限的罗资源站条件喝下，汤使总路的偏社离目愁标值姥的偏右差最授小。（一笼）基精本思魔想：例1：某拥一个傅企业脖利用灭某种扫原材然料和桑现有巧设备虹可生哈产甲挽、乙萄两种躬产品良，其嫁中，闪甲、臂乙两陵种产储品的汽单价辆分别倾为8透元和雷10蝴元；陪生产慕单位挖甲、转乙两炉种产主品需黑要消活耗的宏原材庙料分辫别为佩2个颈单位哄和1揉个单旅位，委需要滩占用滨的设接备分雕别为勇1台俭时和耕2台捆时；蚂原材蜜料拥纺有量次为1屡1个匙单位买；可勤利用对的设革备总墙台时杜为1做0台平时。采试问喜：如延何确茄定其塑生产酷方案彩？（二跃）目域标规诉划的疾有关已概念如果继决策记者所己追求哑的唯短一目匀标是瞧使总踪蝶产值须达到溉最大佳，则东这个贱企业智的生自产方薪案可欢以由痰如下颂线性虫规划盈模型肃给出象：求灾，及，缓使而且进满足疗：式中烦：和晨为决使策变驼量，热为目额标函混数值总。将桑上述孩问题奖化为燃标准善后，招求解风可得隙最佳伏决策熄方案桥为缠（魔万元断）。但是植，在唇实际辟决策糠时，祥企业眯领导钉者必岛须考匙虑市画场等胸一系项列其愁它条斑件，挽如：①根据凑市场共信息联，甲椅种产递品的袖需求伍量有膏下降杨的趋寺势，侄因此巩甲种盼产品逆的产愧量不航应大迷于乙乓种产库品的日产量龙。②超过侦计划睬供应荒的原章材料己，需硬用高夹价采兽购，字这就而会使口生产触成本罩增加策。③应尽往可能趴地充附分利灵用设赠备的讽有效纪台时势，但狱不希锈望加燥班。④应尽笛可能承达到储并超创过计五划产铲值指奸标5陪6万秘元。这样狡，该各企业迅生产问方案栋的确斧定，婚便成甜为一破个多郑目标估决策锡问题翻，这弃一问镜题可惑以运郊用目渔标规聋划方伍法进通行求努解。为了帅建立栏目标驰规划狼数学械模型蜘，下妙面引显入有堪关概源念。目标剩规划铜模型寺的有哈关概雷念1.锹偏差冶变量在目数标规滚划模妖型中彼，除社了决辽策变贼量外唐，还慕需要句引入川正、堡负偏磨差变椒量比、洲。其浑中，求正偏谷差变博量表聪示决蒸策值萄超过包目标着值的恒部分咽，负叫偏差选变量约表示尚决策姓值未诸达到检目标帝值的摘部分倾。因为辈决策被值不搭可能急既超税过目拾标值钟同时匙又未怖达到诉目标奸值，冶故有困成踪蝶立。2、甘绝对刺约束愧和目期标约怜束绝对吴约束，必斗须严宵格满哗足的次等式壳约束系和不脑等式杆约束钟，譬乐如，首线性脂规划疲问题洋的所是有约违束条书件都香是绝轰对约环束，迹不能对满足征这些链约束眨条件怕的解溜称为示非可常行解份，所梳以它闷们是层硬约柴束。目标独规划局模型喇的有文关概温念目标辆约束，目志标规乎划所模特有说的，旅可以脖将约宽束方快程右援端项侧看作缝是追逮求的恢目标冻值，糠在达已到此妥目标赤值时颠允许庙发生水正的缝或负透的偏贸差虏，可吵加入排正负哥偏差狭变量币，是仁软约荣束。线性卖规划泡问题介的目仅标函炮数，霸在给挡定目屈标值姓和加暗入正肺、负寒偏差攀变量电后可毯以转刮化为屠目标膝约束繁，也股可以穗根据校问题聚的需扰要将达绝对惊约束认转化签为目佳标约欠束。目标档规划留模型弓的有糊关概做念目标岭规划杂模型厘的有如关概磁念3.揉优先子因子宴（优制先等住级）锡与权趋系数一个理规划缘瑞问题易,常逮常有意若干效个目井标，傅决策姻者对突各个贱目标吨的考循虑,辆往往铸是有她主次拔或轻年重缓厘急的鸣。凡贷要求威第一则位达诱到的剖目标炸赋予游优先袋因子膊，次杜位的痕目标以赋予窃优先唯因子澡，…饼…，塞并规共定鉴表示夹比有更绳大的等优先句权。丸这就须是说柜，首喉先保纵证级目照标的肥实现徒，这跳时可抚以不已考虑逢次级切目标扶；而踏级目虹标是妇在实产现揉级糠目标茶的基糟础上掉考虑芽的；昏依此沟类推泰。若要后区别走具有纹相同娱优先械因子适的目井标的稠差别朝，就辨可以筝分别待赋予申它们烫不同调的权吃系数仅。这角些优盈先因袜子和闯权系乔数都镰由决疏策者糊按照涌具体墨情况拴而定园。4.愚目标辛函数目标轻规划许的目制标函很数（糠准则臂函数缠）是碗按照阶各目垂标约业束的搏正、班负偏挪差变注量和询赋予亭相应捎的优坑先因踩子而蚕构造拣的。钩当每悬一目璃标确划定后必，尽软可能宏缩小擦与目纯标值突的偏度离。辩因此盐，目卖标规找划的夹目标腥函数头只能中是：基本除形式冠有三片种：目标茧规划卖模型巧的有券关概胖念a)浴要滑求恰效好达意到目茧标值剃，就冰是正偿、负涝偏差译变量武都要妨尽可土能小躁,即b)泻要柴求不咏超过唉目标短值，衫即允宣许达肥不到乔目标略值，奋就是顷正偏室差变榴量要齿尽可增能小度，即c)鸭要钞求超胞过目鸦标值掌，也升就是奇超过启量不浴限，扮但负瓦偏差锯变量案要尽告可能解小，团即在实例际问椅题中脉，可均以根亿据决恭策者宇的要臂求，略引入胜正、雕负偏庙差变磁量和评目标件约束枯，并欧给不欺同目鹿标赋狱予相誓应的尽优先域因子狸和权凯系数候，构倒造目揭标函楚数，灶建立低模型往。例2：在沈例1培中，边如果卧决策难者在男原材丙料供带应受铃严格货控制秘的基患础上服考虑夹：首蒸先是傲甲种业产品暮的产糊量不家超过宵乙种中产品嘴的产启量；里其次武是充霜分利量用设劫备的渠有限骑台时读，不绒加班谅；再再次是挡产值纺不小殿于5蜡6万墨元。以并分折别赋慨予这装三个住目标糊优先露因子焦。试书建立灰该问忘题的奸目标护规划众模型胳。解：根萌据题之意，鸣这一驶决策纵问题答的目胡标规抢划模馒型是假定搬有L个目惨标，K个优饮先级熄(K≤L)，n个变洞量。动在同惹一优帖先级承中不附同目金标的摇正、阶负偏妄差变而量的羽权系感数分伏别为镇、核，则劝多目劲标规羡划问茧题可司以表趟示为碑：（三格）目别标规旧划模子型的妹一般拿形式在以杯上各欢式中且，、桂分牢别为插赋予哈优先卵因子掏的第仔个目梯标的翼正、衡负偏予差变滥量的允权系窗数，为第段个目封标的像预期呆值，为决拜策变木量，、掉分别访为第k个目谢标的基正、墨负偏锯差变吸量，一、葱土地拘利用口问题二、哄生产木计划律问题三、稻投资势问题第四迹节愉多目草标规切划应化用实饭例某灌印区土绘地资贿源根粗据土祸质情界况将贷当地视耕地缺分为耳I、条II搏、I专II叼三级柏，其冈中I扇等耕掀10晴0万闸公顷得、I虾I等蚕耕地桶30闷0万荡公顷睛、I听II吴等耕刷地2墓00池万公适顷。韵现拟撕种植银水稻温、大破豆、亲玉米乌三种赛农作峡物，盐各种批耕地韵的作吃物产条量见岩表，购要求览水稻孤产量嘴不得蒜低于绒19怪00值00蹲kg叠，大柳豆不陈得低罢于1串30冰00池0k返g，生玉米罗不得朴低于邪35淋00好00平kg自。若淹想达柱到产来量及殿产值具的双喝赢，死应如产何确狱定种矮植结煮构。一、朽土地肆利用缩慧问题水稻大豆玉米资源限制（万公顷）I等耕地单产(kg/公顷)1100095009000100II等(kg/公顷)800068006000300III等(kg/公顷)140001200010000200单价(元/kg)1.21.50.8取净决策段变量予，它组表示裙在第j等级么的耕雹地上滨种植坑第i种作兰物的惜面积闷。如隔果追育求总级产量井最大弱和总热产值玻最大来双重依目标浙，那卫么，膛目标樱函数奸包括逆：①追交求总辛产量衫最大②追泊求总泻产值拦最大根据采题意脑，约喇束方邪程包犹括：耕地究面积裂约束最低笋收获喷量约锋束非负榜约束对上蹈述多速目标助规划练问题鲜，我原们可学以采刘用如洒下方拳法，厚求其暗非劣休解。1.族用线做性加伐权方滨法取陡，舒重新藏构造亮目标袭函数各：这样害，就陈将多墓目标耍规划已转化真为单此目标祝线性也规划忙。用单窜纯形仆方法雾对该攻问题治求解尸，可疤以得简到一幼个满秀意解铁（非扇劣解翼）方姓案，庭结果挂见表以1。此方屠案是档：I犁II家等耕匹地全走部种嘉植水纹稻，宝I等逝耕地承全部膨种植窜玉米京，I弹I等鹿耕地晒种植枯大豆谈19句.1赛17际6公赞顷、胳种植淘玉米锦28肆0.厅88海24竿公顷辨。在艰此方脱案下挡，线像性加炮权目绿标函朱数的烂最大席取值蛾为6槐44恰56尺00秤。表1值线也性加陆权目趁标下孤的非票劣解必方案（单凝位：hm2）2.视目标秋规划虽方法实际掀上，被除了祝线性克加权袍求和融法以禾外，潮我们素还可胁以用吃目标顷规划皮方法飘求解没上述抬多目左标规描划问泄题。如果衫我们政对总季产量公和鸽总产科值醋，亩分别漫提出取一个什期望厉目标糖值（kg）（元痕）并将支两个碰目标粮视为麦相同芳的优永先级霉。如果遗、后分别闻表示舰对应春第一箭个目休标期西望值扒的正甘、负兽偏差后变量绘，志、辛分胜别表亮示对游应于哭第二郊个目低标期缘瑞望值均的正穷、负敢偏差研变量故，而换且将牢每一乞个目误标的口正、宏负偏晌差变迁量同字等看呜待（观即可砌将它缠们的坟权系属数都未赋为1），巾那么上，该问目标吃规划岭问题院的目购标函汤数为懂：对应矮的两证个目恨标约泡束为葵：即：除了受目标州约束庄以外伞，该疼模型挺的约模束条巷件，先还包搁括硬岩约束翅和非离负约酱束的顽限制包。其读中，崭硬约疲束包暑括耕愤地面旧积约羊束和眉最低摆收获兰量约躁束；食非负榆约束教，不即但包械括决六策变滑量的严非负症约束邮，还抚包括树正、幼负偏岛差变齐量的堵非负放约束抽：解上来述目压标规桶划问东题，跨可以绣得到酸一个缝非劣孝解方京案，般详见胁表2。表2雄目鼠标规况划的该非劣辛解方凳案（单筑位hm2）在此伟非劣响解方没案下劝，两性个目匙标的吃正、盒负偏傍差变敲量分亦为，擦，闲，筋。二、慰生产球计划女问题某企斯业拟易生产堤A和叮B两消种产奋品，秀其生忌产投你资费译用分疲别为头21姑00仪元/汽t和语48煮00颜元/辜t。猫A、吸B两眉种产吧品的席利润些分别蜻为3蹄60调0元营/t枝和6钩50周0元父/t诞。A飘、B删产品戏每月晒的最购大生乒产能阔力分流别为配5t障和8判t；源市场爸对这往两种墓产品具总量虽的需异求每宵月不删少于堵9t却。试礼问该而企业猜应该够如何委安排根生产钻计划算，才短能既吼能满孔足市乞场需夹求，义又节奔约投名资，哨而且舱使生滔产利香润达箱到最码大?该问马题是询一个策线性歉多目阁标规傲划问羡题。矮如果偿计划蜜决策挖变量辫用梨和迹表示馋，它那们分诸别代患表A宰、B毯产品为每月末的生阀产量德（单顿位：垦t）龙；表示嘉生产项A、艳B两仰种产晴品的仗总投更资费穿用（御单位旅：元煤）；厌表采示生绣产A皱、B性两种嫂产品住获得僻的总芝利润朵（单象位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