第九章第节隐函数的求导公式

已知解:测试题1第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法2本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合函数的求导法后，一般求导公式。就能给出隐函数的求导定理及当

时,能确定隐函数;当

时,不能确定隐函数;3第九章第五节一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法4一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数则方程并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数1.单值连续函数

5在的某邻域内则两边对

求导6例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③且并求在

的某邻域内方程存在单值可78导数的另一求法—利用隐函数求导代入导数方程得两边再对

求导两边对

求导令

,注意此时9解法一令则10解法二11的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点定理2.若函数满足:②③某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数

,12同样可得则两边对

求偏导13例3.设解法1利用隐函数求导是由方程所确定，再对求导14解法2利用公式设则两边对

求偏导15解法3利用瞎全微晨分形遮式不哭变性则两边梁同时浆微分16思路暗：解令则17整理第得18整理季得整理医得19二.方程畜组所禽确定梢的隐报函数都组及案其导刻数20隐函毯数存袍在定徐理还唯可以筑推广脱到方串程组咐的情扑形.由F、G的偏舍导数莫组成取的行峰列式称为F、G的雅可宣比(Ja得co栏bi)行列繁式.以两驱个方帜程确滑定两撞个隐如函数固的情额况为描例,即21定理3的某鬼一邻脱域内稀具有锐连续箭的设函挪数则方认程组③在点并满练足条镜件且有验偏导假数公田式:①在点②的某墙一邻痛域内干可唯一确定榴一组单值燃连满足偏导扛数续函则数22定理尽证明喷略。论仅推宽导偏敞导数占公式努如下23这是关于的方程组有隐修函数蹄组则解设方铅程组在点P的某学邻域束内系雁数行镰列式同样可得两边对

求导24解1直接国代入希公式横；解2运用扶公式注推导幅的方露法，将所给方程的两边对求导并移项25将所给方程的两边对求导，用同样方法得2627例7分别扭由下她列两题式确叨定:又函铁数有连认续的牙一阶询偏导趣数,设(2消00旅1考研)解得因此解:两个隐函数方程两边对

求导,得28例8.设是由方程和所确定抹的函时数,求(9努9考研)解法1分别在各方程两端对

求导,得29解法2微分疼法.对各箱方程扶两边货分别趟求微遇分:化简放得消去可得30三、内容店小结1.隐函染数(组)存在魔定理2.隐函浸数(组)求导歼方法方法1.利用活复合止函数撤求导基法则油直接农计算;方法2.利用有微分勒形式位不变腰性;方法3.代公孩式自变秋量个电数=变量瓶总数-独立袖方程笔的个矿数3132提示:思考侵与练蝴习33雅可生比(1架80运4奸–姻18佣51歼)德国岸数学吉家.他在数学扫方面霞最主经要的成就矛是和循挪威绣数学育家阿债贝儿厘相互骡独地奠定燃了椭砌圆函斗数论吼的基额础.他对行列式理论斩也作赢了奠钓基性革的工红作.在偏微炊分方程候的研松究中渠引进细了“棚雅可华比行介列式俗”,并应用调在微系积分中.他的工作肉还包御括代蛾数学,变分